7 Variedades afines

Definition 7.1 (Variedad afin).

Dado un espacio afin (A,V,+)(A,V,+), todo subconjunto de AA de la forma

X=P+S⁢ o ⁢X={P+v∣v∈S}⁢=Q=P+P⁢Q→⁢{Q∈A∣P⁢Q→∈S}X=P+S\;\;\;\text{ o }\;\;\;X=\left\{P+v\mid v\in S\right\}\overset{Q=P+\vec{PQ% }}{=}\left\{Q\in A\mid\vec{PQ}\in S\right\}

donde P∈AP\in A y S≤VS\leq V se llama variedad afin que pasa por PP y tiene subespacio director SS.

Remark 7.2.

En general, si X⊆AX\subseteq A con X≠∅X\neq\varnothing y P∈XP\in X, XX se puede reescribir como

X=P+{P⁢Q→∣Q∈X}⏟Q∈XX=\underbrace{P+\left\{\vec{PQ}\mid Q\in X\right\}}_{Q\in X}
Example 7.3.

Sea A∈ℝ3A\in\mathbb{R}^{3}, V=ℝ3V=\mathbb{R}^{3} espacio afin estandar.

  1. 1.
    ​

    Consideramos P=(1,2,3)P=(1,2,3) y S=⟨(1,0,1)⟩S=\langle(1,0,1)\rangle. Veamos que es XX:

    X=P+S={(1,2,3)+λ⁢(1,0,1)∣λ∈ℝ}X=P+S=\left\{(1,2,3)+\lambda(1,0,1)\mid\lambda\in\mathbb{R}\right\}

    Por lo tanto, (x,y,z)=(1,2,3)+λ⁢(1,0,1)(x,y,z)=(1,2,3)+\lambda(1,0,1) y es una recta.

  2. 2.
    ​

    Consideramos P=(1,2,3)P=(1,2,3) y S=⟨(1,0,1),(1,0,0)⟩S=\langle(1,0,1),(1,0,0)\rangle. Entonces (x,y,z)=(1,2,3)+λ(1,0,1)+μ(1,0,0,)(x,y,z)=(1,2,3)+\lambda(1,0,1)+\mu(1,0,0,) y se obtiene un plano.

  3. 3.
    ​

    X=P+⟨v⟩X=P+\langle v\rangle. Si A=ℝ3A=\mathbb{R}^{3} espacio afin estandar,

    X={p1,p2,p3+λ⁢(v1,v2,v3)∣λ∈ℝ}X=\left\{p_{1},p_{2},p_{3}+\lambda(v_{1},v_{2},v_{3})\mid\lambda\in\mathbb{R}\right\}

    Luego (x,y,z)=(p1,p2,p3)+λ⁢(v1,v2,v3)(x,y,z)=(p_{1},p_{2},p_{3})+\lambda(v_{1},v_{2},v_{3}) (ecuacion parametrica de la recta). Esto es una generalizacion del ejemplo anterior.

  4. 4.
    ​

    Sea A=ℝ2A=\mathbb{R}^{2} espacio afin estandar y X={P∈ℝ2∣x∈[0,1],y=0}⊆AX=\left\{P\in\mathbb{R}^{2}\mid x\in[0,1],y=0\right\}\subseteq A.

    X=(0,0)+{(0,0)⁢(p1,p2)→∣p2=0,p1∈[0,1]}⏞S={(p1,0)∣p1∈[0,1]}X=(0,0)+\overbrace{\left\{\vec{(0,0)(p_{1},p_{2})}\mid p_{2}=0,p_{1}\in[0,1]% \right\}}^{S}=\left\{(p_{1},0)\mid p_{1}\in[0,1]\right\}

    Como S no es subespacio, no es variedad afin.

Definition 7.4.

Llamamos dimension de XX a la dimension de su subespacio director SS, es decir, dimX=dimSX\dim X=\dim S_{X}.

Definition 7.5.

Sea X=P+SX=P+S una variedad afin,

  • •
    ​

    si dimS=0\dim S=0, X=PX=P y se llama punto

  • •
    ​

    si dimS=1\dim S=1, XX se llama recta

  • •
    ​

    si dimS=2\dim S=2, XX se llama plano

  • •
    ​

    si dimS=dimV−1\dim S=\dim V-1, XX se llama hiperplano.

Remark 7.6.

Si dimS=dimV\dim S=\dim V, X=AX=A.

