Part Fundamentos de Teoría de Grupos ‣ Estructuras Algebraicas Avanzadas

Definition 0.1 (Grupo).

Sea $X$ conjunto no vacío y $\otimes\colon X\times X\to X$ una función. Decimos que $(X,\otimes)$ es un grupo si

1.

Existencia de elemento neutro: existe $e\in G$ tal que $e\otimes x=x\otimes e=x$
2.

Existencia de elementos inversos: para cualquier $x\in G$ existe $x^{-1}\in G$ tal que $x\otimes x^{-1}=e=x^{-1}\otimes x$
3.

Propiedad asociativa: para cualesquiera $x,y,z\in G$ se tiene que $(x\otimes y)\otimes z=x\otimes(y\otimes z)$

Además, diremos que $(G,\otimes)$ es abeliano si

4.

Propiedad conmutativa: para cualesquiera $x,y\in G$ se tiene que $x\otimes y=y\otimes x$

Example 0.2.

1.

$(\mathbb{Z},+)$
2.

El grupo diédrico
3.

$(\mathfrak{{M}}_{n\times m}(K),+)$
4.

$(\mathbb{Z}_{n},+)$
5.

$(\mathbb{R}_{n}[x],+)$ (conjunto de polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}$ de grado menor o igual que $n$ )
6.

$(\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\},\cdot)$

Example 0.3.

Series formales de potencias: Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo. Tenemos que $f(x)\in\mathbb{K}[x]$ si $f(x)=f_{0}+f_{1}x+f_{2}x^{2}+\cdots$ y definimos también $g(x)=g_{0}+g_{1}x+g_{2}x^{2}+\cdots$ . Comprobar si $f(x)g(x)=\sum_{n\in\mathbb{N}}(\sum_{k=0}^{n}(f_{k}g_{n-k})x^{n})$ es un grupo.

Example 0.4.

Sea $S^{1}=\left\{a+bi\mid a^{2}+b^{2}=1\right\}$ .

Comprobar que la circunferencia con el producto de los complejos es un grupo.

Example 0.5.

$(\mathfrak{{M}}_{n}(\mathbb{R}),\cdot)$ no es un grupo, pues no todas las matrices son invertibles.

El conjunto $GL_{n}(\mathbb{R})=\left\{(a_{ij})_{i,j=1,\ldots,n}\mid a_{ij}\in\mathbb{R},% \text{ invertibles}\right\}$ es un grupo no abeliano.

Example 0.6.

Sea

\operatorname{diag}(\Theta_{1},\ldots,\Theta_{n})=\begin{pmatrix}e^{\Theta_{1}% i}&0&\cdots&0\\ 0&e^{\Theta_{2}i}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&e^{\Theta_{n}i}\\ \end{pmatrix}

definimos $T^{n}=\left\{\operatorname{diag}(\Theta_{1},\ldots,\Theta_{n})\mid\Theta_{i}% \in\mathbb{R}\right\}$ .

