1 Producto escalar y norma euclideos ‣ Parte I Estructura euclidea y topología de ℝ^{𝑛} ‣ Análisis Vectorial I

Definición I.1.

Dados dos vectores $x=\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots&x_{n}\\ \end{pmatrix}$ , $y=\begin{pmatrix}y_{1}&\cdots&y_{n}\\ \end{pmatrix}$ se define el producto escalar por:

\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}=x_{1}y_{1}+\cdots+x_{n}y_{n}

Este producto escalar se llama producto escalar euclideo.

Proposición I.1 (Propiedades del producto escalar).

1.

$\langle x,x\rangle\geq 0$ y $\langle x,x\rangle=0$ si y solo si $x=0$ .
2.

Simetria: $\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$ para todos $x,y\in\mathbb{R}^{n}$ .
3.

Linealidad: $\langle\alpha x+\beta y,z=\alpha\langle x,z\rangle+\beta\langle y,z\rangle$ para todos $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ y para todos $x,y,z\in\mathbb{R}^{n}$ .

Definición I.2 (Norma).

La norma euclidea de un vector $x=\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots&x_{n}\\ \end{pmatrix}$ se define por

\left\lVert x\right\rVert=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x^{2}_% {k}}

Proposición I.2 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz).

Para todos $x,y\in\mathbb{R}^{n}$ se verifica que

\left|\langle x,y\right|\leq\left\lVert x\right\rVert\left\lVert y\right\rVert

Ademas, supuesto que $x$ e $y$ no son nulos, la igualdad $\left|\langle x,y\right|=\left\lVert x\right\rVert\left\lVert y\right\rVert$ equivale a que exista un numero $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $x=\lambda y$ (es decir, los vectores $x$ e $y$ estan en una misma recta que pasa por el origen).

Proposición I.3.

Las propiedades de la norma euclidea son:

1.

$\left\lVert x\right\rVert\geq 0$ y $\left\lVert x\right\rVert=0$ si y solo si $x=0$ .
2.

Homogeneidad: $\left\lVert\lambda x\right\rVert=\left|\lambda\right|\left\lVert x\right\rVert$ para todo $x\in\mathbb{R}^{n}$ y todo $\lambda\in\mathbb{R}$ .
3.

Desigualdad triangular. Para todos $x,y\in\mathbb{R}^{n}$ se verifica que

$\left\lVert x+y\right\rVert\leq\left\lVert x\right\rVert+\left\lVert y\right\rVert$

Definición I.3.

Se dice que los vectores $x$ e $y$ son ortogonales, y escribimos $x\perp y$ , cuando su producto escalar es cero. Se dice que un vector $x$ es ortogonal a un conjunto de vectores $E\subset\mathbb{R}^{n}$ cuando $x$ es ortogonal a todo vector de $E$ . Un conjunto de vectores no nulos que son mutuamente ortogonales se dice que es un conjunto ortogonal de vectores. Una base vectorial que tambien es conjunto ortogonal u ortonormal se llama base ortogonal u ortonormal.

Definición I.4 (Distancia).

La distancia euclidea en $\mathbb{R}^{n}$ es la aplicacion $\mathrm{d}_{2}\colon\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{+}_{o}$ definida por:

\mathrm{d}_{2}(x,y)=\left\lVert x-y\right\rVert

La distancia euclidea entre los vectores $x$ e $y$ es el numero $\mathrm{d}_{2}(x,y)$ .

Proposición I.4.

Las propiedades de la distancia euclidea es:

1.

$\mathrm{d}_{2}(x,y)\geq 0$ y $\mathrm{d}_{2}=0$ si y solo si $x=y$ .
2.

Simetria: $\mathrm{d}_{2}(x,y)=\mathrm{d}_{2}(y,x)$ para todos $x,y\in\mathbb{R}^{n}$ .
3.

Homogeneidad: $\mathrm{d}_{2}(\lambda x,\lambda y)=\left|\lambda\right|\mathrm{d}_{2}(x,y)$ para todos $x,y\in\mathbb{R}^{n}$ y todo $\lambda\in\mathbb{R}$ .
4.

Desigualdad triangular: $\mathrm{d}_{2}(x,y)\leq\mathrm{d}_{2}(x,z)+\mathrm{d}_{2}(z,y)$ para todos $x,y,z\in\mathbb{R}^{n}$ .