Lemma 7.7.

Sea X=P+SX=P+S una variedad afin:

  1. 1.
    ​

    Si Q∈XQ\in X entonces X=Q+SX=Q+S.

  2. 2.
    ​

    S={P⁢Q→∣Q∈X}={R⁢Q→∣R,Q∈X}S=\left\{\vec{PQ}\mid Q\in X\right\}=\left\{\vec{RQ}\mid R,Q\in X\right\}

Proof 7.8.

Como X=P+SX=P+S, sabemos que SS es un subespacio de VV.

  1. 1.
    ​

    Veamos que P+S=Q+SP+S=Q+S, donde Q∈XQ\in X.

    ⊆)\subseteq)

    Sea R∈P+SR\in P+S, es decir, R=P+wR=P+w donde w∈Sw\in S, w=P⁢R→w=\vec{PR}.

    R=P+P⁢R→,P⁢R→∈S⇒R=Q+Q⁢P→⏟P+P⁢R→R=P+\vec{PR},\vec{PR}\in S\Rightarrow R=\underbrace{Q+\vec{QP}}_{P}+\vec{PR}

    Q∈XQ\in X asi que Q⁢P→∈S\vec{QP}\in S. Como Q⁢P→\vec{QP} y P⁢R→\vec{PR} pertenecen a SS y SS es subespacio, Q⁢P→+P⁢R→∈S\vec{QP}+\vec{PR}\in S y R∈Q+SR\in Q+S.

    ⊇)\supseteq)

    R=Q+Q⁢R⏟→∈S=P+P⁢Q→+Q⁢R→∈P+SR=Q+\underbrace{\vec{QR}}_{\in S}=P+\vec{PQ}+\vec{QR}\in P+S

  2. 2.
    ​

    X≠∅X\neq\varnothing. Tomemos P∈XP\in X, entonces X=P+{P⁢Q→∣Q∈X}={Q∣Q∈X}X=P+\left\{\vec{PQ}\mid Q\in X\right\}=\left\{Q\mid Q\in X\right\}. Tenemos que probar que S={P⁢Q→∣Q∈X}={R⁢Q→∣R,Q∈X}S=\left\{\vec{PQ}\mid Q\in X\right\}=\left\{\vec{RQ}\mid R,Q\in X\right\}.

    Sabemos que se cumple X=P+S⁢=1)⁢R+S⁢∀R∈XX=P+S\overset{1)}{=}R+S\;\forall R\in X. Luego S=⋃R∈X{R⁢Q→∣Q∈X}={R⁢Q→∣R,Q∈X}S=\bigcup_{R\in X}\left\{\vec{RQ}\mid Q\in X\right\}=\left\{\vec{RQ}\mid R,Q% \in X\right\}.

Definition 7.9 (Intersección de variedades).

Dadas las variedades Xi=Pi+SiX_{i}=P_{i}+S_{i} con i∈Ii\in I (conjunto de indices finito o infinito).

Si ∩Xi≠0\cap X_{i}\neq 0, entonces ∩Xi\cap X_{i} es de nuevo una variedad afin y se puede expresar como ∩Xi=P+∩Si\cap X_{i}=P+\cap S_{i}, donde P∈∩XiP\in\cap X_{i}.

Definition 7.10 (Suma de variedades).

Dadas dos variedades {X1=P1+S1X2=P2+S2\begin{cases}X_{1}=P_{1}+S_{1}\\ X_{2}=P_{2}+S_{2}\end{cases}, se define

X1+X2=P1+⟨S1,P1⁢P2→,S2⟩=P1+S1+S2+⟨P1⁢P2→⟩,P1∈X1,P2∈X2X_{1}+X_{2}=P_{1}+\langle S_{1},\vec{P_{1}P_{2}},S_{2}\rangle=P_{1}+S_{1}+S_{2% }+\langle\vec{P_{1}P_{2}}\rangle,\;P_{1}\in X_{1},P_{2}\in X_{2}

donde + es notación y P1P_{1} puede ser tambien cualquier otro punto que este en X1X_{1} o en X2X_{2}.

X1+X2X_{1}+X_{2} es la menor variedad que contiene a X1X_{1} y a X2X_{2}.

Example 7.11.

Sea A=ℝ2A=\mathbb{R}^{2} espacio afin estandar y tres puntos P1,P2,P3∈AP_{1},P_{2},P_{3}\in A. Veamos que es P1+P2P_{1}+P_{2}.