Por ejemplo, $T^{2}=\leavevmode\hbox to71.93pt{\vbox to34.49pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox% {\hskip 35.96594pt\lower-17.24475pt\hbox to0.0pt{\pgfsys@beginscope% \pgfsys@invoke{ }\definecolor{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{0}\pgfsys@invoke{ }\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}% {0}\pgfsys@invoke{ }\pgfsys@setlinewidth{0.4pt}\pgfsys@invoke{ }\nullfont\hbox to% 0.0pt{\pgfsys@beginscope\pgfsys@invoke{ }{{}} {}{{}}{}{{}{}{}{{}}{{{{}{}{}{}}} {{}{}{}{}}}}{} {} {} {} {}{}\pgfsys@beginscope\pgfsys@invoke{ }\pgfsys@setlinewidth{15.02637pt}% \pgfsys@invoke{ }{}\pgfsys@moveto{28.45276pt}{0.0pt}\pgfsys@curveto{28.45276pt% }{5.37466pt}{15.71422pt}{9.73157pt}{0.0pt}{9.73157pt}\pgfsys@curveto{-15.71422% pt}{9.73157pt}{-28.45276pt}{5.37466pt}{-28.45276pt}{0.0pt}\pgfsys@stroke% \pgfsys@invoke{ }\pgfsys@beginscope\pgfsys@invoke{ }{\pgfsys@setlinewidth{14.2% 2638pt}\pgfsys@invoke{ }\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,1,1}% \pgfsys@color@gray@stroke{1}\pgfsys@invoke{ }\pgfsys@moveto{28.45276pt}{0.0pt}% \pgfsys@curveto{28.45276pt}{5.37466pt}{15.71422pt}{9.73157pt}{0.0pt}{9.73157pt% }\pgfsys@curveto{-15.71422pt}{9.73157pt}{-28.45276pt}{5.37466pt}{-28.45276pt}{% 0.0pt}\pgfsys@stroke\pgfsys@invoke{ }}\pgfsys@invoke{\lxSVG@closescope }% \pgfsys@endscope\pgfsys@invoke{\lxSVG@closescope }\pgfsys@endscope {}{{}}{}{{}{}{}{{}}{{{{}{}{}{}}} {{}{}{}{}}}}{} {} {} {} {}{}\pgfsys@beginscope\pgfsys@invoke{ }\pgfsys@setlinewidth{15.02637pt}% \pgfsys@invoke{ }{}\pgfsys@moveto{-28.45276pt}{0.0pt}\pgfsys@curveto{-28.45276% pt}{-5.37466pt}{-15.71422pt}{-9.73157pt}{0.0pt}{-9.73157pt}\pgfsys@curveto{15.% 71422pt}{-9.73157pt}{28.45276pt}{-5.37466pt}{28.45276pt}{0.0pt}\pgfsys@stroke% \pgfsys@invoke{ }\pgfsys@beginscope\pgfsys@invoke{ }{\pgfsys@setlinewidth{14.2% 2638pt}\pgfsys@invoke{ }\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,1,1}% \pgfsys@color@gray@stroke{1}\pgfsys@invoke{ }\pgfsys@moveto{-28.45276pt}{0.0pt% }\pgfsys@curveto{-28.45276pt}{-5.37466pt}{-15.71422pt}{-9.73157pt}{0.0pt}{-9.7% 3157pt}\pgfsys@curveto{15.71422pt}{-9.73157pt}{28.45276pt}{-5.37466pt}{28.4527% 6pt}{0.0pt}\pgfsys@stroke\pgfsys@invoke{ }}\pgfsys@invoke{\lxSVG@closescope }% \pgfsys@endscope\pgfsys@invoke{\lxSVG@closescope }\pgfsys@endscope \pgfsys@invoke{\lxSVG@closescope }\pgfsys@endscope{}{}{}\hss}% \pgfsys@discardpath\pgfsys@invoke{\lxSVG@closescope }\pgfsys@endscope\hss}}% \lxSVG@closescope\endpgfpicture}}$

Example 0.7.

Consideremos un conjunto de “letras” $S$ y $S^{-1}=\left\{s^{-1}\mid s\in S\right\}$ . Por ejemplo, $S=\left\{a,b\right\}$ y $S^{-1}=\left\{a^{-1},b^{-1}\right\}$ .

Definimos $F_{S}=S\cup S^{-1}$ y la operación concatenar “palabras” (por ejemplo, $abaab^{-1}b$ ), con el neutro = $\varnothing$ . Esto es un grupo y se denomina grupo libre.

Example 0.8.

Consideremos $S_{n}=\left\{f\colon\left\{1,\ldots,n\right\}\to\left\{1,\ldots,n\right\}\mid f% \text{ es biyectiva}\right\}$ . Entonces $(S_{n},\circ)$ , donde $\circ$ es la composición de funciones, es un grupo (no abeliano).

Example 0.9.

Sea $\mathbb{K}_{n}$ el grafo completo de $n$ vértices, $Aut(\mathbb{K}_{n})=\left\{f\colon\mathbb{K}_{n}\to\mathbb{K}_{n}\mid f\text{ % es isomorfismo}\right\}$ con la composición es grupo.

Example 0.10.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ de dimensión $n$ . Considera $Aut(V)=\left\{f\colon V\to V\mid f\text{ isomorfismo lineal}\right\}$ , $(Aut(V),\circ)=GL_{n}(\mathbb{R})$ .

Proposition 0.11.

Sea $G$ un grupo. Entonces se cumple que

1.

el inverso de un elemento de $G$ es único.
2.

si $ab=e$ , entonces $a=b^{-1}$ y $b=a^{-1}$
3.

$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
4.

Sea $f\colon G\to G$ dada por $f(x)=x^{-1}$ , entonces es biyectiva.
5.

Sea $g\in G$ y definimos $f\colon G\to G$ dada por $f(x)=gx$ , $f$ es biyectiva.

Proof 0.12.

No demostrado en clase.

