7 Sucesiones monótonas y acotadas

Definición II.4.

Una sucesión {xn}n∈ℕ\left\{x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} es:

  • ​

    creciente si ∀n∈ℕ\forall n\in\mathbb{N} se verifica que xn≤xn+1x_{n}\leq x_{n+1}.

  • ​

    estrictamente creciente si ∀n∈ℕ\forall n\in\mathbb{N} se verifica que xn<xn+1x_{n}<x_{n+1}.

  • ​

    decreciente si ∀n∈ℕ\forall n\in\mathbb{N} se verifica que xn≥xn+1x_{n}\geq x_{n+1}.

  • ​

    estrictamente decreciente si ∀n∈ℕ\forall n\in\mathbb{N} se verifica que xn>xn+1x_{n}>x_{n+1}.

En cualquiera de estos casos se dice que la sucesión es monótona.

Definición II.5.

Una sucesión {xn}n∈ℕ\left\{x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} está acotada superiormente si se puede encontrar un M∈ℝM\in\mathbb{R} de manera que ∀n∈ℕxn≤M\forall n\in\mathbb{N}\;x_{n}\leq M, acotada inferiormente si se puede encontrar un m∈ℝm\in\mathbb{R} de manera que ∀n∈ℕn≤xn\forall n\in\mathbb{N}\;n\leq x_{n}, y se dice que está acotada si lo está superior e inferiormente.

Ejemplo II.3.

Sucesiones acotadas superiormente, pero no acotadas, son: {−n},{−(n)!}\left\{-n\right\},\left\{-(n)!\right\}.

Sucesiones acotadas inferiormente, pero no acotadas, son: {n},{n2}\left\{n\right\},\left\{n^{2}\right\}.

Sucesiones acotadas son: {(−1)n,1n}\left\{(-1)^{n},\frac{1}{n}\right\}.

Una sucesión no acotada ni superior ni inferiormente es {(−n)n−1}\left\{(-n)^{n-1}\right\}.

Teorema II.2.

Toda sucesión de numeros reales contiene una subsucesión monotona.

Demostración.

No vista en clase. ∎