Parte II Acciones de grupos

Definición II.1.

Sea $G$ un grupo y $X$ un conjunto no vacío. Diremos que una aplicación $\varphi\colon G\times X\to X$ es una acción de $G$ sobre $X$ si

1.

$\varphi(e,x)=x\;\forall x\in X$
2.

$\varphi(g,\varphi(h,x))=\varphi(gh,x)\;\forall x\in X$ y $\forall g,h\in G$ .

Notación: en lugar de escribir $\varphi(g,x)$ , normalmente escribiremos $gx$ .

Ejemplo II.1.

1.
La conjugación

$\displaystyle\varphi\colon G\times G$

$\displaystyle{}\longrightarrow G$

$\displaystyle(g,h)$

$\displaystyle{}\longmapsto\varphi((g,h))=h^{g^{-1}}$

es una acción de grupos. Veamos que se cumplen las condiciones anteriores:
1. a)
  
  $\varphi(e,h)=h^{e}=e^{-1}he=h$ .
2. b)
  
  $\varphi(g,\varphi(l,h))=\varphi(g,h^{l^{-1}})=\varphi(g,lhl^{-1})=(lhl^{-1})^{% g^{-1}}=glhl^{-1}g^{-1}=glh(gl)^{-1}=h^{(gl)^{-1}}=\varphi(gl,h)$ .
2.
Sea $G$ un grupo. Entonces

$\displaystyle\varphi\colon G\times G$

$\displaystyle{}\longrightarrow G$

$\displaystyle(g,h)$

$\displaystyle{}\longmapsto\varphi((g,h))=\varphi(g,h)=gh$

es acción de grupos ya que
1. a)
  
  $\varphi(e,h)=eh=h$ .
2. b)
  
  $\varphi(g,\varphi(l,h))=\varphi(g,lh)=glh=\varphi(gl,h)$ .
3.
Sea $X=\left\{1,\ldots,n\right\}$ . Entonces

$\displaystyle\varphi\colon S_{x}\times X$

$\displaystyle{}\longrightarrow X$

$\displaystyle(f,i)$

$\displaystyle{}\longmapsto\varphi((f,i))=f(i)$

es acción de grupos.
- $\varphi(e,i)=e(i)=i$
- $\varphi(f,\varphi(g,i))=\varphi(f,g(i))=f(g(i))=(fg)(i)=\varphi(fg,i)$ .
4.
$\begin{cases}y^{\prime}_{1}(t)=1\rightarrow y_{1}(t)=t+c\rightarrow y_{1}(t)=t% +x_{0}\\ y^{\prime}_{2}(t)=0\rightarrow y_{2}(t)=d\rightarrow y_{2}(t)=y_{0}\\ y_{1}(0)=x_{0}\\ y_{2}(0)=y_{0}\end{cases}$ . Definimos $y_{(x_{0},y_{0})}(t)=(t+x_{0},y_{0})$ y

$\displaystyle\varphi\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{2}$

$\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}$

$\displaystyle(t,(x_{0},y_{0}))$

$\displaystyle{}\longmapsto\varphi(t,(x_{0},y_{0}))=y_{(x_{0},y_{0})}(t)$

Entonces
1. a)
  
  $\varphi(0,(x_{0},y_{0}))=y_{(x_{0},y_{0})}(0)=(x_{0},y_{0})$
2. b)
  
  $\varphi(t,\varphi(s,(x_{0},y_{0})))=\varphi(t,(s+x_{0},y_{0}))=(t+s+x_{0},y_{0% })=\varphi(t+s,(x_{0},y_{0}))$ .
5.

Consideremos $S^{1}$ (la circunferencia) y $f$ una rotación $f\colon S^{1}\to S^{1}$ . Entonces

$\displaystyle\varphi\colon\mathbb{Z}\times S^{1}$

$\displaystyle{}\longrightarrow S^{1}$

$\displaystyle(n,x)$

$\displaystyle{}\longmapsto\varphi(n,x)=f^{n}(x)$

Teorema II.1.

Sea $G$ un grupo y $X$ conjunto no vacío.

Supongamos que $G$ actúa sobre $X$ . Para cada elemento $g\in G$ definimos $P_{g}\colon X\to X$ dada por $P_{g}(x)=gx$ . Entonces $T\colon G\to S_{x}$ dada por $T(g)=P_{g}$ homomorfismo de grupos.
Supongamos que $T\colon G\to S_{x}$ homomorfismo de grupos. Entonces $\varphi\colon G\times X\to X$ dada por $\varphi(g,x)=T(g)(x)$ es una acción de $G$ sobre $X$ .

