6 Sucesiones de números reales

Definition 6.1.

Una sucesión de numeros reales es una función33 3 Definición vista en Lógica. x:ℕ→ℝx\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}, de manera que a cada número natural n∈ℕn\in\mathbb{N} se le asocia un único numero real x⁢(n)x(n). En general a x⁢(n)x(n) se le llama término nn-ésimo de la sucesion y se le representa por xnx_{n}. De la misma manera, la notación para representar la sucesión es (xn)n=1∞(x_{n})^{\infty}_{n=1}, (xn)n∈ℕ(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}, {xn}n∈ℕ\left\{x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} o {xn}\left\{x_{n}\right\}.

Definition 6.2.

Dadas dos sucesiones (xn)n∈ℕ(x_{n})_{n\in\mathbb{N}} y (yn)n∈ℕ(y_{n})_{n\in\mathbb{N}} podemos definir las siguientes operaciones en ℝ\mathbb{R} entre ellas:

  • •
    ​

    la suma sería la sucesión {xn+yn}n∈ℕ\left\{x_{n}+y_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

  • •
    ​

    el producto por un escalar α∈ℝ\alpha\in\mathbb{R} sería la sucesión {α⁢xn}n∈ℕ\left\{\alpha x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

  • •
    ​

    la resta sería la sucesión {xn−yn}n∈ℕ\left\{x_{n}-y_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

  • •
    ​

    el producto sería la sucesión {xn⁢yn}n∈ℕ\left\{x_{n}y_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

  • •
    ​

    el cociente no siempre se puede realizar. Primero hay que asegurarse de que yn≠0y_{n}\neq 0 para cualquier natural nn, definiéndose entonces como la sucesión {xnyn}n∈ℕ\left\{\frac{x_{n}}{y_{n}}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

6.1 Sucesiones recurrentes

La posibilidad de definir sucesiones por recurrencia se debe al siguiente resultado:

Theorem 6.3 (de definición por recursión).

Dados un conjunto, A≠∅A\neq\varnothing, una función H:ℕ×A→AH\colon\mathbb{N}\times A\to A y un elemento a∈Aa\in A, existe una función f:ℕ→Af\colon\mathbb{N}\to A, que además es única, y que satisface las condiciones

  1. 1.
    ​

    f⁢(1)=af(1)=a

  2. 2.
    ​

    ∀n∈ℕ⁢f⁢(n+1)=H⁢(n,f⁢(n))\forall n\in\mathbb{N}\;f(n+1)=H(n,f(n)).

Example 6.4.

Algunos ejemplos de sucesión definida de forma recurrente es:

xn={1⁢ para ⁢n=11+xn−1⁢∀n≥2x_{n}=\begin{dcases}1\text{ para }n=1\\ \sqrt{1+x_{n-1}}\;\forall n\geq 2\end{dcases}
xn={2⁢ si ⁢n=1xn−1+3⁢∀n≥2x_{n}=\begin{dcases}2\text{ si }n=1\\ x_{n-1}+3\;\forall n\geq 2\end{dcases}
xn={3⁢ si ⁢n=12⁢xn−1⁢∀n≥2x_{n}=\begin{dcases}3\text{ si }n=1\\ 2x_{n-1}\;\forall n\geq 2\end{dcases}

o la sucesión de Fibonacci:

{x1=1x2=1xn=xn−1+xn−2⁢∀n≥3\begin{dcases}x_{1}=1\\ x_{2}=1\\ x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2}\;\forall n\geq 3\end{dcases}

Es posible definir las progresiones aritmeticas de manera recursiva x1=ax_{1}=a y xn=xn−1+dx_{n}=x_{n-1}+d para n≥2n\geq 2 o, también, explicitando el término general de la sucesión: xn=a+(n−1)⁢dx_{n}\ =a+(n-1)d, es decir, la sucesión quedaría {a+(n−1)⁢d}\left\{a+(n-1)d\right\}. Así, por ejemplo, si a=3a=3 y d=2d=2, la sucesión sería {3,5,7,…}\left\{3,5,7,\ldots\right\}. De manera análoga se pueden definir las progresiones geométricas: x1=ax_{1}=a y xn=r⁢xn−1x_{n}=rx_{n-1} y también explicitando el término general: {a⋅rn−1}\left\{a\cdot r^{n-1}\right\}. Así, por ejemplo, si a=2a=2 y r=3r=3 la progresión geométrica sería {2⋅3n−1}={2,6,18,…}\left\{2\cdot 3^{n-1}\right\}=\left\{2,6,18,\ldots\right\}.

Proposition 6.5.

El sumatorio de los elementos de la progresión geométrica desde 11 hasta nn es Sn=a⁢(1−rn)=a⋅(1−rn)1−rS_{n}=a(1-r^{n})=\frac{a\cdot(1-r^{n})}{1-r} si r≠1r\neq 1.

Proof 6.6.
Sn=a+a⁢r+a⁢r2+⋯+a⁢rn−1⇔−r⁢Sn=−(a⁢r+a⁢r2+a⁢r3+⋯+a⁢rn)⇔Sn−rSn=a+ar+⋯+arn−1−ar−ar2−⋯−arn⇔(1−r)Sn=a−arn⇔Sn=a⁢(1−rn)1−rS_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{n-1}\iff-rS_{n}=-(ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots+ar^{n})% \\ \iff S_{n}-rS_{n}=a+ar+\cdots+ar^{n-1}-ar-ar^{2}-\cdots-ar^{n}\iff(1-r)S_{n}=a% -ar^{n}\\ \iff S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}

Como consecuencia,

S∞=x1+x2+⋯=limn→∞Sn=limn→∞a⁢(1−rn)1−r={a1−r⁢ si ⁢r<1limn→∞n⋅a={+∞⁢ si ⁢a>00⁢ si ⁢a=0−∞⁢ si ⁢a<0⁢ si ⁢r=1S_{\infty}=x_{1}+x_{2}+\cdots=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=\lim\limits_{n\to% \infty}\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\begin{dcases}\frac{a}{1-r}\;\text{ si }r<1\\ \lim\limits_{n\to\infty}n\cdot a=\begin{dcases}+\infty\text{ si }a>0\\ 0\text{ si }a=0\\ -\infty\text{ si }a<0\\ \end{dcases}\;\text{ si }r=1\end{dcases}
Proposition 6.7.

La suma de los nn primeros términos de una progresion aritmética de primer término aa y diferencia dd es Sn=(a+[a+(n−1)⁢d])⁢n2=(x1+xn)⋅n2S_{n}=\frac{(a+[a+(n-1)d])n}{2}=\frac{(x_{1}+x_{n})\cdot n}{2}.

Proof 6.8.

No vista en clase.

6.2 Subsucesiones

Definition 6.9.

Una subsucesión de una sucesión (xn)(x_{n}) es una sucesión de la forma (xnk)(x_{n_{k}}), donde (nk)(n_{k}) es una sucesión estrictamente creciente de números naturales.

Example 6.10.

Una subsucesión de (1n)(\frac{1}{n}) es 12,14,16,18,…\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\frac{1}{8},\ldots o 13,16,19,112,…\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{9},\frac{1}{12},\ldots

Una notación generalizada para indicar que (xnk)(x_{n_{k}}) es una subsucesión de (xn)(x_{n}) consiste en escribir (xnk)≺(xn)(x_{n_{k}})\prec(x_{n}).