4 Muestreo aleatorio simple. Distintos tipos de muestreo.

En los metodos de muestreo, el proceso de seleccion de individuos se realiza de forma aleatoria tomando nn individuos, pero hay diferentes formas de elegir la probabilidad de seleccion.

Definición III.12.

Las observaciones bajo las mismas condiciones iniciales, como resultado de repetidos ensayos independientes del mismo experimento, constituye lo que se denomina un muestreo aleatorio simple.

Si llamamos nn al tamaño de la muestra, es decir, al numero de elementos extraidos de la poblacion, y denotamos a estos elementos por X1,X2,…,XnX_{1},X_{2},\ldots,X_{n}, entonces tenemos que

X1,X2,…,Xn i.i.d.X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\text{ i.i.d.}

Habitualmente, la muestra X1,…,XnX_{1},\ldots,X_{n} se ha extraido de la poblacion a fin de obtener informacion sobre una caracteristica XX.

Por tanto, la muestra X1,…,XnX_{1},\ldots,X_{n} consiste en nn realiaciones independientes de la distribucion que tiene en la poblacion la variable XX que queremos estudiar. Evidentemente, tienen todas ellas la misma media y la misma varianza.

Asi, se da lo siguiente:

E(X1+⋯+Xn)\displaystyle E(X_{1}+\cdots+X_{n})
=μ+⋯+μ=nμ\displaystyle{}=\mu+\cdots+\mu=n\mu
V(X1+⋯+Xn)\displaystyle V(X_{1}+\cdots+X_{n})
=σ2+⋯+σ2=nσ2\displaystyle{}=\sigma^{2}+\cdots+\sigma^{2}=n\sigma^{2}
E(X1+⋯Xnn)\displaystyle E\left(\frac{X_{1}+\cdots X_{n}}{n}\right)
=μ+⋯+μn=nμn=μ\displaystyle{}=\frac{\mu+\cdots+\mu}{n}=\frac{n\mu}{n}=\mu
V(X1+⋯+Xnn)\displaystyle V\left(\frac{X_{1}+\cdots+X_{n}}{n}\right)
=σ2+⋯+σ2n2=nσ2n2=σ2n.\displaystyle{}=\frac{\sigma^{2}+\cdots+\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{n\sigma^{2}}{% n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}\mathchar 46\relax