Demostración.

Buen ejercicio. IMPORTANTE. ∎

Definición II.2.

Dada una acción de $G$ sobre $X$ , $\varphi\colon G\times X\to X$ , podemos considerar

Ker\varphi=\left\{g\in G\mid\varphi(g,x)=x\;\forall x\in X\right\}

Si $Ker(\varphi)=\left\{e\right\}$ diremos que la acción es fiel.

Ejercicio 9.

Demuestra que $Ker(\varphi)$ es subgrupo normal de $G$ . IMPORTANTE.

Ejemplo II.2.

Sea $G$ un grupo, $H\leq G$ y $X=\left\{xH\mid x\in G\right\}$ . Entonces $\varphi\colon G\times X\to X,(g,xH)\mapsto\varphi(g,xH)=gxH$ es acción de grupos. Demostrar.

Teorema II.2.

En las hipótesis del ejemplo, tenemos que $Ker(\varphi)=\bigcap_{x\in G}H^{x}$ , donde $H^{x}=\left\{x^{-1}hx\mid h\in H\right\}$ .

Demostración.

Por definición, $Ker(\varphi)=\left\{g\in G\mid gxH=xH\;\forall x\in G\right\}$ . Por tanto $g\in Ker(\varphi)\iff gxH=xH\;\forall x\in G\iff x^{-1}gxH=H\;\forall x\in G% \iff x^{-1}gx\in H\;\forall x\in G\iff g\in H^{x^{-1}}\;\forall x\in G\iff g% \in\bigcap_{x\in G}H^{x}$ . ∎

Teorema II.3.

Sea $G$ un grupo, $H\leq G$ tal que $\left|G\cdot H\right|=n$ . Entonces existe un subgrupo $K$ normal de $G$ contenido en $H$ tal que $G/K$ es isomorfo a subgrupo de $S_{n}$ .

Demostración.

Por el teorema anterior, el núcleo de

\displaystyle\varphi\colon G\times X

\displaystyle{}\longrightarrow X

\displaystyle(g,xH)

\displaystyle{}\longmapsto\varphi(g,xH)=gxH

es $Ker(\varphi)=\bigcap_{x\in G}H^{x}$ , y sabemos que $K=Ker(\varphi)$ es subgrupo normal. Como es la intersección de subgrupos de $H$ , está contenido en $H$ . Tomamos el homomorfismo $T\colon G\to S_{x}=S_{n}$ del teorema II.1 y aplicando el primer teorema de isomorfia se tiene el resultado. ∎

Definición II.3.

Dado un grupo $G$ y una acción de $G$ sobre $X$ (conjunto no vacío), si $x\in X$ diremos que la órbita de $X$ mediante $G$ o $G-$ órbita es

o(x)=\left\{gx\mid g\in G\right\}

Lema II.1.

Dados $x,y\in X$ y una acción del grupo $G$ sobre un conjunto $X$ , se define la relación

x\sim y\iff\text{existe }g\in G\text{ tal que }gx=y

Se cumple que esta relación es de equivalencia.

Demostración.

Ejercicio. ∎

Definición II.4.

Sea $\varphi\colon G\times X\to X$ acción de grupos y $x\in X$ , diremos que $G_{x}=\left\{g\in G\mid gx=x\right\}$ es el estabilizador de $x$ (grupo isotropía de $x$ ).

Ejercicio 10.

$G_{x}\leq G$ .

Ejemplo II.3.

Grafo con 16 vértices cuadrado. Definimos la acción de grupos

\begin{aligned} \varphi\colon\mathbb{Z}_{4}\times X&{}\longrightarrow X\\ (i,x_{j})&{}\longmapsto x_{k}\end{aligned}\text{ donde }k=4i+j\text{ mod }16

Veamos las órbitas de los elementos:

$o(x_{0})=\left\{gx_{0}\mid g\in\mathbb{Z}_{4}\right\}=\left\{x_{0},x_{4},x_{8}% ,x_{12}\right\}$
$o(x_{1})=\left\{x_{1},x_{5},x_{9},x_{13}\right\}$
$o(x_{2})=\left\{x_{2},x_{6},x_{10},x_{14}\right\}$
$o(x_{3})=\left\{x_{3},x_{7},x_{11},x_{15}\right\}$

Además, se tiene que $G_{x_{i}}=\left\{e\right\}\;\forall x_{i}\in X$ .

