6 Muestreo aleatorio simple. Distintos tipos de muestreo

En los metodos de muestreo, el proceso de seleccion de individuos se realiza de forma aleatoria tomando nn individuos de la poblacion.

Definición III.13 (Muestreo aleatorio simple).

Las observaciones bajo las mismas condiciones iniciales, como resultado de repetidos ensayos independientes del mismo experimento constituye lo que se denomina un muestreo aleatorio simple.

Cuando se realiza una seleccion de objetos de una poblacion formada por un conjunto finito de objetos, la situacion es diferente.

Ejemplo III.7.

En un programa de television el concursante debe sacar una bola de una bolsa, que contiene bolas rojas y negras. Si saca una bola roja, gana el premio; si saca una negra, abandona el concurso. Le dan a elegir entre dos bolsas con 100100 y 4040 bolas, respectivamente, pero no sabe la proporcion de bolas rojas en cada una de ellas. Le dejan sacar 55 bolas de cada bolsa para decidirse.

Podrian haber dos formas de muestrear en el ejemplo anterior:

  1. 1.
    ​

    Después de mezclar todas las bolas, se extrae una bola y se observa su color, dando lugar a X1X_{1}. Se devuelve el objeto a la bolsa, se vuelven a mezclar las bolas, y se extrae otra bola, cuyo color será X2X_{2}, y se devuelve la bola a la bolsa. Se continua el proceso hasta obtener nn colores de nn bolas:

    X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn.X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\dots,X_{n}=x_{n}\mathchar 46\relax
  2. 2.
    ​

    Tras una mezcla adecuada, se van seleccionando nn bolas de la bolsa, una detrás de otra, sin reemplazo. Este proceso también proporciona una muestra de observaciones:

    X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn.X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\dots,X_{n}=x_{n}\mathchar 46\relax

En el muestreo con reemplazamiento, X1,…,XnX_{1},\ldots,X_{n} tienen la misma distribucion y son independientes entre si. Pero, en el segundo caso, ya no son independientes.

Cuando el muestreo (poblaciones finitas o infinitas) sea con reemplazamiento, la muestra se denomina muestra aleatoria simple.

Definición III.14 (Muestra aleatoria simple).

Consideremos una variable aleatoria XX, con funcion de densidad fXf_{X}, que recoge una cierta caracteristica de una poblacion. Sea X1,…,XnX_{1},\ldots,X_{n} una muestra aleatoria de la variable XX, es decir, una coleccion de nn medidas de la caracteristica en nn elementos seleccionados al azar.

Se dice que X1,…,XnX_{1},\ldots,X_{n} constituyen una muestra aleatoria simple (m.a.s.) de tamaño nn de XX si:

  1. 1.
    ​

    todos los individuos de la poblacion tienen la misma probabilidad de aparecer en la muestra

  2. 2.
    ​

    las selecciones son independientes unas de otras.

Por tanto, si X∼fX\sim f, tenemos que X1,…,Xn∼i.i.d.fX_{1},\ldots,X_{n}\overset{i\mathchar 46\relax i\mathchar 46\relax d\mathchar 4% 6\relax}{\sim}f.