1 Examen

Responde a las siguientes preguntas tipo test marcando solamente una casilla para cada pregunta. Cada respuesta acertada tiene un valor de 1 punto.

1. 1.
   ​

   Sea $G$ un grupo y $K$ un subgrupo de $G$ para el que se cumple que $ab=ba$ para cualesquiera $a,b\in K$. Entonces

   1. a)
      ​

      no podemos afirmar que $K$ sea un subgrupo normal de $G$.

   2. b)
      ​

      $K$ es un subgrupo normal de $G$.

   3. c)
      ​

      $K$ es un subgrupo normal de $G$ y el cociente $G/K$ tiene orden 2.

   Respuesta correcta: a). Por ejemplo $G=S_{5}$ y $K=\langle(1,2)\rangle$.

2. 2.
   ​

   $S_{n}$ es resoluble para

   1. a)
      ​

      $1\leq n\leq 5$.

   2. b)
      ​

      todo $n$.

   3. c)
      ​

      $n\geq 5$.

   Respuesta correcta: a).

3. 3.
   ​

   La clase de conjugación de la permutación $(1,2)(3,4)$ de $S_{5}$ tiene

   1. a)
      ​

      15 elementos.

   2. b)
      ​

      20 elementos.

   3. c)
      ​

      30 elementos.

   Respuesta correcta: a). $\binom{5}{2}\binom{3}{2}=\frac{5!}{2!3!}\frac{3!}{2!}=30$. Como son ciclos disjuntos se pueden permutar, luego la solución es $\frac{30}{2}=15$.

4. 4.
   ​

   Sea $\varphi\colon G\times X\to X$ una acción de un grupo finito $G$ sobre un conjunto no vacío.

   1. a)
      ​

      El núcleo de la acción es un subgrupo normal de $G$.

   2. b)
      ​

      El núcleo de la acción no necesariamente es un subgrupo de $G$.

   3. c)
      ​

      El núcleo de la acción es un subgrupo de $G$ que no necesariamente es normal.

   Respuesta correcta: a). Teoría.

(2 puntos). Estudia la veracidad de la siguiente afirmación: la intersección de un subgrupo $K$ de $G$ con un subgrupo normal $N$ de $G$ es normal en $K$. Marca una casilla y demuestra la respuesta.

Respuesta correcta: verdadero.

(3.5 puntos). Sea $D_{6}$ el grupo dado por la siguiente presentación:

Encuentra todos los $p$-subgrupos de Sylow justificando de manera rigurosa todos los pasos.

Solución:

$D_{6}=\left\{e,a,b,b^{2},b^{3},b^{4},b^{5},ab,ab^{2},ab^{3},ab^{4},ab^{5}\right\}$. Luego $\left|D_{6}\right|=12=2^{2}\cdot 3$.

Por el primer teorema de Sylow, sabemos que si $P$ es un 3-Sylow, entonces $\left|P\right|=3$. Por el tercer teorema de Sylow, sabemos que hay $3k+1\mid 12$ 3-Sylows. Luego hay dos opciones: $k=0$, en cuyo caso habría un único 3-Sylow, o $k=1$, en cuyo caso tendría 4 $3$-Sylows.

Un subgrupo de orden $3$ es $P=\langle b^{2}\rangle=\left\{b^{2},b^{4},e\right\}$. Aplicando la conjugación, veamos que no existen más subgrupos de orden $3$. Cualquier $g\in D_{6}$ se puede expresar como $g=a^{i}b^{j}$ con $i,j\geq 0$. Los elementos de $P$ son $b^{2k}$ con $k\geq 0$. Entonces, teniendo en cuenta que $abab=e$ y por tanto $ab=b^{-1}a$,

Luego solo hay un 3-Sylow que es $P$.

El primer teorema de Sylow nos dice que si $P$ es $2-$Sylow, $\left|P\right|=4$. Por el tercer teorema de Sylow, $2k+1\mid 12$. Las opciones son $k=0$ (un único 2-Sylow) o $k=1$ (3 2-Sylow).

Se puede comprobar que los grupos de orden 2 son: $\langle a\rangle,\langle b^{3}\rangle,\langle ab\rangle,\langle ab^{2}\rangle,\langle ab^{3}\rangle,\langle ab^{4}\rangle,\langle ab^{5}\rangle$ (al conmutar el $b$ desaparece y se queda $a\cdot a=e$).

Los grupos de orden 4 o son $\mathbb{Z}_{4}$ o son $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$. No tenemos elementos de orden 4 en $D_{6}$, luego los 2-Sylow son de la forma $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$. Combinando los grupos de orden 2 anteriores, se obtienen los 2-Sylow que buscamos. Veamos cuáles son:

Calculamos $P^{b}_{1}=\left\{b^{-1}ab,b^{-1}b^{3}b,b^{-1}ab^{3}b,b^{-1}eb\right\}=\left\{ab^{2},b^{3},ab^{5},e\right\}=P_{2}$, que también es un 2-Sylow. Sabemos que entonces hay 3, y tenemos que buscar el último. Por ejemplo, conjugamos $P_{1}$ con $b^{2}$: $P^{b^{2}}_{1}=\left\{b^{-2}ab^{2},b^{-2}b^{3}b^{2},b^{-2}ab^{3}b^{2},b^{-2}eb^{2}\right\}=\left\{ab^{4},b^{3},ab,e\right\}=P_{3}$. Luego ya hemos encontrado todos los p-Sylows.

(1.5 puntos) Sea $p$ un número primo y $S_{p}$ el grupo de permutaciones de $p$ elementos. ¿Cuántos $p$-subgrupos de Sylow hay en $S_{p}$? Justifica rigurosamente la respuesta.

Solución:

Si $P$ es un $p$-Sylow, entonces $\left|P\right|=p$. Tenemos $(p-1)!$ $p$-ciclos en $S_{p}$. Hay $\frac{(p-1)!}{p-1}=(p-2)!$ pSylows.

(1 punto). Sea $G\times X\to X$ la acción de un grupo finito sobre un conjunto no vacío $X$. Supongamos $x,y\in X$ pertenecen a la misma órbita. Demuestra que el estabilizador de $x$ es conjugado al estabilizador de $y$.

Solución: teorema 4.34. (camuflado).