2 Examen

Tipo test:

1. 1.
   ​

   Sea $f\in K[x]$ un polinomio irreducible de grado $n$ y $E$ cuerpo de escisión de $f$ sobre $\mathbb{Q}$. Entonces

   1. (a)
      ​

      $\left|E\colon\mathbb{Q}\right|=n$

   2. (b)
      ​

      $\left|E\colon\mathbb{Q}\right|\leq n$

   3. (c)
      ​

      Ninguna de las anteriores es correcta.

   Solución correcta: b).

2. 2.
   ​

   Supongamos $a,b\notin\mathbb{Q}$ son algebraicos sobre $\mathbb{Q}$. Entonces

   1. (a)
      ​

      $\left|\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}\right|=\left|\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}\right|:\left|\mathbb{Q}(b):\mathbb{Q}\right|$

   2. (b)
      ​

      $\left|\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}\right|\leq\left|\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}\right|\left|\mathbb{Q}(b):\mathbb{Q}\right|$

   3. (c)
      ​

      Ninguna de las anteriores opciones es correcta.

   Solución correcta: b). La opción a) se tiene solamente cuando $mcd(\left|\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}\right|,\left|\mathbb{Q}(b):\mathbb{Q}\right|)=1$.

3. 3.
   ​

   El grupo de automorfismos de $\mathbb{Q}$ (como cuerpo) es isomorfo a

   • •
     ​

     $\mathbb{Z}^{2}$

   • •
     ​

     el grupo trivial

   • •
     ​

     $\mathbb{Q}^{x}$

   Solución correcta: b). El 1 tiene que ir al 1, 2 al 2, -1 al -1, etc. y lo mismo con los racionales. La identidad es la única posibilidad.

4. 4.
   ​

   Supongamos que $L/K$ es una extensión finita y que $a\in L$. Si $p\in K[x]$ es un polinomio mónico e irreducible cumpliendo que $p(a)=0$. Entonces

   • •
     ​

     $\left|L\colon K\right|$ es igual al grado de $p$.

   • •
     ​

     $\left|L\colon K\right|$ es distinto del grado de $p$.

   • •
     ​

     $\left|L\colon K\right|$ puede ser igual al grado de $p$ o puede ser distinto del grado de $p$.

   Solución: c). El teorema del elemento algebraico solamente nos asegura esto para $L=K(a)$. Lo que podemos afirmar es que $\left|L:K\right|\geq deg(p)$, pues $K(a)$ es un cuerpo intermedio de $L$.

1 punto. Marca una casilla y demuestra la respuesta (marcar una casilla y dejar el ejercicio en blanco se considera cero aunque la casilla marcada sea la correcta).

• •
  ​

  $\sqrt{3}\in\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3})$

• •
  ​

  $\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3})$

Solución: $\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3})$. Por transitividad de índices, si $\sqrt{3}\in\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3})$ se tendría que $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{3})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3})$, luego $\underbrace{\left|\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}):\mathbb{Q}\right|}_{5}=\left|\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{3})\right|\underbrace{\left|\mathbb{Q}(\sqrt{3}):\mathbb{Q}\right|}_{2}$ pero $2\cancel{\mid}5$.

(5 puntos). Considera el polinomio $f(x)=x^{4}-2\in\mathbb{Q}[x]$. Realiza las siguientes tareas

1. 1.
   ​

   (0.5 puntos). Encuentra un cuerpo de escisión $E$ de $f$ sobre $\mathbb{Q}$.

2. 2.
   ​

   (1 punto). Determina $\left|E\colon\mathbb{Q}\right|$ y encuentra una base de $E/\mathbb{Q}$.

3. 3.
   ​

   (2 puntos). Determina el grupo de Galois de $f$ y enumera los elementos de dicho grupo.

4. 4.
   ​

   (1 punto). ¿Existe algún subcuerpo intermedio no trivial $\mathbb{Q}\subset L\subset E$ tal que $L/\mathbb{Q}$ es una extensión normal? En caso de que exista, encuéntralo. Justifica tu respuesta.