Sabemos que P1=P1+{0V}P_{1}=P_{1}+\left\{0_{V}\right\} (variedad) y P2=P2+{0V}P_{2}=P_{2}+\left\{0_{V}\right\} (tambien variedad). Entonces

P1+P2=P1+⟨0V,0V,P1⁢P2→⟩=P1+⟨P1⁢P2→⟩P_{1}+P_{2}=P_{1}+\langle 0_{V},0_{V},\vec{P_{1}P_{2}}\rangle=P_{1}+\langle% \vec{P_{1}P_{2}}\rangle

La suma de estos dos puntos nos da la recta que pasa por ambos.

Supongamos que P3∉P1+P2P_{3}\notin P_{1}+P_{2},

P1+P2+P3=(P1+⟨P1⁢P2→⟩)+P3+{0V}=P1+⟨P1⁢P2,0V,P1⁢P3→→=P1+⟨P1⁢P2→,P1⁢P3→⟩P_{1}+P_{2}+P_{3}=(P_{1}+\langle\vec{P_{1}P_{2}}\rangle)+P_{3}+\left\{0_{V}% \right\}=P_{1}+\langle\vec{P_{1}P_{2},0_{V},\vec{P_{1}P_{3}}}=P_{1}+\langle% \vec{P_{1}P_{2}},\vec{P_{1}P_{3}}\rangle

Entonces P1+P2+P3P_{1}+P_{2}+P_{3} forma un plano y tiene dimension 2 (si tuviera dimension 1, entonces P3P_{3} estaria alineado con P1P_{1} y P2P_{2} y seria una recta).

7.1 Ecuaciones de una variedad respecto de un sistema de referencia

Sea X=P+SX=P+S una variedad afin y sea R={O,B={v1,…,vn}}R=\left\{O,B=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}\right\} un sistema de referencia.

Supongamos que tenemos las coordenadas de PP respecto del sistema de referencia, (P)R=(p1,…,pn)(P)_{R}=(p_{1},\ldots,p_{n}) y una base de SS {s1,…,sm}\left\{s_{1},\ldots,s_{m}\right\}.

Consideramos (s1)B,(s2)B,…,(sm)B(s_{1})_{B},(s_{2})_{B},\ldots,(s_{m})_{B} ⇒\Rightarrow escribimos la base de S en coordenadas respecto de BB por columnas en una matriz AA.

Queremos describir X=P+SX=P+S. Un punto QQ pertenece a XX si y solo si Q=P+P⁢Q→Q=P+\vec{PQ} donde P⁢Q→∈S=⟨s1,…,sm⟩\vec{PQ}\in S=\langle s_{1},\ldots,s_{m}\rangle ⇔Q=P+(λ1⁢s1+…+λm⁢sm)\iff Q=P+(\lambda_{1}s_{1}+\ldots+\lambda_{m}s_{m}) para escalares λ1,…,λm∈K⇔O⁢Q→=O⁢(P+(λ1⁢s1+⋯+λm⁢sm))→=O⁢P→+(λ1⁢s1+⋯+λm⁢sm)\lambda_{1},\ldots,\lambda_{m}\in K\iff\vec{OQ}=\vec{O(P+(\lambda_{1}s_{1}+% \cdots+\lambda_{m}s_{m}))}=\vec{OP}+(\lambda_{1}s_{1}+\cdots+\lambda_{m}s_{m}) para escalares λ1,…,λm∈K\lambda_{1},\ldots,\lambda_{m}\in K ⇔(O⁢Q→)B=(O⁢P→)B+(λ1⁢s1+…+λm⁢sm)\iff(\vec{OQ})_{B}=(\vec{OP})_{B}+(\lambda_{1}s_{1}+\ldots+\lambda_{m}s_{m}) para escalares λ1,…,λm∈K\lambda_{1},\ldots,\lambda_{m}\in K. Entonces

(x1⋮xn)=(p1⋮pn)+A⋅(λ1⋮λm) ec. parametricas de la variedad.\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{1}\\ \vdots\\ p_{n}\\ \end{pmatrix}+A\cdot\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\ \vdots\\ \lambda_{m}\\ \end{pmatrix}\quad\text{ ec. parametricas de la variedad.}

Segun cambian λ1,…,λm\lambda_{1},\ldots,\lambda_{m} se obtienen todos los puntos de la variedad.