Ejemplo II.4.

Sea $X=\left\{1,\ldots,n\right\}$ y

\displaystyle\varphi\colon S_{n}\times X

\displaystyle{}\longrightarrow X

\displaystyle(f,i)

\displaystyle{}\longmapsto\varphi((f,i))=f(i)

El estabilizador de $n$ es $(S_{n})_{n}=\left\{f\in S_{n}\mid f(n)=n\right\}\approx S_{n-1}$ .

Teorema II.4.

$\left|o(x)\right|=\left|G\colon G_{x}\right|$

Demostración.

$\left|G\colon G_{x}\right|$ es el cardinal del grupo $\left\{G_{x}g\mid g\in G\right\}$ . Definimos la aplicación

\displaystyle T\colon\left\{G_{x}g\mid g\in G\right\}

\displaystyle{}\longrightarrow o(x)

\displaystyle G_{x}g

\displaystyle{}\longmapsto gx

Vamos a comprobar que es una biyección.

Sobreyectividad: trivial.
Inyectividad: supongamos que $T(G_{x}g)=T(G_{x}h)\Rightarrow gx=hx\Rightarrow h^{-1}gx=x\Rightarrow h^{-1}g% \in G_{x}\Rightarrow G_{x}g=G_{x}h$ .

∎

Observación II.1.

Sea $G$ grupo, $\varphi\colon G\times X\to X$ con $X$ conjunto no vacío. Entonces $X=\cup_{x\in L}o(x)$ donde $L\subseteq X$ de forma que $L$ tiene un elemento de cada órbita. En el ejemplo anterior, $X=o(x_{0})\cup o(x_{1})\cup o(x_{2})\cup o(x_{3})$ .

Además, $\left|X\right|=\sum_{x\in L}\left|o(x)\right|$ .

Se define $X_{0}=\left\{x\in X\mid gx=x\;\forall g\in G\right\}$ . Siguiendo lo anterior, $\left|X\right|=\sum_{x\in L}\left|o(x)\right|=\left|X_{0}\right|+\sum_{x\in L}% \left|o(x)\right|$ .

Definición II.5.

Decimos que $G$ es un $p$ -grupo si $\left|G\right|=p^{a}$ para algún $a$ entero positivo.

Ejercicio 11.

Si $G$ es un $p$ -grupo con $p$ primo y $G\times X\to X$ acción entonces $\left|X\right|=\left|X_{0}\right|\text{ mod }p$ . (Pista: $\left|o(x)\right|=\left|G\colon G_{x}\right|$ )

Definición II.6.

Dado un grupo $G$ y $g\in G$ , se define el centralizador de $g$ en $G$ como

C_{G}(g)=\left\{h\in G\mid gh=hg\right\}

Ejercicio 12.

$\left|Cl_{G}(g)\right|=\left|G\colon C_{G}(g)\right|$ .

Demostración.

Tomamos la acción de grupos

\begin{aligned} \varphi\colon G\times G&{}\longrightarrow G\\ (h,g)&{}\longmapsto g^{h^{-1}}\end{aligned}\text{ (conjugación)}

Dado $g\in G$ , $o(g)=\left\{\varphi(h,g)\mid\forall h\in G\right\}=\left\{g^{h^{-1}}\mid% \forall h\in G\right\}=Cl_{G}(g)$ .

Por otra parte, $G_{g}=\left\{h\in G\mid hg=g\right\}=\left\{h\in G\mid g^{h^{-1}}=g\right\}=% \left\{h\in G\mid hgh^{-1}=g\right\}=\left\{h\in G\mid hg=gh\right\}=C_{G}(g)$ .

Luego el resultado es consecuencia inmediata de aplicar $\left|o(x)\right|=\left|G\colon G_{x}\right|$ . ∎

Teorema II.5 (Ecuación de clases).

\left|G\right|=\left|Z(G)\right|+\sum_{i\in I}\left|K_{i}\right|

donde $K_{i}$ son las clases de conjugación mayores que $1$ .

Demostración.

Sabemos que $\left|X\right|=\left|X_{0}\right|+\sum_{x\in L}\left|o(x)\right|$ .

