8 Aplicaciones afines

Definición III.10.

Sea $A$ un espacio afin.

Decimos que

\displaystyle f\colon A

\displaystyle{}\longrightarrow A

\displaystyle P

\displaystyle{}\longmapsto f(P)

es una aplicacion afin si $\tilde{f}\colon V\to V$ definido como $\tilde{f}(\vec{PQ})=\vec{f(P)f(Q)}$ $\forall P,Q\in A$ es aplicacion lineal. Llamamos $\tilde{f}$ aplicacion lineal asociada.

Ejemplo III.10.

Si $f=id$ ,

$\displaystyle id\colon A$

$\displaystyle{}\longrightarrow A$

$\displaystyle P$

$\displaystyle{}\longmapsto id(P)=P$

se tiene que

$\displaystyle\tilde{f}\colon V$

$\displaystyle{}\longrightarrow V$

$\displaystyle\vec{PQ}$

$\displaystyle{}\longmapsto\tilde{f}(\vec{PQ})=\vec{id(P)id(Q)}=\vec{PQ}$

Por tanto, $\tilde{id}=id\colon V\to V$ que es un endomorfismo.
Sea $f$ traslacion de vector $v$ . Fijando $v\in V$ , definimos

$\displaystyle t_{v}\colon A$

$\displaystyle{}\longrightarrow A$

$\displaystyle P$

$\displaystyle{}\longmapsto t_{v}(P)=P+v$

Esto es otro ejemplo de aplicacion afin, puesto que

$\displaystyle\tilde{t_{v}}\colon V$

$\displaystyle{}\longrightarrow V$

$\displaystyle\vec{PQ}$

$\displaystyle{}\longmapsto\tilde{t_{v}}(\vec{PQ})=\vec{t_{v}(P)t_{v}(Q)}=\vec{% (P+v)(Q+v)}=\vec{PQ}$

que es aplicacion lineal (es la identidad).
Homotecias de centro $C\in A$ y razon $\lambda\in K$ (si $\lambda=1$ la homotecia es la aplicacion identidad, por lo que en general excluimos $\lambda=1$ ). Se define como

$\displaystyle h_{C,\lambda}\colon A$

$\displaystyle{}\longrightarrow A$

$\displaystyle P$

$\displaystyle{}\longmapsto C+\lambda\vec{CP}$

y su aplicacion lineal asociada es

$\displaystyle\tilde{h_{C,\lambda}}\colon V$

$\displaystyle{}\longrightarrow V$

$\displaystyle\vec{PQ}$

$\displaystyle{}\longmapsto\vec{(C+\lambda CP)(C+\lambda CQ)}=(C+\vec{CP})+% \lambda\vec{PQ}=C+\lambda(\vec{CP}+\vec{PQ})=$

$\displaystyle{}=C+\lambda\vec{CQ}=\lambda\vec{PQ}$

Como $\tilde{h_{C,\lambda}}=\lambda id$ , es lineal y $h_{C,\lambda}$ es un ejemplo de aplicacion afin.

Vamos a ver que $f\colon A\to A$ aplicacion afin es homotecia $\iff f$ tiene un unico punto fijo y $\tilde{f}=\lambda id$ para $\lambda\in\mathbb{K}$ .

Demostración.

$\Rightarrow)$: Sea $h_{C,\lambda}(P)=P+\lambda\vec{CP}$ . Ya hemos visto que $\vec{h_{C,\lambda}}=\lambda id$ .

Veamos que $h_{C,\lambda}(Q)$ tiene un unico punto fijo. Suponer $h_{C,\lambda}(Q)=Q$ . Entonces

$Q=h_{C,\lambda}(Q)=C+\lambda\vec{CQ}\iff\vec{CQ}=\lambda\vec{CQ}\iff(1-\lambda% )\vec{CQ}=0\Rightarrow\vec{CQ}=0_{v}\Rightarrow Q=C$

El unico punto fijo de la homotecia es C (su centro).
$\Leftarrow)$: Sea $f\colon A\to A$ con $\tilde{f}=\lambda id$ y $C$ un punto fijo. Tenemos que ver que $f$ es homotecia.

Dada $P\in A$ , $f(P)\overset{P=C+\vec{CP}}{=}f(C+\vec{CP})\overset{f\text{ afin}}{=}f(C)+f(% \vec{CP})=C+\lambda\vec{CP}$ .

Por tanto, es homotecia.

∎

Observación III.3.

Si $f$ es aplicacion afin,

f(P+v)=f(P)+\tilde{f}(v)

Demostración.

Suponer que $P+v=Q$ . Entonces

\tilde{f}(v)=\tilde{f}(\vec{PQ})\overset{f\text{ afin}}{=}\vec{f(P)f(Q)}

Entonces $f(P+v)=f(Q)=f(P)+\vec{f(P)f(Q)}=f(P)+\tilde{f}(v)$ . ∎

Matriz de una aplicacion afin respecto de un sistema de referencia

Sea $f\colon A\to A$ una aplicacion afin, $R=\left\{O,B\right\}$ un sistema de referencia y

\begin{rcases}(P)_{R}=\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots&x_{n}\\ \end{pmatrix}\\ (f(P))_{R}=\begin{pmatrix}y_{1}&\cdots&y_{n}\\ \end{pmatrix}\end{rcases}\text{ objetivo: relacionarlos entre si.}

Sabemos que $f(P)\overset{P=O+\vec{OP}}{=}f(O+\vec{OP})=f(O)+\tilde{f}(\vec{OP})$ y $\vec{Of(P)}=\vec{Of(O)}+\tilde{f}(\vec{OP})$ .