•

Sean $y$ , $y^{\prime}$ inversos de $x\in G$ . Entonces $y=e\cdot y=(y^{\prime}\cdot x)\cdot y=y^{\prime}(x\cdot y)=y^{\prime}\cdot e=y% ^{\prime}$ .
•

Si $ab=e$ , por definición $b$ es inverso de $a$ . Aplicando que el inverso de un elemento de $G$ es único, se tiene que $b=a^{-1}$ . Cambiando los papeles, también $a=b^{-1}$ .
•

$abb^{-1}a^{-1}=aea^{-1}=aa^{-1}=e$ , con lo que $b^{-1}a^{-1}$ es inverso de $ab$ y por la unicidad del elemento inverso $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ .
•

Suponer que $\exists x_{1},x_{2}$ tal que $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x^{-1}_{1}=x^{-1}_{2}\Rightarrow x_{1}x^{-1}_{1}=% x_{1}x^{-1}_{2}\Rightarrow e=x_{1}x^{-1}_{2}\Rightarrow x_{2}=x_{1}x^{-1}_{2}x% _{2}\Rightarrow x_{2}=x_{1}$ . Por tanto, es inyectiva. Además, dado $y\in G$ , se tiene que $y^{-1}=f(y)$ , con lo que también es suprayectiva.
•

Suponer que $\exists x_{1},x_{2}$ tal que $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow gx_{1}=gx_{2}\Rightarrow g^{-1}gx_{1}=g^{-1}gx_{2% }\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ , luego es inyectiva. Si $y\in G$ , se puede escribir como $y=gk,k\in G$ , por lo que $f(k)=y$ y es suprayectiva.

Proposition 0.13.

Sean $G$ y $H$ dos grupos, consideremos $G\times H$ y $\otimes\colon G\times H\times G\times H\to G\times H$ dada por $(g,h)\otimes(g^{\prime},h^{\prime})=(gg^{\prime},hh^{\prime})$ . Se tiene que $(G\times H,\otimes)$ es un grupo, y se denomina grupo directo de $G$ con $H$ .

Si $G$ y $H$ son grupos abelianos, se suele denotar la operación con $\oplus$ .

Proof 0.14.

Demostrar.

Example 0.15.

El grupo de Klein de 4 elementos: $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$ .

Definition 0.16 (Subgrupo).

Sea $G$ un grupo. Diremos que $H\subseteq G$ es subgrupo de $G$ si $H$ es grupo con la operación que hereda de $G$ y lo denotaremos por $H\leq G$ .

Example 0.17.

•

$\mathbb{C}\geq\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}\geq S^{1}\geq\left\{e^{\frac% {2\pi ik}{n}}\mid k=0,\ldots,n-1\right\}$ .

Theorem 0.18.

Sea $G$ un grupo y $H\subseteq G$ . Tenemos que $H$ es subgrupo de $G$ si y solo si $xy^{-1}\in H$ para cualesquiera $x,y\in H$ .

Proof 0.19.

$\Rightarrow)$: Trivial.
$\Leftarrow)$: Cogemos $x$ e $y$ tal que $x=y\Rightarrow e\in H$ . Además, si $y=e$ , $ex^{-1}\in H\Rightarrow x^{-1}\in H$ .

Por último, para $x,y\in H\Rightarrow xy\in H$ .

Corollary 0.20.

Si $G$ es un grupo y $\left\{H_{i}\mid i\in I\right\}$ es una familia de subgrupos de $G$ , entonces $\bigcap_{i\in I}H_{i}$ es subgrupo de $G$ .

Proof 0.21.

Trivial.

Definition 0.22 (Subgrupo generado).

Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$ no vacío. Denotaremos por $\langle X\rangle$ al subgrupo de $G$ que se obtiene de intersecar todos los subgrupos de $G$ que contienen a $X$ , y lo llamaremos subgrupo generado por $X$ .

Theorem 0.23.

Sea $G$ un grupo y $X\subseteq G$ no vacío. Tenemos que $\langle X\rangle$ está generado por los productos finitos de la forma $a^{n_{1}}_{1}\cdot\ldots\cdot a^{n_{t}}_{t}$ donde $a_{i}\in X,n_{i}\in\mathbb{Z}$ .

Proof 0.24.

Definamos $H$ como el conjunto de los elementos que tienen la siguiente forma: $a^{n_{1}}_{1}\cdot\ldots\cdot a^{n_{t}}_{t}$ donde $a_{i}\in X,n_{i}\in\mathbb{Z}$ . Vamos a demostrar que $H$ es un subgrupo de $G$ y que tenemos la siguiente cadena de subgrupos $H\leq\langle X\rangle\leq H$ , de donde se deduce que $H=\langle X\rangle$ . Tomemos $x,y\in H$ , con $x=a^{n_{1}}_{1}\cdots a^{n_{t}}_{t}$ e $y=b^{m_{1}}_{1}\cdots b^{m_{s}}_{s}$ . Es evidente que $xy^{-1}$ es un producto finito de la forma $c^{l_{1}}_{1}\cdots c^{l_{k}}_{t}$ , por lo que $xy^{-1}\in H$ . Aplicando el teorema 0.18 tenemos que $H$ es subgrupo de $G$ .

