5 Transformaciones de variables aleatorias. Univariantes y multivariantes.

Supongamos que a partir de la v.a. $X$ definimos una nueva v.a. $Y=h(X)$ . Queremos saber cual es el efecto de la transformacion sbore la esperanza, la varianza y la distribucion de probabilidad.

Esto ya lo vimos con una transformacion lineal de $X$ , $Y=a+bX$ , pero, que pasa si la transformacion no es lineal?

Proposición III.4.

Si $X$ es una v.a. continua y la transformacion $h$ tiene inversa, entonces se verifica que la densidad de $Y=h(X)$ se puede obtener como

f_{Y}(y)=f_{X}(h^{-1}(y))\left|dh^{-1}(y)/dy\right|,

donde $\left|dh^{-1}(y)/dy\right|$ es el modulo de la derivada de la inversa de la transformacion $Y=h(X)$ .

Ejemplo III.5.

Supongamos que $X$ tiene densidad $e^{-x}$ si $x>0$ , consideremos la nueva variable $Y=bX$ , cual es la distribucion de $Y$ ?

Para calcular la densidad de $Y$ usando el resultado anterior, tenemos que la transformacion es $Y=h(X)=b(X)$ , entonces la transformacion inversa es

X=h^{-1}(Y)=\frac{Y}{b}

La derivada con respecto a $Y$ es $\left|dh^{-1}(y)/dy\right|=1/b$ , con lo que la densidad de la nueva variable es

f_{Y}(y)=f_{X}(h^{-1}(y))\left|dh^{-1}(y)/dy\right|=\frac{1}{b}e^{-y/b}% \mathchar 46\relax

Supongamos ahora que $(X,Y)$ es una variable aleatoria bidimensional, con una funcion de densidad $f_{X,Y}(x,y)$ .

Consideremos una nueva variable aleatoria bidimensional

U=g_{1}(X,Y)\text{ y }V=g_{2}(X,Y)

con $g_{1}$ y $g_{2}$ funciones especificas bivariantes. Supongamos ademas que existe la inversa de estas funciones, es decir, que podemos calcular

X=h_{1}(U,V)\text{ e }Y=h_{2}(U,V)

Estamos interesados en calcular la funcion de densidad bidimensional del vector $(U,V)$ .

Existe un resultado similar al del cambio de variable unidimensional, donde se utiliza el Jacobiano de la transformacion:

J=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}=\left% |\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{% \partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\right|

con

\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial h_{1}(u,v)}{\partial u},\;\frac{% \partial x}{\partial v}=\frac{\partial h_{1}(u,v)}{\partial v},\;\frac{% \partial y}{\partial u}=\frac{\partial h_{2}(u,v)}{\partial u},\;\frac{% \partial y}{\partial v}=\frac{\partial h_{2}(u,v)}{\partial v}

La densidad del nuevo vector aleatorio $(U,V)$ viene dado por

f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(h_{1}(u,v),h_{2}(u,v))\left|J\right|

Ejemplo III.6.

Supongamos que $(X,Y)$ siguen distribuciones exponenciales independientes con el mismo parametro $\lambda$ , es decir

f(x,y)=\begin{cases}\lambda^{2}e^{-\lambda x}e^{-\lambda y}&x>0,y>0\\ 0&\text{en el resto}\end{cases}

Supongamos que nos interesa calcular como se distribuye la suma de v.a. exponenciales, es decir, $U=X+Y$ , como involucra a las dos variables, tenemos que tener en cuenta un cambio bivariante, y despues calcular la marginal, integrando con respecto a la otra variable. Definamos por ejemplo $V=X$ .

Obten la distribucion marginal de $U$ .