Example 7.12.

Sea A=ℝ3A=\mathbb{R}^{3} e. afin estandar y el sistema de referencia R⁢C={(0,0,0),B⁢C}RC=\left\{(0,0,0),BC\right\}. Sea la variedad X=(1,2,3)+⟨(4,5,6)⟩X=(1,2,3)+\langle(4,5,6)\rangle.

(P)R⁢C=(0,0,0),(1,2,3)→=1⁢(1,0,0)+2⁢(0,1,0)+3⁢(0,0,1)(P)_{RC}=\vec{(0,0,0),(1,2,3)}=1(1,0,0)+2(0,1,0)+3(0,0,1)
S=⟨(4,5,6)B⁢C⟩A=(456)S=\langle(4,5,6)_{BC}\rangle\quad A=\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\\ \end{pmatrix}

Entonces las ecuaciones parametricas de la recta respecto de RC son

(xyz)=(123)+(456)⋅λ\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\\ \end{pmatrix}\cdot\lambda

que tambien se escriben como

{x=1+4⁢λy=2+5⁢λz=3+6⁢λ\begin{cases}x=1+4\lambda\\ y=2+5\lambda\\ z=3+6\lambda\end{cases}

Tambien podemos obtener las ecuaciones implicitas. Despejando λ,λ=x−14\lambda,\lambda=\frac{x-1}{4} y

{y=2+54⁢(x−1)z=3+64⁢(x−1)\begin{cases}y=2+\frac{5}{4}(x-1)\\ z=3+\frac{6}{4}(x-1)\end{cases}
Example 7.13.

X=P+S=(1,2,3)+⟨(4,5,6),(1,0,0)⟩X=P+S=(1,2,3)+\langle(4,5,6),(1,0,0)\rangle. Utilizando el sistema de referencia R⁢CRC,

(P)R⁢C=(1,2,3)A=(415060(s1)B⁢C(s2)B⁢C)\begin{array}[]{c}(P)_{RC}=(1,2,3)\\ A=\begin{pmatrix}4&1\\ 5&0\\ 6&0\\ (s_{1})_{BC}&(s_{2})_{BC}\end{pmatrix}\end{array}

Luego Q∈X⇔(Q)R⁢C=(x,y,z)Q\in X\iff(Q)_{RC}=(x,y,z) y cumple

(xyz)=(123)+(415060)⋅(λ1λ2)\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&1\\ 5&0\\ 6&0\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\ \lambda_{2}\\ \end{pmatrix}

Por tanto, las ecuaciones parametricas son

{x=1+4⁢λ1+λ2y=2+5⁢λ1z=3+6⁢λ1⇒6⁢y−5⁢z=−3⁢∀x\begin{cases}x=1+4\lambda_{1}+\lambda_{2}\\ y=2+5\lambda_{1}\\ z=3+6\lambda_{1}\end{cases}\Rightarrow 6y-5z=-3\;\forall x

Quitando parametros, obtenemos 6⁢y−5⁢z=−36y-5z=-3 para todo xx (porque xx toma infinitos valores al estar λ2\lambda_{2} solamente en su ecuacion). Esto es la ecuacion implicita.

A partir de las ecuaciones parametricas, operamos entre ellas para “librarnos” de los parametros, y obtenemos un sistema del tipo

{β11⁢x1+⋯+β1⁢n⁢xn=b1β21⁢x1+⋯+β2⁢n⁢xn=b2⋯βn⁢1⁢x1+⋯+βn⁢n⁢xn=bn\begin{cases}\beta_{11}x_{1}+\cdots+\beta_{1n}x_{n}=b_{1}\\ \beta_{21}x_{1}+\cdots+\beta_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \cdots\\ \beta_{n1}x_{1}+\cdots+\beta_{nn}x_{n}=b_{n}\end{cases}

Estas son las ecuaciones implicitas de la variedad. Cada una de estas ecuaciones es la ecuacion implicita de un hiperplano.

Example 7.14.

En ℝ3\mathbb{R}^{3}, las rectas tienen dos ecuaciones implicitas, cada una de ellas siendo la ecuacion de un plano. La recta es la interseccion de dos planos.

Las ecuaciones implicitas de una variedad son un sistema de ecuaciones lineales. Reciprocamente, las soluciones de un sistema lineal representan las coordenadas de los puntos de una variedad afin respecto de un sistema de referencia.