Primero, veamos que $H\leq K$ para cada subgrupo $K$ de $G$ que contiene a $X$ . Tomamos $x\in H$ , luego $x=a^{n_{1}}_{1}\cdots a^{n_{t}}_{t}$ donde $a_{i}\in X$ y $n_{i}\in\mathbb{Z}$ . Como $a_{i}\in K$ , tenemos que $a^{n_{i}}_{i}\in K$ y se deduce que $x\in K$ . Con esto obtenemos que $H\leq\langle X\rangle$ , dado que $\langle X\rangle$ es la intersección de todo grupo que contiene a $X$ . Por otro lado, por construcción tenemos que $X\subseteq H$ y consecuentemente $\langle X\rangle\leq H$ .

Proposition 0.25.

Sea $G$ un grupo, $H,K<G$ . $H\cup K$ no es necesariamente subgrupo de $G$ .

Sin embargo, $\langle H\cup K\rangle$ sí es subgrupo de $G$ y se denomina suma de subgrupos o join de $H$ y $K$ .

Definition 0.26.

Sea $G$ un grupo, $X,Y\subseteq G$ . Definimos

XY=\left\{xy\mid x\in X,y\in Y\right\}

X^{-1}=\left\{x^{-1}\mid x\in X\right\}

Theorem 0.27.

Sea $G$ un grupo, $H,K\leq G$ . Entonces

HK\leq G\iff HK=KH

Proof 0.28.

$\Rightarrow)$: Supongamos que $HK<G$ y sea $x\in HK$ . Se tiene que $x$ es de la forma $x=hk$ con $h\in H$ y $k\in K$ . Por tanto, $x^{-1}=k^{-1}h^{-1}\in HK$ (por ser grupo) y $k^{-1}h^{-1}=\hat{h}\hat{k}$ con $\hat{h}\in H$ y $\hat{k}\in K$ .

Luego $x=(x^{-1})^{-1}=(\hat{h}\hat{k})^{-1}=\hat{k}^{-1}\hat{h}^{-1}\in KH$ .

Por tanto, $HK\subseteq KH$ . La demostración de que $HK\supseteq KH$ es análoga.
$\Leftarrow)$: Supongamos que $HK=KH$ y comprobemos que se verifica la caracterización de subgrupos. Sean $x=h_{1}k_{1}\in HK$ y $y=h_{2}k_{2}\in HK$ , entonces $xy^{-1}=h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^{-1}=h_{1}k_{1}k^{-1}_{2}h^{-1}_{2}=h_{1}hkk^{% \prime}\in HK$ para algún $h\in H$ y $k,k^{\prime}\in K$ pues $HK=KH$ .

Definition 0.29.

Sea $G$ un grupo y $H\leq G$ . Diremos que $Hx=\left\{hx\mid h\in H\right\}$ es la clase por la derecha de $x$ módulo $H$ .

Diremos que $xH=\left\{xh\mid h\in H\right\}$ es la clase por la izquierda de $x$ módulo $H$ .

Lemma 0.30.

Sea $G$ grupo, $H\leq G$ y $x\in G$ . Entonces

1.

$Hx=H\iff x\in H$
2.

$Hx=Hy\iff xy^{-1}\in H$
3.

$Hx\cap Hy\neq\varnothing\iff Hx=Hy$

Proof 0.31.

1.

Trivial.
2.

Veamos que $Hx=Hy\iff xy^{-1}\in H$ .

$\Rightarrow)$

Suponer que $Hx=Hy$ y que $z\in Hx\cap Hy$ . Entonces

$\begin{cases}z\in Hx\Rightarrow z=hx\;h\in H\\ z\in Hy\Rightarrow z=\overline{h}y\;\overline{h}\in H\end{cases}$

Luego $hx=z=\overline{h}y\Rightarrow hx=h\overline{y}\Rightarrow x=h^{-1}\hat{h}y% \Rightarrow xy^{-1}=h^{-1}h$ . Por tanto, $xy^{-1}\in H$ .

$\Leftarrow)$

Ejercicio.
3.

$\Rightarrow)$ Supongamos que $z\in Hx\cap Hy\neq\varnothing\Rightarrow z\in Hx$ y $z\in Hy$ . Luego $z=hx=\overline{h}y$ con $h,\overline{h}\in H$ , con lo que $xy^{-1}=h^{-1}\overline{h}\in H$ . Utilizando el apartado 2, $Hx=Hy$ .

$\Leftarrow)$ Ejercicio.

Definition 0.32.

Dado un grupo $G$ y $H\leq G$ , al cardinal de $\left\{Hx\mid x\in G\right\}$ lo llamaremos índice de $G$ en $H$ y lo denotaremos por $\left|G\colon H\right|$ .

Lemma 0.33.

Sea $G$ un grupo y $H\leq G$ .

\left|\left\{xH\mid x\in G\right\}\right|=\left|\left\{Hx\mid x\in G\right\}\right|

Proof 0.34.

Ejercicio, construir una biyección.

Theorem 0.35 (de Lagrange).

