6 Sucesiones de números reales

Definición II.1.

Una sucesión de numeros reales es una función33 3 Definición vista en Lógica. x:ℕ→ℝx\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}, de manera que a cada número natural n∈ℕn\in\mathbb{N} se le asocia un único numero real x(n)x(n). En general a x(n)x(n) se le llama término nn-ésimo de la sucesion y se le representa por xnx_{n}. De la misma manera, la notación para representar la sucesión es (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1}, (xn)n∈ℕ(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}, {xn}n∈ℕ\left\{x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} o {xn}\left\{x_{n}\right\}.

Definición II.2.

Dadas dos sucesiones (xn)n∈ℕ(x_{n})_{n\in\mathbb{N}} y (yn)n∈ℕ(y_{n})_{n\in\mathbb{N}} podemos definir las siguientes operaciones en ℝ\mathbb{R} entre ellas:

  • ​

    la suma sería la sucesión {xn+yn}n∈ℕ\left\{x_{n}+y_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

  • ​

    el producto por un escalar α∈ℝ\alpha\in\mathbb{R} sería la sucesión {αxn}n∈ℕ\left\{\alpha x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

  • ​

    la resta sería la sucesión {xn−yn}n∈ℕ\left\{x_{n}-y_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

  • ​

    el producto sería la sucesión {xnyn}n∈ℕ\left\{x_{n}y_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

  • ​

    el cociente no siempre se puede realizar. Primero hay que asegurarse de que yn≠0y_{n}\neq 0 para cualquier natural nn, definiéndose entonces como la sucesión {xnyn}n∈ℕ\left\{\frac{x_{n}}{y_{n}}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

6.1 Sucesiones recurrentes

La posibilidad de definir sucesiones por recurrencia se debe al siguiente resultado:

Teorema II.1 (de definición por recursión).

Dados un conjunto, A≠∅A\neq\varnothing, una función H:ℕ×A→AH\colon\mathbb{N}\times A\to A y un elemento a∈Aa\in A, existe una función f:ℕ→Af\colon\mathbb{N}\to A, que además es única, y que satisface las condiciones

  1. 1.
    ​

    f(1)=af(1)=a

  2. 2.
    ​

    ∀n∈ℕf(n+1)=H(n,f(n))\forall n\in\mathbb{N}\;f(n+1)=H(n,f(n)).

Ejemplo II.1.

Algunos ejemplos de sucesión definida de forma recurrente es:

xn={1 para n=11+xn−1∀n≥2x_{n}=\begin{dcases}1\text{ para }n=1\\ \sqrt{1+x_{n-1}}\;\forall n\geq 2\end{dcases}
xn={2 si n=1xn−1+3∀n≥2x_{n}=\begin{dcases}2\text{ si }n=1\\ x_{n-1}+3\;\forall n\geq 2\end{dcases}
xn={3 si n=12xn−1∀n≥2x_{n}=\begin{dcases}3\text{ si }n=1\\ 2x_{n-1}\;\forall n\geq 2\end{dcases}

o la sucesión de Fibonacci:

{x1=1x2=1xn=xn−1+xn−2∀n≥3\begin{dcases}x_{1}=1\\ x_{2}=1\\ x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2}\;\forall n\geq 3\end{dcases}

Es posible definir las progresiones aritmeticas de manera recursiva x1=ax_{1}=a y xn=xn−1+dx_{n}=x_{n-1}+d para n≥2n\geq 2 o, también, explicitando el término general de la sucesión: xn=a+(n−1)dx_{n}\ =a+(n-1)d, es decir, la sucesión quedaría {a+(n−1)d}\left\{a+(n-1)d\right\}. Así, por ejemplo, si a=3a=3 y d=2d=2, la sucesión sería {3,5,7,…}\left\{3,5,7,\ldots\right\}. De manera análoga se pueden definir las progresiones geométricas: x1=ax_{1}=a y xn=rxn−1x_{n}=rx_{n-1} y también explicitando el término general: {a⋅rn−1}\left\{a\cdot r^{n-1}\right\}. Así, por ejemplo, si a=2a=2 y r=3r=3 la progresión geométrica sería {2⋅3n−1}={2,6,18,…}\left\{2\cdot 3^{n-1}\right\}=\left\{2,6,18,\ldots\right\}.

Proposición II.1.

El sumatorio de los elementos de la progresión geométrica desde 11 hasta nn es Sn=a(1−rn)=a⋅(1−rn)1−rS_{n}=a(1-r^{n})=\frac{a\cdot(1-r^{n})}{1-r} si r≠1r\neq 1.

Demostración.
Sn=a+ar+ar2+⋯+arn−1⇔−rSn=−(ar+ar2+ar3+⋯+arn)⇔Sn−rSn=a+ar+⋯+arn−1−ar−ar2−⋯−arn⇔(1−r)Sn=a−arn⇔Sn=a(1−rn)1−r{}S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{n-1}\iff-rS_{n}=-(ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots+ar^{n% })\\ {}\iff S_{n}-rS_{n}=a+ar+\cdots+ar^{n-1}-ar-ar^{2}-\cdots-ar^{n}\iff(1-r)S_{n}% =a-ar^{n}\\ {}\iff S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}

∎

Como consecuencia,

S∞=x1+x2+⋯=lı´mn→∞Sn=lı´mn→∞a(1−rn)1−r={a1−r si r<1lı´mn→∞n⋅a={+∞ si a>00 si a=0−∞ si a<0 si r=1S_{\infty}=x_{1}+x_{2}+\cdots=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{n\to\infty}S_{n}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n% \to\infty}\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\begin{dcases}\frac{a}{1-r}\;\text{ si }r<1\\ \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}n\cdot a=\begin{% dcases}+\infty\text{ si }a>0\\ 0\text{ si }a=0\\ -\infty\text{ si }a<0\\ \end{dcases}\;\text{ si }r=1\end{dcases}
Proposición II.2.

La suma de los nn primeros términos de una progresion aritmética de primer término aa y diferencia dd es Sn=(a+[a+(n−1)d])n2=(x1+xn)⋅n2S_{n}=\frac{(a+[a+(n-1)d])n}{2}=\frac{(x_{1}+x_{n})\cdot n}{2}.

Demostración.

No vista en clase. ∎

6.2 Subsucesiones

Definición II.3.

Una subsucesión de una sucesión (xn)(x_{n}) es una sucesión de la forma (xnk)(x_{n_{k}}), donde (nk)(n_{k}) es una sucesión estrictamente creciente de números naturales.

Ejemplo II.2.

Una subsucesión de (1n)(\frac{1}{n}) es 12,14,16,18,…\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\frac{1}{8},\ldots o 13,16,19,112,…\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{9},\frac{1}{12},\ldots

Una notación generalizada para indicar que (xnk)(x_{n_{k}}) es una subsucesión de (xn)(x_{n}) consiste en escribir (xnk)≺(xn)(x_{n_{k}})\prec(x_{n}).