5. 5.
   ​

   (0.5 puntos). ¿Es $f$ un polinomio resoluble por radicales? Demuestra la respuesta.

Solución:

1. 1.
   ​

   $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$.

2. 2.
   ​

   Por transitividad de índices, $\left|\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i):\mathbb{Q}\right|=\left|\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i):\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})\right|\left|\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}\right|$. Se tiene que $\left|\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}\right|=4$ pues $f(x)=x^{4}-2$ es irreducible por el criterio de Eisenstein, tiene grado 4 y $f(\sqrt[4]{2})=0$.

   Por otro lado, $x^{2}+1\in\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})[x]$ es irreducible pues no pueden haber complejos en $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$. Luego una base es $\left\{1,i\right\}$ y $\left|\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i):\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})\right|=2$. Se obtiene entonces que $\left|\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i):\mathbb{Q}\right|=8$.

3. 3.
   ​

   $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)/\mathbb{Q})<S_{4}\Rightarrow Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)/\mathbb{Q})\cong D_{4}$, pues $\left|Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)/\mathbb{Q})\right|=8$.

   Una base de $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ es $\left\{1,i,\alpha,\alpha^{2},\alpha^{3},i\alpha,i\alpha^{2},i\alpha^{3}\right\}$. Si $\tau\in Gal(\mathbb{Q}(\alpha,i)/\mathbb{Q})$, quedará determinado por $\tau(i)$ y $\tau(\alpha)$.

   	$\alpha$	$i$
   $\tau_{1}$	$\alpha$	$i$
   $\tau_{2}$	$-\alpha$	$i$
   $\tau_{3}$	$i\alpha$	$i$
   $\tau_{4}$	$-i\alpha$	$i$
   $\tau_{5}$	$\alpha$	$-i$
   $\tau_{6}$	$-\alpha$	$-i$
   $\tau_{7}$	$i\alpha$	$-i$
   $\tau_{8}$	$-i\alpha$	$-i$

   Se puede obtener los órdenes de los elementos del grupo de Galois y, con ello, ver que es el grupo diédrico de orden 4, aplicando 1.72.

4. 4.
   ​

   Tenemos que ver si hay algún subgrupo normal en $D_{4}$. La descripción de $D_{4}$ es $D_{4}=\left\{a,b\mid a^{4}=b^{2}=abab=e\right\}$. Se tiene que $\langle a\rangle$ es normal pues $\left|D_{4}:\langle a\rangle\right|=2$. El subcuerpo es $\mathbb{Q}(i)$.

(2 puntos). ¿Cuáles de las siguientes extensiones son normales? Justifica la respuesta.

1. 1.
   ​

   $\mathbb{Q}(\sqrt{11},\sqrt{13})/\mathbb{Q}$.

2. 2.
   ​

   $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}(1+i))$.

Solución:

1. 1.
   ​

   $p(x)=(x^{2}-11)(x^{2}-13)$, luego es normal.

2. 2.
   ​

   $\alpha=\sqrt[4]{2}(1+i)\Rightarrow\alpha^{4}=-8$. Por tanto, consideramos el polinomio $f(x)=x^{4}+8\in\mathbb{Q}[x]$. Se tiene que $\left|\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}\right|\leq 4$. Las raíces de $f$ son $\alpha,-\alpha,i\alpha,-i\alpha$. En el anterior ejercicio, hemos visto que $\left|\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i):\mathbb{Q}\right|=8$ y ocurre que $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}(1+i),i)$ (ver por doble contenido).

   Además $\underbrace{\left|\mathbb{Q}(\alpha,i):\mathbb{Q}\right|}_{8}=\left|\mathbb{Q}(\alpha,i):\mathbb{Q}(\alpha)\right|\underbrace{\left|\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}\right|}_{4}$.