7 Distribucion muestral de los estadisticos

ueremos estudiar el tiempo de conexion desde una terminal a un servidor. Repetimos el experimento $n$ veces bajo las mismas condiciones y obtenemos

X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}

Cada $X_{i}$ representa el resultado de una repeticion del experimento. Si todas ellas son independientes y se realizan bajo las mismas condiciones, podemos suponer

X_{1},\ldots,X_{n}\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}f_{X}

Si repetimos el proceso, obtenemos otra muestra. Por tanto, una misma poblacion puede dar lugar a muchas muestras diferentes.

Esta variabilidad de una muestra a otra motiva el estudio de los estadisticos.

Definición III.15.

Un estadistico es un resumen de la muestra $X_{1},\ldots,X_{n}$ , y por tanto se expresa como funcion de la misma,

T=T(X_{1},\ldots,X_{n})

La funcion $T$ puede ser escalar o vectorial.

Algunos ejemplos de estadistico son $\overline{X},S^{2},\text{mediana}(X_{1},\ldots,X_{n})$ o $\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}_{i}X_{i}$ .

Como $T$ es funcion de variables aleatorias, $T=T(X_{1},\ldots,X_{n})$ es tambien una variable aleatoria.

Definición III.16.

La distribucion de probabilidad de $T$ se denomina distribucion muestral de $T$ .

Supongamos que la poblacion tiene media

\mu=E(X)

Queremos obtener informacion sobre la media poblacional $\mu$ a partir de una m.a.s. $X_{1},\ldots,X_{n}$ .

Definición III.17.

La media muestral de $X_{1},\ldots,X_{n}$ se denota con $\overline{X}$ y se define como

\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}

Se tiene que $\overline{X}$ es un estadistico y, como depende de la muestra, es una variable aleatoria.

Veamos algunas propiedades de la distribucion muestral de $\overline{X}$ .

Proposición III.5.

Sea $X_{1},\ldots,X_{n}$ una m.a.s. con $E(X_{i})=\mu$ . Entonces

E(\overline{X})=\mu

Supongamos ademas que $V(X_{i})=\sigma^{2}$ . Entonces

\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Demostración.

Por linealidad de la esperanza,

E(\overline{X})=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)=\frac{1}{n}\sum_{% i=1}^{n}E(X_{i})=\frac{1}{n}n\mu=\mu

Por otro lado, como las variables de las m.a.s. son independientes,

V(\sum_{i=1}^{n}X_{i})=\sum_{i=1}^{n}V(X_{i})=n\sigma^{2}

Luego

V(\overline{X})=V\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}}n% \sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}\mathchar 46\relax

∎

Observación III.3.

La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.

Para estudiar la proporción de individuos que poseen una determinada característica, definimos:

X_{i}=\begin{cases}1,&\text{si la posee}\\ 0,&\text{si no la posee}\end{cases}

entonces, $X_{i}\sim\text{Bernoulli}(p)$

Definición III.18 (Proporcion muestral).

La proporción muestral es:

\widehat{p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}

Como $X_{i}\in\{0,1\}$ , la proporción muestral coincide con la media muestral:

\widehat{p}=\overline{X}

Si $X_{i}\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}$ Bernoulli( $p$ ) entonces $N=\sum_{i=1}^{n}X_{i}\sim\text{Binomial}(n,p)$ .

Como $\hat{p}=\frac{N}{n}$ , la distribucion de $\hat{p}$ se obtiene a partir de la binomial:

P(\hat{p}=\frac{k}{n})=P(N=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

Ademas,

E(\hat{p})=p,\qquad V(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}

Sea la varianza poblacional $\sigma^{2}=E[(X-\mu)^{2}]$ .

Definición III.19.

La varianza muestral es

S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}

Definición III.20.

La desviacion tipica muestral es por lo tanto

S=\sqrt{S^{2}}

Para los datos observados $x_{1},\ldots,x_{n}$ :

s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}

En la varianza muestral aparecen desviaciones respecto de la propia media muestral:

X_{i}-\overline{X}

Estas desviaciones siempre cumplen

\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})=0

Por tanto, conocidas $n-1$ de ellas, la ultima queda determinada. Esto implica que hay $n-1$ grados de libertad.

El factor $1/(n-1)$ hace que la varianza muestral sea un estimador insesgado de la varianza poblacional:

E(S^{2})=\sigma^{2}

Como resumen, se tiene lo siguiente

\topruleEstadístico	Parámetro	Esperanza
\midrule $\overline{X}$	$\mu$	$E(\overline{X})=\mu$
$\widehat{p}$	$p$	$E(\widehat{p})=p$
$S^{2}$	$\sigma^{2}$	$E(S^{2})=\sigma^{2}$
\bottomrule

Además,

\operatorname{Var}(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}\qquad\operatorname{Var}(% \widehat{p})=\frac{p(1-p)}{n}