Sea $G$ un grupo finito y $H\leq G$ . Entonces

\frac{\left|G\right|}{\left|H\right|}=\left|G\colon H\right|

Proof 0.36.

Suponemos que $H=\left\{h_{1},h_{2},\ldots,h_{n}\right\}\leftarrow n$ elementos. Vemos que $aH=\left\{ah_{1},ah_{2},\ldots,ah_{n}\right\}$ , con todos los elementos distintos dos a dos por la propiedad de cancelacion. Es decir, $|aH|=|H|$ .

Como $\equiv_{i}$ es una relación de equivalencia, $G$ es la unión disjunta de las clases de equivalencia a la izquierda. Por tanto, $|G|=\underbrace{|H|+\cdots+|H|}_{[G\colon H]\text{ veces}}=[G\colon H]\cdot|H|$ .

Definition 0.37.

Sea $G$ un grupo y $x\in G$ . Diremos que el orden de $x$ es el menor natural $n$ tal que $x^{n}=e$ , y lo denotaremos por $o(x)$ en caso de que exista.

Ejercicio 1

Definition 0.38.

Sea $G$ un grupo y $N\leq G$ . Diremos que $N$ es normal en $G$ si para cualquier $x\in G$ se tiene que $xN=Nx$ y lo denotaremos por $N\trianglelefteq G$ .

Theorem 0.39.

Sea $G$ grupo, $N\trianglelefteq G$ y $H\leq G$ . Entonces $HN$ es subgrupo de $G$ .

Proof 0.40.

Tenemos que probar que $HN=NH$ por el teorema 0.27.

HN=\bigcup_{h\in H}hN\overset{N\trianglelefteq G}{=}\bigcup_{h\in H}Nh=NH

Theorem 0.41.

Sea $G$ grupo y $N\leq G$ . Las siguientes condiciones son equivalentes:

1.

$N$ es subgrupo normal en $G$ ( $Nx=xN\;\forall x\in G$ )
2.

$x^{-1}Nx=N$ para todo $x\in G$
3.

$x^{-1}Nx\subseteq N$ para todo $x\in G$

Definition 0.42.

Sea $G$ y $N\trianglelefteq G$ , definimos

G/N=\left\{Nx\mid x\in G\right\}

y lo denotaremos por grupo cociente. Además, $\left|G/N\right|=\left|G\colon N\right|=\frac{\left|G\right|}{\left|N\right|}$ .

Remark 0.43.

Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales.

Theorem 0.44.

Sea $G$ un grupo y $N\trianglelefteq G$ . Entonces $G/N$ tiene estructura de grupo con la operación

(Nx)(Ny)=Nxy

Proof 0.45.

Como $N$ es normal, $xN=Nx$ y se tiene que

NxNy=NNxy=Nxy

por lo que la operación está bien definida.

Veamos que cumple las propiedades de grupo:

1.

Elemento neutro: $N$ .
2.

Inverso: dado $Nx\in G/N$ , su inverso es $Nx^{-1}$ ya que $Nx\cdot Nx^{-1}=Nxx^{-1}N=Ne=N$ y $Nx^{-1}\cdot Nx=Nx^{-1}x=Ne=N$ .
3.

Asociativa: $(NxNy)Nz=NxyNz=Nxyz$ y $Nx(NyNz)=NxNyz=Nxyz$ .

Example 0.46.

Sea $(\mathbb{Z},+)$ enteros con la suma. Considera $N=\left\{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\right\}$ y se tiene que $N\trianglelefteq\mathbb{Z}$ . Veamos cuales son las clases:

\mathbb{Z}/N=\left\{Nx\mid x\in\mathbb{Z}\right\}

Hay dos clases, que son

\begin{cases}N0=\left\{0+x\mid x\in N\right\}=N\\ N1=\left\{1+x\mid x\in N\right\}=\left\{\ldots,-3,-1,1,3,\ldots\right\}\end{cases}

por lo que $\mathbb{Z}/N=\left\{N,N1\right\}$ . Por otro lado,

\begin{cases}NN=N\\ NN1=N(0+1)=N1\\ N1N=N(1+0)=N1\\ N1N1=N(1+1)=N2=N\end{cases}

con lo que se trata del grupo $\mathbb{Z}_{2}$ (isomorfo).

Theorem 0.47.

Sea $G$ un grupo finito. Si $H<G$ tal que $\left|G\colon H\right|=2\Rightarrow H\trianglelefteq G$ .

Proof 0.48.

Si $\left|G\colon H\right|=2$ solamente hay dos clases, una de ellas $H$ y la otra $Hx$ con $x\notin H$ .

Se tiene que $G=H\cup Hx$ y $Hx=G\setminus H\overset{*}{=}xH$ .

Definition 0.49.

