9 Sucesiones de Cauchy

Definición II.7 (Sucesión de Cauchy).

Sea (xn)∞n=1⊂ℝ(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}. Diremos que (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1} es una sucesión de Cauchy si dada ε>0\varepsilon>0 existe un n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} con |xn−xm|<ε∀n,m≥n0|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon\;\forall n,m\geq n_{0}.

Proposición II.9.

Sea (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1}. Entonces

(xn)∞n=1 es una sucesion de Cauchy⇒(xn)∞n=1 acotada(x_{n})^{\infty}_{n=1}\text{ es una sucesion de Cauchy}\Rightarrow(x_{n})^{% \infty}_{n=1}\text{ acotada}
Demostración.

Supongamos que (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1} es una sucesión de Cauchy. Entonces, para ε=1\varepsilon=1, ∃n0∈ℕ\exists n_{0}\in\mathbb{N} tal que |xn−xm|<1∀n,m≥n0\left|x_{n}-x_{m}\right|<1\;\forall n,m\geq n_{0}. En particular, |xn−xn0|<1∀n≥n0\left|x_{n}-x_{n_{0}}\right|<1\;\forall n\geq n_{0}. Aplicando la desigualdad triangular para n≥n0n\geq n_{0},

|xn|=|xn−xn0+xn0|≤|xn−xn0|+|xn0|<1+|xn0|.\left|x_{n}\right|=\left|x_{n}-x_{n_{0}}+x_{n_{0}}\right|\leq\left|x_{n}-x_{n_% {0}}\right|+\left|x_{n_{0}}\right|<1+\left|x_{n_{0}}\right|\mathchar 46\relax

Definimos M=ma´x{|x1|,|x2|,…,|xn0−1|,1+|xn0|}M=\mathop{\operator@font m\acute{a}x}\left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots,|x_{n_{0}}-% 1|,1+\left|x_{n_{0}}\right|\right\}. Entonces, claramente |xn|≤M∀n∈ℕ|x_{n}|\leq M\;\forall n\in\mathbb{N} y (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1} está acotada. ∎

Teorema II.5.

Sea (xn)∞n=1⊂ℝ(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}. Entonces

(xn)∞n=1 es convergente⇔(xn)∞n=1 es una sucesion de Cauchy(x_{n})^{\infty}_{n=1}\text{ es convergente}\iff(x_{n})^{\infty}_{n=1}\text{ % es una sucesion de Cauchy}
Demostración.
⇒\Rightarrow

Supongamos que lı´mn→∞xn=a\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a. Sea ε>0\varepsilon>0, entonces existe n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} tal que |xn−a|<ε2∀n≥n0\left|x_{n}-a\right|<\frac{\varepsilon}{2}\;\forall n\geq n_{0}. Por otro lado,

|xn−xm|=|xn−a+a−xm|≤|xn−a|+|xm−a|<ε2+ε2=ε∀n,m≥n0\left|x_{n}-x_{m}\right|=\left|x_{n}-a+a-x_{m}\right|\leq\left|x_{n}-a\right|+% \left|x_{m}-a\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\;% \forall n,m\geq n_{0}

Luego (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1} es de Cauchy.

⇐\Leftarrow

Sea ε>0\varepsilon>0. Sea n1∈ℕn_{1}\in\mathbb{N} con |xn−xm|<ε∀n,m≥n1\left|x_{n}-x_{m}\right|<\varepsilon\;\forall n,m\geq n_{1}.

Como (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1} es una sucesion de Cauchy aplicando II.9 (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1} es acotada y, por lo tanto, contiene una subsucesion convergente a un numero real aa (lı´mn→∞xn=a\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a).

Sea nk0∈ℕn_{k_{0}}\in\mathbb{N} con |xnk−a|<ε∀nk≥nk0\left|x_{n_{k}}-a\right|<\varepsilon\;\forall n_{k}\geq n_{k_{0}}, nk≥nk0≥n0n_{k}\geq n_{k_{0}}\geq n_{0}.

|xn−a|=|xn−xnk+xnk−a|≤|xn−xnk|+|xnk−a|<2ε∀n≥n0\left|x_{n}-a\right|=\left|x_{n}-x_{n_{k}}+x_{n_{k}}-a\right|\leq\left|x_{n}-x% _{n_{k}}\right|+\left|x_{n_{k}}-a\right|<2\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}. (incompleto)

∎

Observación II.2.

Sea (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1}. Entonces

(xn)∞n=1 es una sucesion de Cauchy⇒Dada ε>0 existe n0∈ℕ con |xn+1−xn|<ε∀n≥n0(x_{n})^{\infty}_{n=1}\text{ es una sucesion de Cauchy}\Rightarrow\text{Dada $% \varepsilon>0$ existe }n_{0}\in\mathbb{N}\text{ con }\left|x_{n+1}-x_{n}\right% |<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}
Proposición II.10.

Sean (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1} y (yn)∞n=1(y_{n})^{\infty}_{n=1} tales que lı´mn→∞xn=a\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a y lı´mn→∞yn=b\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}y_{n}=b. Entonces:

lı´mn→∞ma´x{xn,yn}=ma´x{a,b}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\mathop{% \operator@font m\acute{a}x}\left\{x_{n},y_{n}\right\}=\mathop{\operator@font m% \acute{a}x}\left\{a,b\right\}
Demostración.
a∨b=a+b−|a−b|∀a,b∈ℝa\vee b=a+b-\left|a-b\right|\;\forall a,b\in\mathbb{R}
xn∨yn=xn(→a)+yn(→b)−|xn−yn|⏟→|a−b|⏟a+b−|a−b|=a∨bx_{n}\vee y_{n}=\underbrace{x_{n}(\rightarrow a)+y_{n}(\rightarrow b)-% \underbrace{\left|x_{n}-y_{n}\right|}_{\rightarrow\left|a-b\right|}}_{a+b-% \left|a-b\right|=a\vee b}

∎