3 Topologia de un espacio metrico

Sea $(E,\mathrm{d})$ un espacio metrico (o normado). Dados un punto $a\in E$ y un numero $r>0$ , definimos el conjunto

B(a,r)=\left\{x\in E\colon\mathrm{d}(x,a)<r\right\}

Definición I.7 (Conjunto abierto).

Se dice que un conjunto $A\subset E$ es abierto en el espacio metrico $(E,\mathrm{d})$ si para cada punto $x\in A$ hay un numero $r_{x}>0$ tal que $B(x,r_{x})\subset A$ . Por convenio, el conjunto vacio, $\varnothing$ , se considera abierto.

Proposición I.5.

Sean $(E,\mathrm{d})$ un espacio metrico, $a\in E$ y $r>0$ . Se verifica que el conjunto $B(a,r)$ es abierto. Dicho conjunto se llama bola abierta de centro $a$ y radio $r$ .

Proposición I.6 (Propiedades de los conjuntos abiertos de un espacio metrico).

En todo espacio metrico $(E,\mathrm{d})$ se verifica que:

1.

Los conjuntos $E$ y $\varnothing$ son abiertos.
2.

La union de cualquier coleccion de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
3.

La interseccion de una coleccion finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

La interseccion de una coleccion infinita de conjuntos abiertos no puede ser abierta porque es un solo punto.

Definición I.8 (Conjunto cerrado).

Se dice que un conjunto $F\subset E$ es cerrado en el espacio metrico $(E,\mathrm{d})$ si su complementario $E\setminus F$ es abierto en dicho espacio metrico.

Proposición I.7 (Propiedades de los conjuntos cerrados de un espacio metrico).

En todo espacio metrico $(E,\mathrm{d})$ se verifica que:

1.

Los conjuntos $E$ y $\varnothing$ son cerrados.
2.

La interseccion de cualquier coleccion de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
3.

La union de una coleccion finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Ejemplo I.2.

Si hacemos la unión infinita de los conjuntos del tipo $\left\{x\mid x\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}\right\}$ , el conjunto resultante no es cerrado porque su complementario (el punto $0$ ) es cerrado.

Definición I.9.

Sea $(E,\mathrm{d})$ un espacio metrico y $A\subset E$ .

Decimos que un punto $x\in E$ es adherente al conjunto $A$ si toda bola abierta centrada en $x$ tiene puntos de $A$ . El conjunto de todos los puntos adherentes a $A$ se llama la adherencia de $A$ y se representa por $\overline{A}$ .

Decimos que un punto $x\in E$ es un punto de acumulacion del conjunto $A$ si toda bola abierta centrada en $x$ tiene puntos de $A$ distintos de $x$ . El conjunto de todos los puntos de acumulacion de $A$ se llama la acumulacion de $A$ y se representa por $A^{\prime}$ .

El conjunto de todos los puntos adherentes a $A$ y a $E/A$ se llama la frontera de $A$ y se representa por $\mathrm{Fr}(A)$ .

Decimos que un punto $x\in A$ es un punto interior al conjunto $A$ si hay alguna bola abierta centrada en $x$ contenida en $A$ . El conjunto de todos los puntos interiores de $A$ se llama el interior de A y se representa por $A^{\circ}$ .

Decimos que un punto $x\in A$ es un punto aislado en $A$ si hay alguna bola abierta $B(x,r)$ tal que $B(x,r)\cap A=\left\{x\right\}$ .

Definición I.10 (Normas equivalentes).

Se dice que dos normas $\left\lVert\cdot\right\rVert$ y $\rho$ de un espacio vectorial $X$ son equivalentes si existem $M,m>0$ tales que

m\left\lVert x\right\rVert\leq\rho(x)\leq M\left\lVert x\right\rVert

para todo $x\in X$ . Geometricamente esto significa que

B_{\rho}(x,mr)\subseteq B_{\left\lVert\cdot\right\rVert}(x,r)\subseteq B_{\rho% }(x,Mr)

para cada $x\in X,r>0$ .

Ejemplo I.3.

Vamos a probar que $\left\lVert x\right\rVert=\sqrt{x^{2}_{1}+\cdots+x^{2}_{n}}$ y $\left\lVert x\right\rVert_{\infty}=\mathop{\operator@font m\acute{a}x}\left\{% \left|x_{i}\right|\right\}$ son equivalentes.

Tenemos que ver que $\exists M,m>0$ tal que $m\left\lVert x\right\rVert_{\infty}\leq\left\lVert x\right\rVert\leq M\left% \lVert x\right\rVert_{\infty}$ para todo $x\in\mathbb{R}^{n}$ . Si tomamos $m=1$ y $x_{j}$ el mayor de todos los elementos, $\left\lVert x\right\rVert=\sqrt{x^{2}_{1}+\cdots+x^{2}_{n}}\geq\sqrt{x^{2}_{j}% }=\mathop{\operator@font m\acute{a}x}\left\{\left|x_{i}\right|\right\}=\left% \lVert x\right\rVert_{\infty}$ . Por otro lado, $\left\lVert x\right\rVert=\left\{x^{2}_{1}+\cdots+x^{2}_{n}\right\}\leq\sqrt{% nx^{2}_{j}}=\sqrt{n}\left|x_{j}\right|=\sqrt{n}\left\lVert x\right\rVert_{\infty}$ , con lo que se cumple para $M=\sqrt{n}$ y $m=1$ .

Se puede probar que la norma 1 tambien es equivalente.

Teorema I.1.

Todas las normas de $\mathbb{R}^{n}$ son equivalentes.