Diremos que un grupo $G$ es simple si los unicos subgrupos normales son el trivial y el total.

Definition 0.50.

Sea $G$ un grupo, diremos que $S$ es un conjunto de generadores si cualquier elemento de $G$ se puede expresar como productos de potencias de elementos de $S$ .

Example 0.51.

1.

En $\mathbb{Z}_{2}=\left\{0,1\right\}$ , $S=\left\{1\right\}$
2.

En $\mathbb{Z}_{3}=\left\{0,1,2\right\}$ , $S=\left\{1\right\}=\left\{2\right\}$ .

Definition 0.52 (Presentación).

Sea $G$ un grupo. Una presentación de $G$ consiste en dos conjuntos $S$ y $R$ , siendo $S$ conjunto de generadores y $R$ relaciones entre los generadores, y se denota por $G=\langle S|R\rangle$ .

Example 0.53.

•

$D_{2n}=\langle a,b\mid\underbrace{a^{n}}_{=e},\underbrace{a^{2}}_{=e},% \underbrace{abab}_{=e}\rangle$ .
•

$C_{n}=\langle a\mid a^{n}\rangle$ .
•

$\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1},a^{8},b^{4},a^{3}b^{2}\rangle=\mathbb{Z}_{4}$ .

Definition 0.54 (Homomorfismo).

Sean $G$ y $H$ dos grupos y $f\colon G\to H$ una aplicación. Diremos que $f$ es un homomorfismo de grupos si $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$

Example 0.55.

1.

Aplicaciones lineales de álgebra lineal: $f(av+bw)=af(v)+bf(w)$ .
2.

En $\mathfrak{{M}}_{n\times n}=\left\{(a_{ij})_{i,j=1,\ldots,n}\mid a_{ij}\in% \mathbb{R}\right\}$ , la función $\mathrm{det}$ no es homomorfismo de grupos.
3.

En $GL_{n}(\mathbb{R})=\left\{(a_{ij})_{i,j=1,\ldots,n}=A\mid det(A)\neq 0\right\}$ , si definimos

$\displaystyle det\colon(GL_{n}(\mathbb{R}),\cdot)$

$\displaystyle{}\longrightarrow(\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\},\cdot)$

$\displaystyle A$

$\displaystyle{}\longmapsto det(A)$

$\mathrm{det}$ es un homomorfismo ya que $det(AB)=det(A)det(B)$ .

Definition 0.56.

Sea $f\colon G\to H$ un homomorfismo de grupos. Diremos que

1.

$f$ es monomorfismo si $f$ es inyectiva.
2.

$f$ es epimorfismo si $f$ es sobreyectiva.
3.

$f$ es isomorfismo si $f$ es biyectiva.

Además, si $G=H$ y $f$ es isomorfismo, diremos que $f$ es automorfismo.

Ejercicio 2

Demuestra que $f\colon G\to H$ es un isomorfismo de grupos si y solo si existe $g\colon H\to G$ homomorfismo de grupos tal que $f\circ g=Id_{H}$ y $g\circ f=Id_{G}$ .

Lemma 0.57.

Supongamos que $f\colon G\to H$ homomorfismo de grupos. Entonces

1.

$f(e_{G})=e_{H}$
2.

$f(x^{-1})=f(x)^{-1}\;\forall x\in G$
3.

Si $N\leq G$ , entonces $f(N)\leq H$
4.

Si $n\in\mathbb{Z}$ y $x\in G$ , entonces $f(x^{n})=f(x)^{n}$

Proof 0.58.

Ejercicio.

Definition 0.59.

Sea $f\colon G\to H$ homomorfismo de grupos. Definimos el núcleo de $f$ como

Ker(f)=\left\{x\in G\mid f(x)=e\right\}

y la imagen de $f$ como

Im(f)=\left\{f(x)\mid x\in G\right\}

Proposition 0.60.

Sea $f\colon G\to H$ homomorfismo de grupos. Entonces $Im(f)\leq H$ y $Ker(f)\trianglelefteq G$ . Además, $f$ es monomorfismo si y solo si $Ker(f)=\left\{e\right\}$ .

Proof 0.61.

Ejercicio.

Theorem 0.62.

Sean $G$ y $H$ grupos, $f\colon G\to H$ homomorfismo de grupos. Supongamos $N\trianglelefteq G$ tal que $N\subseteq Ker(f)$ . Entonces existe un único homomorfismo de grupos $\overline{f}\colon G/N\to H$ tal que hace conmutativo el siguiente diagrama (arriba G y H conectados por una flecha con f, debajo g/n conectado con G por la función pi y conectado con H por la función $\overline{f}$ ) $\iff f=\overline{f}\circ\pi$ , con

\displaystyle\pi\colon G

\displaystyle{}\longrightarrow G/N

\displaystyle g

\displaystyle{}\longmapsto Ng

Proof 0.63.