Caso particular de un hiperplano

Sea AA un espacio afin y dimA=n=dimV\dim A=n=\dim V. Sea R={O,B}R=\left\{O,B\right\} sistema de referencia.

Consideramos π=P+S\pi=P+S donde dimS=n−1\dim S=n-1 (hiperplano) y S=⟨s1,…,sn−1⟩S=\langle s_{1},\ldots,s_{n-1}\rangle (base de SS).

Si (P)R=(O⁢P→)B=(p1,…,pn)(P)_{R}=(\vec{OP})_{B}=(p_{1},\ldots,p_{n}) y AA es la matriz con (si)B(s_{i})_{B} por columnas, un punto QQ de coordenadas (x1,…,xn)(x_{1},\ldots,x_{n}) respecto de RR pertenece a π\pi si y solo si (x1⋮xn)=(p1⋮pn)+A⋅(λ1⋮λn−1)\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{1}\\ \vdots\\ p_{n}\\ \end{pmatrix}+A\cdot\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\ \vdots\\ \lambda_{n-1}\\ \end{pmatrix} para ciertos λ1,…,λn−1∈K\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n-1}\in K. Entonces las ecuaciones parametricas son

{x1=p1+a11⁢λ1+⋯+an−1⁢λn−1x2=p2+a21⁢λ1+⋯+a2⁢n−1⁢λn−1⋯xn=pn+an⁢1⁢λ1+⋯+an⁢n−1⁢λn−1\begin{cases}x_{1}=p_{1}+a_{11}\lambda_{1}+\cdots+a_{n-1}\lambda_{n-1}\\ x_{2}=p_{2}+a_{21}\lambda_{1}+\cdots+a_{2n-1}\lambda_{n-1}\\ \cdots\\ x_{n}=p_{n}+a_{n1}\lambda_{1}+\cdots+a_{nn-1}\lambda_{n-1}\end{cases}

Eliminando los parametros llegamos a la ecuacion implicita del hiperplano,

β1⁢x1+⋯+βn⁢xn=b\beta_{1}x_{1}+\cdots+\beta_{n}x_{n}=b

(forma de pasar de implicitas a parametricas).

Example 7.15.

Ecuaciones implicitas de XX {x+y+z=3y+2⁢z=7\begin{cases}x+y+z=3\\ y+2z=7\end{cases}.

Solucion: y=7−2⁢zy=7-2z.

x+7−2⁢z+z=3⇒x−z=−4⇒x=z−4,x+7-2z+z=3\Rightarrow x-z=-4\Rightarrow x=z-4,
{x=−4+λ1y=7−2⁢λ1z=λ1\begin{cases}x=-4+\lambda_{1}\\ y=7-2\lambda_{1}\\ z=\lambda_{1}\end{cases}

es decir,

(xyz)=(−470)+(1−21)⋅λ1\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\ 7\\ 0\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1\\ \end{pmatrix}\cdot\lambda_{1}
Example 7.16.

π=x+y+z=3\pi=x+y+z=3 (ec implicita). Pasar a parametrica:

x=3−λ−μy=λz=μ}\begin{rcases}x=3-\lambda-\mu\\ y=\lambda\\ z=\mu\end{rcases}
(xyz)=(300)+(−1−11001)⋅(λμ)\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1&-1\\ 1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\lambda\\ \mu\\ \end{pmatrix}

Como cambia la ecuacion implicita de un huperplano al cambiar de sistema de referencia?

Sea π=P+S\pi=P+S un hiperplano y R={O,B}R=\left\{O,B\right\} y R~={O~,B~}\tilde{R}=\left\{\tilde{O},\tilde{B}\right\} sistemas de referencia.