Aplicando la acción conjugación, $X_{0}=\left\{g\in G\mid\varphi(h,g)=g\;\forall h\in G\right\}=\left\{g\in G% \mid g^{h^{-1}}=g\;\forall h\in G\right\}=\left\{g\in G\mid hgh^{-1}=g\;% \forall h\in G\right\}=\left\{g\in G\mid hg=gh\right\}=Z(G)$ . ∎

Definición II.7.

Sea $G$ un grupo y $H\leq G$ . Se define el normalizador de $H$ en $G$ al conjunto

N_{G}(H)=\left\{x\in G\mid H^{x}=H\right\}

Proposición II.1.

Sea $G$ un grupo y $H\leq G$ .

1.

$N_{G}(H)$ es subgrupo.
2.

$H\trianglelefteq N_{G}(H)$ .
3.

$H\trianglelefteq G\iff N_{G}(H)=G$ .

Demostración.

Ejercicio. ∎

Teorema II.6.

Sea $G$ un grupo finito y $H\leq G$ tal que $\left|H\right|=p^{n}$ con $n$ entero positivo y $p$ primo. Entonces

\left|G\colon H\right|=\left|N_{G}(H)\colon H\right|\text{ mod }p

Demostración.

Hemos visto que si $\varphi\colon G\times X\to X$ es una acción donde $G$ es un $p$ -grupo entonces $\left|X\right|=\left|X_{0}\right|\text{ mod }p$ .

Sea $X=\left\{xH\mid x\in G\right\}$ . Por definición, $\left|X\right|=\left|G\colon H\right|$ . Como $H$ es un $p$ -grupo, definimos $\varphi\colon H\times X\to X$ , dado por $\varphi(h,xH)=hxH$ . Entonces $\left|X\right|=\left|G\colon H\right|\equiv\left|X_{0}\right|\text{ mod }p$ . Nos falta comprobar, por tanto, que $\left|X_{0}\right|=\left|N_{G}(H)\colon H\right|$ .

X_{0}=\left\{xH\mid hxH=xH\;\forall h\in H\right\}

Supongamos que $xH\in X_{0}\Rightarrow hxH=xH\;\forall h\in H\Rightarrow x^{-1}hxH=H\;\forall h% \in H\Rightarrow x^{-1}hx\in H\;\forall h\in H\Rightarrow h^{x}\in H\;\forall h% \in H\Rightarrow H^{x}\subseteq H\Rightarrow H^{x}=H$ (porque $\left|H^{x}\right|=\left|H\right|$ , $\exists$ biyección) $\Rightarrow x\in N_{G}(H)$ por la definición de normalizador $\Rightarrow xH$ se corresponde con la clase de $N_{G}(H)\Rightarrow\left|X_{0}\right|=\left|N_{G}(H)\colon H\right|$ . ∎

Corolario II.1.

Supongamos que $G$ es un $p$ -grupo finito y $H<G$ no trivial. Entonces $H\subset N_{G}(H)$ (estricto).

Demostración.

Sabemos que $\left|G\colon H\right|=\left|N_{G}(H)\colon H\right|\text{ mod }p$ . Como $G$ es $p$ -grupo, $\left|G\right|=p^{a}$ con $a$ entero positivo. Como $H$ es un subgrupo, $\left|H\right|=p^{b}$ con $b$ entero positivo con $0<b<a$ . Por tanto, $p$ divide a $\left|G\colon H\right|$ y $0\equiv\left|N_{G}(H)\colon H\right|\text{ mod }p$ . Por reducción al absurdo, supongamos que $H=N_{G}(H)$ . Entonces $\left|N_{G}(H)\colon H\right|=1\equiv 0\text{ mod }p$ . Esto es una contradicción. ∎

Definición II.8.

Sea $\varphi\colon G\times X\to X$ acción de $G$ sobre $X$ , diremos que la acción es transitiva si $\forall x,y\in X$ existe $g\in G$ tal que $\varphi(g,x)=y$ .

Ejemplo II.5.

La acción del ejemplo II.3 no es transitiva.

La acción $S_{x}\times X\to X,(f,i)\mapsto f(i)$ sí es transitiva.

Observación II.2.

Si la acción es transitiva, entonces $o(x)=X\;\forall x\in X$ .

Teorema II.7.

Supongamos que $G$ actúa sobre $X$ , $g\in G$ y $x\in X$ . Entonces $G^{g}_{x}=G_{gx}$ .

Además, si la acción es transitiva todos los estabilizadores son conjugados.

Demostración.

Ejercicio. ∎