10 Otros criterios de convergencia

10.1 Criterio de Stolz

Proposición II.11.

Sean (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1} y (yn)∞n=1⊂ℝ(y_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}.

lı´mn→∞xn=a∈ℝ¯=ℝ∪{+∞,−∞}yn>0∀n∈ℕlı´mn→∞∑i=1nyi=lı´mn→∞(y1+y2+⋯+yn)=+∞}⇒lı´mn→∞x1y1+x2y2+⋯+xnyny1+y2+⋯+yn=a\begin{rcases}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_% {n}=a\in\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\left\{+\infty,-\infty\right\}\\ y_{n}>0\;\forall n\in\mathbb{N}\\ \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}y_% {i}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}(y_{1}+y_{2}% +\cdots+y_{n})=+\infty\end{rcases}\Rightarrow\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n}}{y% _{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}}=a
Proposición II.12 (Criterio de la media aritmetica).

Sea (xn)∞n=1⊂ℝ(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R} y lı´mn→∞xn=a\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a. Entonces

lı´mn→∞x1+x2+⋯+xnn=a\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{x_{1}+x_{2% }+\cdots+x_{n}}{n}=a
Demostración.

Basta con tomar yn=1,n∈ℕy_{n}=1,n\in\mathbb{N}, y utilizar el resultado anterior. ∎

Teorema II.6 (Criterio de Stolz).

Sean (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1} y (yn)∞n=1⊂ℝ(y_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}. Si se cumple:

  • ​

    (yn)(y_{n}) es estrictamente creciente, lı´myn=+∞\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits y_{n}=+\infty y yn>0y_{n}>0.

  • ​

    lı´mn→∞xn−xn−1yn−yn−1=a∈ℝ¯\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}-x_{n% -1}}{y_{n}-y_{n-1}}=a\in\overline{\mathbb{R}}

entonces también sucede que lı´mn→∞xnyn=a\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{% n}}=a.

Demostración.

Dadas las sucesiones (xn)∞n=1(x_{n})^{\infty}_{n=1} e (yn)∞n=1(y_{n})^{\infty}_{n=1}, consideramos las sucesiones {Xn}\left\{X_{n}\right\} e {Yn}\left\{Y_{n}\right\} definidas por

Xn={x1y1 para n=1xn−xn−1yn−yn−1 si n≥2X_{n}=\begin{dcases}\frac{x_{1}}{y_{1}}\text{ para }n=1\\ \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}\text{ si }n\geq 2\end{dcases}
Yn={y1 para n=1yn−yn−1 si n≥2Y_{n}=\begin{dcases}y_{1}\text{ para }n=1\\ y_{n}-y_{n-1}\text{ si }n\geq 2\end{dcases}

En primer lugar, es evidente que lı´mn→∞{Xn}=lı´mn→∞{xn−xn−1yn−yn−1}=a\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\left\{X_{n}% \right\}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\left\{% \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}\right\}=a. Por otra parte, como {yn}\left\{y_{n}\right\} es estrictamente creciente, ∀n≥2Yn>0\forall n\geq 2\;Y_{n}>0, y como lı´mn→∞{yn}=+∞\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\left\{y_{n}% \right\}=+\infty, se verifica que

lı´mn→∞{Y1+Y2+⋯+Yn}=lı´mn→∞{y1+(y2−y1)+⋯+(yn−yn−1)}=lı´mn→∞{yn}=+∞\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\left\{Y_{1}+Y_{% 2}+\cdots+Y_{n}\right\}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n% \to\infty}\left\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})+\cdots+(y_{n}-y_{n-1})\right\}=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\left\{y_{n}\right\}=+\infty

En consecuencia, estamos bajo las hipotesis de la proposición II.11 y

a=lı´mn→∞X1Y1+X2Y2+⋯+XnYnY1+Y2+⋯+Yn=lı´mn→∞x1−0y1−0(y1−0)+⋯+xn−xn−1yn−yn−1(yn−yn−1)(y1−0)+(y2−y1)+⋯+(yn−yn−1)==lı´mn→∞x1+(x2−x1)+⋯+(xn−xn−1)yn=lı´mn→∞xnyn{}a=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{X_{1}Y% _{1}+X_{2}Y_{2}+\cdots+X_{n}Y_{n}}{Y_{1}+Y_{2}+\cdots+Y_{n}}=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{x_{1}-0}{y_{% 1}-0}(y_{1}-0)+\cdots+\frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}(y_{n}-y_{n-1})}{(y_{% 1}-0)+(y_{2}-y_{1})+\cdots+(y_{n}-y_{n-1})}=\\ {}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{x_{1}+(% x_{2}-x_{1})+\cdots+(x_{n}-x_{n-1})}{y_{n}}=\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}

∎