En coordenadas respecto de $B$ ,

\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\ \vdots\\ \alpha_{n}\\ \end{pmatrix}+A\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}

donde $A$ es la matriz de $\tilde{f}$ respecto de la base $B$ y $(f(O))_{R}=\begin{pmatrix}\alpha_{1}&\cdots&\alpha_{n}\\ \end{pmatrix}$ . Esto es equivalente a:

\begin{pmatrix}1\\ y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}=\underbrace{\left(\begin{array}[]{c|ccc}1&0&\cdots&0\\ \hline\cr\alpha_{1}&&&\\ \vdots&&A&\\ \alpha_{n}&&&\\ \end{array}\right)}_{M(f,R)}\cdot\begin{pmatrix}1\\ x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}

Ejemplo III.11.

Sea $f=id$ y $R=\left\{O,B\right\}$ . Obtenemos la matriz de $f$ respecto de $R$ :

$M(id,R)=\left(\begin{array}[]{c|ccc}1&0&\cdots&0\\ \hline\cr 0&&&\\ \vdots&&I&\\ 0&&&\\ \end{array}\right)$

porque $(id(O))_{R}=(\vec{Oid(O)})_{B}=(\vec{OO})_{B}=(0_{V})_{B}$ .
$t\colon A\to A,P\mapsto P+v$ y $R=\left\{O,B\right\}$ . Se tiene que $(t_{v}(O))_{R}=(O+v)_{R}=(\vec{O(O+v)})_{B}=(v)_{B}$ y $M(\tilde{t_{v}},B)=M(id,B)=I$ . Por tanto,

$M(t_{v},R)=\left(\begin{array}[]{c|ccc}1&0&\cdots&0\\ \hline\cr&&&\\ (v)_{B}&&I&\\ &&&\\ \end{array}\right)$
$h_{C,\lambda}\colon A\to A,P\mapsto C+\lambda\vec{CP}$ y $R=\left\{O,B\right\}$ . Se tiene $(h_{C,\lambda}(O))_{R}=(C+\lambda\vec{CO})_{R}=(\vec{O(C+\lambda\vec{CO})})_{B% }=((1-\lambda)\vec{OC})_{B}=(1-\lambda)(\vec{OC})_{B}=(1-\lambda)\cdot(C)_{R}$ . Ademas, $M(\tilde{h_{C,\lambda}},B)=M(\lambda id,B)$ . Es decir,

$M(h_{C,\lambda},R)=\left(\begin{array}[]{c|ccc}1&0&\cdots&0\\ \hline\cr&\lambda&\cdots&0\\ (1-\lambda)C_{R}&\vdots&\ddots&\vdots\\ &0&\cdots&\lambda\\ \end{array}\right)$

Como cambia la matriz de $f$ al cambiar de sistema de referencia?

Sea $f\colon A\to A$ aplicacion afin, $R=\left\{O,B\right\}$ sistema de referencia y $\tilde{R}=\left\{\tilde{O},\tilde{B}\right\}$ otro sistema de referencia.

Recordar que $\exists Q$ matriz del cambio de sistema de referencia tal que

\begin{pmatrix}1\\ x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}=Q\cdot\begin{pmatrix}1\\ \tilde{x_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{x_{n}}\\ \end{pmatrix}

donde $(x_{1},\ldots,x_{n})$ son las coordenadas de un punto respecto de $R$ y $(\tilde{x_{1}},\ldots,\tilde{x_{n}})$ son las coordenadas del mismo punto respecto de $\tilde{R}$ .

Sea $P\in A$ tal que $\begin{cases}(P)_{R}=(x_{1},\ldots,x_{n})\\ (P)_{\tilde{R}}=(\tilde{x_{1}},\ldots,\tilde{x_{n}})\end{cases}\Rightarrow% \begin{cases}(f(P))_{R}=(y_{1},\ldots,y_{n})\\ (f(P))_{\tilde{R}}=(\tilde{y_{1}},\ldots,\tilde{y_{n}})\end{cases}$ .

Por otro lado,

\begin{pmatrix}1\\ y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}=M(f,R)\cdot\begin{pmatrix}1\\ x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}(*)\qquad\begin{pmatrix}1\\ \tilde{y_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{y_{n}}\\ \end{pmatrix}=M(f,\tilde{R})\cdot\begin{pmatrix}1\\ \tilde{x_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{x_{n}}\\ \end{pmatrix}

En (*) sustituimos $\begin{pmatrix}1\\ x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}1\\ y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}$ por sus coordenadas en el otro sistema de referencia. En ese caso,

Q\cdot\begin{pmatrix}1\\ \tilde{y_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{y_{n}}\\ \end{pmatrix}=M(f,R)\cdot Q\cdot\begin{pmatrix}1\\ \tilde{x_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{x_{n}}\\ \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}1\\ \tilde{y_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{y_{n}}\\ \end{pmatrix}=Q^{-1}\cdot M(f,R)\cdot Q\begin{pmatrix}1\\ \tilde{x_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{x_{n}}\\ \end{pmatrix}

para todo $(\tilde{x_{1}},\ldots,\tilde{x_{n}})$ coordenadas de $P$ tal que $(\tilde{y_{1}},\ldots,\tilde{y_{n}})$ son las coordenadas de $f(P)$ .

Luego la matriz que relaciona las matrices respecto de distintos sistemas de referencia es

M(f,\tilde{R})=Q^{-1}\cdot M(f,R)\cdot Q