Tenemos que ver que $\overline{f}$ está bien definida. Sea $Nx=Ny$ con $x\neq y$ , entonces tenemos que probar que $\overline{f}(Nx)=\overline{f}(Ny)$ . Se tiene que

\overline{f}(Nx)=f(x)\overset{n\in N\subseteq Ker(f)}{=}f(n)f(x)=f(nx)

Si $a\in Nx=Ny$ , $a=nx=my$ para ciertos $n,m\in N$ , por lo que $f(nx)=f(my)=f(m)f(y)=f(y)=\overline{f}(Ny)$ .

Es trivial que $\overline{f}$ es homomorfismo de grupos. Además, $f=\overline{f}\circ\pi$ . Lo siguiente es demostrar que $\overline{f}$ es única. Supongamos que existe $\overline{f}^{\prime}\colon G/N\to H$ tal que $f=\overline{f}^{\prime}\circ\pi$ . Sea $x\in G$ , entonces $f(x)=\overline{f}^{\prime}\circ\pi(x)=\overline{f}\circ\pi(x)$ , por lo que $\overline{f}^{\prime}(y)=\overline{f}(y)\;\forall y\in G/N$ .

Theorem 0.64 (Primer teorema de isomorfia).

Sea $f\colon G\to H$ un homomorfismo de grupos. Entonces $G/Ker(f)$ es isomorfo a $Im(f)$ .

Proof 0.65.

$f\colon G\to Im(f)\subseteq H$ es epimorfismo. Si $N=Ker(f)$ , por el anterior teorema existe un único homomorfismo

\overline{f}\colon G/Ker(f)\to Im(f)

tal que $f=\overline{f}\circ\pi$ , con $f$ y $\pi$ sobreyectivas. Por tanto, $\overline{f}$ también es sobreyectiva. Veamos que también es inyectiva:

Ker(\overline{f})=\left\{Ker(f)x\mid\overline{f}(Ker(f)x)=e\right\}=\left\{x% \in G\mid f(x)=e\right\}=Ker(f)=e_{G/Ker(f)}

Luego existe una biyección entre $G/Ker(f)$ e $Im(f)$ , por lo que son isomorfos.

Theorem 0.66 (Segundo teorema de isomorfia).

Sea $G$ un grupo, $K\subseteq G$ y $N\trianglelefteq G$ . Entonces

NK/N\equiv K/(K\cap N)

Proof 0.67.

Se tiene que $N$ y $K$ son subgrupos de $NK$ . Se define $\pi$ como $\pi\colon NK\to NK/N$ . Podemos considerar $f=\pi|_{K}\colon K\to NK/N$ .

Veamos que $f$ es sobreyectiva. Sea $Nx\in NK/N$ , con $x=nk\in NK$ . Entonces $Nnk=Nk\Rightarrow f(k)=\pi(k)=Nk$ . Por otro lado,

Ker(f)=\left\{k\in K\mid f(k)=N\right\}=\left\{k\in K\mid Nk=N\right\}=\left\{% k\in K\mid k\in N\right\}=K\cap N

Aplicando el primer teorema de isomorfia, queda demostrado que $NK/N$ y $K/(K\cap N)$ son isomorfos.

Theorem 0.68 (Tercer teorema de isomorfia).

Sea $G$ un grupo y $K,N\trianglelefteq G$ . Entonces se cumple que $N/K$ es subgrupo normal de $G/K$ y $(G/K)/(N/K)$ y $G/N$ son isomorfos.

Proof 0.69.

Ejercicio.

Theorem 0.70.

Si $N\trianglelefteq G$ , entonces todo subgrupo normal de $G/N$ es de la forma $K/N$ donde $K$ contiene a $N$ .

Definition 0.71.

Sea $G$ un grupo, se define $Aut(G)=\left\{\alpha\colon G\to G\mid\alpha\text{ es isomorfismo}\right\}$ .

Además, $(Aut(G),\circ)$ es un grupo.

Ejercicio 3

Calcular el grupo de automorfismos de $(\mathbb{Z},+)$ , $Aut(\mathbb{Z})$ . Pista: $Aut(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}_{2}$ .

Definition 0.72 (Centro).

Sea $G$ un grupo, se define $Z(G)=\left\{g\in G\mid xg=gx\;\forall x\in G\right\}$ y lo denotaremos por centro del grupo $G$ .

Ejercicio 4

Probar que $Z(G)\trianglelefteq G$ .

Definition 0.73.

Sean $x,g\in G$ , diremos que el conjugado de $x$ por $g$ es $g^{-1}xg$ (o $gxg^{-1}$ ) y lo denotaremos por $x^{g}$ .

Definition 0.74.

Dado $g\in G$ , definimos $Cl(g)=\left\{x^{-1}gx\mid x\in G\right\}$ y lo llamamos clase de conjugación.