Si (x1,…,xn)(x_{1},\ldots,x_{n}) son las coordenadas de un punto respecto de RR y (x1~,…,xn~)(\tilde{x_{1}},\ldots,\tilde{x_{n}}) son las coordenadas del mismo punto respecto de R~\tilde{R},

(1x1⋮xn)=(10⁢⋯⁢⋯α1⋮M⁢(B~,B)αn)⏟Q⋅(1x1~⋮xn~)\left(\begin{array}[]{c}1\\ \hline\cr x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right)=\underbrace{\left(\begin{array}[]{c|c}1&0\cdots\cdots% \\ \hline\cr\alpha_{1}&\\ \vdots&M(\tilde{B},B)\\ \alpha_{n}&\end{array}\right)}_{Q}\cdot\left(\begin{array}[]{c}1\\ \hline\cr\tilde{x_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{x_{n}}\end{array}\right)

Supongamos que π\pi respecto de RR es a0+a1⁢x1+⋯+an⁢xn=0a_{0}+a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}=0 y respecto de R~\tilde{R} es a0~+a1~⁢x1~+⋯+an~⁢xn~\tilde{a_{0}}+\tilde{a_{1}}\tilde{x_{1}}+\cdots+\tilde{a_{n}}\tilde{x_{n}}. Queremos relacionar a0,…,ana_{0},\ldots,a_{n} con (a0~,…,an~)(\tilde{a_{0}},\ldots,\tilde{a_{n}}).

Sea Q∈πQ\in\pi,

{(Q)R=(q1,…,qn)∈π⇔a0+a1⁢q1+⋯+an⁢qn=0⇔(a0a1⋯an)⁢(1q1⋮qn)=0==(a0⋯an)⁢Q⁢(1q1~⋮qn~)(Q)R~=(q1~,…,qn~)∈π⇔a0~+a1~⁢q1~+⋯+an~⁢qn~=0⇔(a0~⋯an~)⁢(1q1~⋮qn~)=0\begin{cases}(Q)_{R}=(q_{1},\ldots,q_{n})\in\pi\iff a_{0}+a_{1}q_{1}+\cdots+a_% {n}q_{n}=0\iff\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&\cdots&a_{n}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ q_{1}\\ \vdots\\ q_{n}\\ \end{pmatrix}=0=\\ \quad=\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots&a_{n}\\ \end{pmatrix}Q\begin{pmatrix}1\\ \tilde{q_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{q_{n}}\\ \end{pmatrix}\\ (Q)_{\tilde{R}}=(\tilde{q_{1}},\ldots,\tilde{q_{n}})\in\pi\iff\tilde{a_{0}}+% \tilde{a_{1}}\tilde{q_{1}}+\cdots+\tilde{a_{n}}\tilde{q_{n}}=0\iff\begin{% pmatrix}\tilde{a_{0}}&\cdots&\tilde{a_{n}}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ \tilde{q_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{q_{n}}\\ \end{pmatrix}=0\end{cases}

Entonces ∃λ≠0\exists\lambda\neq 0 tal que (a0~,…,an~)=λ⁢(a0,…,an)⁢Q(\tilde{a_{0}},\ldots,\tilde{a_{n}})=\lambda(a_{0},\ldots,a_{n})Q. En la practica, cuando despejamos (a0~,…,an~)(\tilde{a_{0}},\ldots,\tilde{a_{n}}) en funcion de (a0,…,an)(a_{0},\ldots,a_{n}) y de Q podemos tomar cualquier valor de λ\lambda con tal de que sea λ≠0\lambda\neq 0 (ej λ=1)\lambda=1).

Example 7.17.

A=ℝ3A=\mathbb{R}^{3} espacio afin estandar.

Sea R⁢C={(0,0,0),B⁢C}RC=\left\{(0,0,0),BC\right\} y R~={(1,1,1),B~={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}}\tilde{R}=\left\{(1,1,1),\tilde{B}=\left\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\right\}\right\}.

XX la variedad afin que pasa por PP y tiene subespacio director SS donde (P)R⁢C=(0,0,1)(P)_{RC}=(0,0,1), S=⟨v⟩S=\langle v\rangle con (v)B⁢C=(1,1,−1)(v)_{BC}=(1,1,-1).

  • •
    ​

    Respecto de RC: un punto QQ que tiene coordenadas respecto de R⁢CRC dado por (x,y,z)(x,y,z)

    Ec parametricas ⁢(xyz)=(001)+(11−1)⋅λ\text{Ec parametricas }\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\\ \end{pmatrix}\cdot\lambda
    Ec implicitas ⁢{x=λy=λz=1−λ⇒{x−y=01−x−z=0⁢(∗)\text{Ec implicitas }\begin{cases}x=\lambda\\ y=\lambda\\ z=1-\lambda\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-y=0\\ 1-x-z=0\end{cases}(*)
  • •
    ​

    Respecto de R~\tilde{R}: (P)R~=(O~⁢P→)B~=((1,1,1)⁢(0,0,1)→)B~=(−1,−1,0)B~=(α,β,0)(P)_{\tilde{R}}=(\vec{\tilde{O}P})_{\tilde{B}}=(\vec{(1,1,1)(0,0,1)})_{\tilde{% B}}=(-1,-1,0)_{\tilde{B}}=(\alpha,\beta,0) donde (−1,−,1,0)=α⁢(1,1,1)+β⁢(1,1,0)+γ⁢(1,0,0)⇒(P)R~=(0,−1,0)(-1,-,1,0)=\alpha(1,1,1)+\beta(1,1,0)+\gamma(1,0,0)\Rightarrow(P)_{\tilde{R}}=% (0,-1,0).

    Por otro lado, (v)B~=((1,1,−1))B~=(−1,2,0)(v)_{\tilde{B}}=((1,1,-1))_{\tilde{B}}=(-1,2,0).

    Ec parametricas ⁢(x~y~z~)=(0−10)+(−120)⋅λ\text{Ec parametricas }\begin{pmatrix}\tilde{x}\\ \tilde{y}\\ \tilde{z}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 0\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 0\\ \end{pmatrix}\cdot\lambda
    Ec implicitas ⁢{z~=01+2⁢x~+y~=0\text{Ec implicitas }\begin{cases}\tilde{z}=0\\ 1+2\tilde{x}+\tilde{y}=0\end{cases}

Vamos a cambiar directamente las ecuaciones de los hiperplanos de (*) aprovechando la matriz del cambio de sistema de referencia (otra alternativa).

Q=(1000111111101100)Q=\left(\begin{array}[]{c|ccc}1&0&0&0\\ \hline\cr 1&1&1&1\\ 1&1&1&0\\ 1&1&0&0\end{array}\right)
  • •
    ​

    1º ecuacion: x−y=0x-y=0

    (01−10)=(a0a1a2a3)\begin{pmatrix}0&1&-1&0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ \end{pmatrix}

    Buscamos a0~+a1~⁢x~+a2~⁢y~+a3~⁢z~\tilde{a_{0}}+\tilde{a_{1}}\tilde{x}+\tilde{a_{2}}\tilde{y}+\tilde{a_{3}}% \tilde{z} donde (a0~a1~a2~a3~)=λ⏟1⁢(a0a1a2a3)⇒(a0~a1~a2~a3~)⋅1⋅(01−10)⋅Q=(0001)⇒z~=0\begin{pmatrix}\tilde{a_{0}}&\tilde{a_{1}}&\tilde{a_{2}}&\tilde{a_{3}}\\ \end{pmatrix}=\underbrace{\lambda}_{1}\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}\tilde{a_{0}}&\tilde{a_{1}}&\tilde{a_{2% }}&\tilde{a_{3}}\\ \end{pmatrix}\cdot 1\cdot\begin{pmatrix}0&1&-1&0\\ \end{pmatrix}\cdot Q=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\ \end{pmatrix}\Rightarrow\tilde{z}=0.

  • •
    ​

    2º ecuacion: 1−x−z=01-x-z=0.

    (1−10−1)=(a0a1a2a3)\begin{pmatrix}1&-1&0&-1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ \end{pmatrix}

    Buscamos a0~+a1~⁢x~+a2~⁢y~+a3~⁢z~\tilde{a_{0}}+\tilde{a_{1}}\tilde{x}+\tilde{a_{2}}\tilde{y}+\tilde{a_{3}}% \tilde{z} donde (a0~a1~a2~a3~)=(a0a1a2a3)⁢Q⇒(a0~a1~a2~a3~)=1⋅(1−10−1)⋅Q=(−1−2−1−1)⇒−1−2⁢x~−y~−z~=0\begin{pmatrix}\tilde{a_{0}}&\tilde{a_{1}}&\tilde{a_{2}}&\tilde{a_{3}}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ \end{pmatrix}Q\Rightarrow\begin{pmatrix}\tilde{a_{0}}&\tilde{a_{1}}&\tilde{a_{% 2}}&\tilde{a_{3}}\\ \end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1&-1&0&-1\\ \end{pmatrix}\cdot Q=\begin{pmatrix}-1&-2&-1&-1\\ \end{pmatrix}\Rightarrow-1-2\tilde{x}-\tilde{y}-\tilde{z}=0.

Aunque no es el mismo sistema que el anterior, son sistemas equivalentes.