Ejercicio 5

La relación $g\sim h\iff\exists k\in G\mid g=k^{-1}hk$ es una relación de equivalencia.

Proposition 0.75.

Sea $G$ un grupo y $g\in G$ , podemos considerar

\displaystyle\alpha_{g}\colon G

\displaystyle{}\longrightarrow G

\displaystyle g

\displaystyle{}\longmapsto x^{g}

y se tiene que es automorfismo, si $h\in G$ entonces $\alpha_{g}\alpha_{h}=\alpha_{hg}$ y si $H\leq G$ entonces $H^{g}\leq G$ .

Proof 0.76.

1.
Automorfismo:
- •
  
  Homomorfismo de grupos: sean $x,y\in G$ , $\alpha_{g}(xy)=\alpha_{g}(x)\alpha_{g}(y)$ ?
  
  $\alpha_{g}(xy)=g^{-1}xyg=g^{-1}xeyg=\underbrace{g^{-1}xg}_{\alpha_{g}(x)}% \underbrace{g^{-1}yg}_{\alpha_{g}(y)}=\alpha_{g}(x)\alpha_{g}(y)$
- •
  
  Inyectividad: sea $x\in Ker(\alpha_{g})$ , entonces
  
  $\alpha_{g}(x)=e\Rightarrow g^{-1}xg=e\Rightarrow xg=g\Rightarrow x=e$
- •
  
  Sobreyectividad: sea $x\in G$ , existe $y$ tal que $\alpha_{g}(y)=x?$
  
  $\alpha_{g}(gxg^{-1})=g^{-1}(gxg^{-1})g=x$
2.

Sea $h\in G$ , $\alpha_{h},\alpha_{g}\colon G\to G$ , $\alpha_{g}\alpha_{g}=\alpha_{hg}$ ?

Sea $x\in G$ , $\alpha_{g}(\alpha_{h}(x))=\alpha_{g}(h^{-1}xh)=g^{-1}h^{-1}xhg=(hg)^{-1}xhg=% \alpha_{hg}(x)$ .
3.

Veamos que dado $H\leq G$ , $H^{g}=\left\{g^{-1}hg\mid h\in G\right\}\leq G$ .

Sean $x,y\in H^{g}$ , entonces $x=g^{-1}hg$ , $y=g^{-1}\overline{h}g$ donde $h,\overline{h}\in H$ .

$xy^{-1}=g^{-1}hg(g^{-1}\overline{h}g)^{-1}=g^{-1}hgg^{-1}\overline{h}^{-1}g=g^% {-1}\underbrace{h\overline{h}^{-1}}_{\in H}g\in H^{g}$

Definition 0.77.

Se define el conjunto de automorfismos internos, y se denota por $Int(G)$ , al conjunto

Int(G)=\left\{\alpha_{g}\colon G\to G\mid g\in G\right\}

Theorem 0.78.

Sea $G$ un grupo. Entonces $Int(G)\trianglelefteq Aut(G)$ y $Int(G)\approx G/Z(G)$ .

Proof 0.79.

Veamos que $Int(G)$ es normal en $Aut(G)$ . Sea $\alpha_{g}\in Int(G)$ y comprobemos que $f^{-1}\alpha_{g}f\in Int(G)$ para $f\in Aut(G)$ .

Sea $x\in G$ , $(f^{-1}\alpha_{g}f)(x)=f^{-1}(\alpha_{g}(f(x)))=f^{-1}(g^{-1}f(x)g)=f^{-1}(g^{% -1})f^{-1}(f(x))f^{-1}(g)=(f^{-1}(g))^{-1}xf^{-1}(g)=\alpha_{f(g)^{-1}}(x)\in Int% (G)$ .

Por otro lado, veamos que $Int(G)\approx G/Z(G)$ . Sea $T\colon G\to Int(G),g\mapsto\alpha_{g^{-1}}$ y se tiene que $T(gh)=\alpha_{(gh)^{-1}}(x)=ghx(gh)^{-1}=ghxh^{-1}g^{-1}=\alpha_{g^{-1}}\alpha% _{h^{-1}}(x)=T(g)T(h)$ , por lo que es homomorfismo. Además, $Ker(T)=\left\{g\in G\mid T(g)=\alpha_{e}\right\}=\left\{g\in G\mid\alpha_{g^{-% 1}}=\alpha_{e}\right\}=\left\{g\in G\mid gxg^{-1}=exe\;\forall x\in G\right\}=% \left\{g\in G\mid gxg^{-1}=x\;\forall x\in G\right\}=\left\{g\in G\mid gx=xg\;% \forall x\in G\right\}=Z(G)$ . Aplicando el primer teorema de isomorfia, $Int(G)\approx G/Z(G)$ .