4 Sucesiones

Una sucesión $(x_{k})$ en un conjunto $X$ es una aplicacion $k\mapsto x_{k}$ de $\mathbb{N}$ en $X$ . Por otro lado, se dice que una sucesion $(y_{j})$ es una subsucesion de $(x_{k})$ si existe una inyeccion creciente $j\mapsto k_{j}$ de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{N}$ tal que $y_{j}=x_{k_{j}}$ para todo $j$ , y en este caso se denota $(y_{j})=(x_{k_{j}})$ .

Definición I.11.

Se dice que una sucesion $(x_{n})$ es convergente a un punto $x$ de $(X,d)$ (al que se llamara limite de dicha sucesion, y se denotara $x=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{k\to\infty}x_{k}$ ) si para todo $\epsilon>0$ existe $k_{0}\in\mathbb{N}$ tal que si $k\geq k_{0}$ entonces $d(x_{k},x)\leq\epsilon$ .

Esto es lo mismo que decir que para todo $\epsilon>0$ existe $k_{0}\in\mathbb{N}$ tal que si $k\geq k_{0}$ entonces $\left\lVert x_{k}-x\right\rVert\leq\epsilon$ .

Observación I.1.

Decimos que la sucesion tiende a $x$ si para cualquier bola que tomemos con centro en $x$ y de radio $\epsilon>0$ , siempre existira $k_{0}\in\mathbb{N}$ tal que todos los elementos de la sucesion a partir de $k_{0}$ queden dentro de esa bola.

Proposición I.8.

El limite de una sucesion $(x_{k})$ , si existe, es unico.

Demostración.

Supongamos que $x$ e $y$ son limites de una sucesion $(x_{k})$ y que $x\neq y$ . Sea $\epsilon\coloneqq d(x,y)/3$ , estrictamente positivo por ser $x\neq y$ . Puesto que $(x_{k})$ converge a $x$ , existe $k_{1}\in\mathbb{N}$ tal que si $k>k_{1}$ entonces $d(x_{k},x)\leq\epsilon$ . Como $(x_{k})$ tambien converge a $y$ , existe $k_{2}\in\mathbb{N}$ tal que si $k\geq k_{2}$ entonces $d(x_{k},y)\leq\epsilon$ . Luego, para todo $k\geq\mathop{\operator@font m\acute{a}x}\left\{k_{1},k_{2}\right\}$ tendremos que

3\epsilon=d(x,y)\leq d(x,x_{k})+d(x_{k},y)\leq\epsilon+\epsilon=2\epsilon

lo cual es absurdo. ∎

Proposición I.9.

Si $(x_{n})$ es convergente a $x$ entonces cualquier subsucesion $(x_{k_{j}})$ de $(x_{k})$ tambien converge a $x$ .

Teorema I.2 (de Bolzano-Weierstrass).

Toda sucesion acotada de puntos de $(\mathbb{R}^{n},\left\lVert\right\rVert)$ tiene alguna subsucesion convergente.

Proposición I.10.

Una sucesion $(x_{n})$ converge a un punto $x$ en $(X,d)$ si y solo si $d(x_{n},x)$ converge a $0$ en $\mathbb{R}$ .

Proposición I.11.

La sucesion $(x_{k})$ converge a $x$ en $\mathbb{R}^{n}$ si y solo si, para cada $j=1,\ldots,n$ , la sucesion coordenada $(x^{j}_{k})$ converge a $x_{j}$ . Es decir,

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{k\to\infty}x_{k}=k\iff% \forall j=1,\ldots,n\;\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{k\to% \infty}x^{j}_{k}=x_{j}\mathchar 46\relax

Observación I.2.

Dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ son equivalentes si en el punto $x=x_{0}$ $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)% }=1$ .

Como $f(x)$ y $g(x)$ son equivalentes, dado $h(x)$ se tiene que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}h(x)f(x)=\mathop% {\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}h(x)g(x)$ .

Por ejemplo, $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}\frac{\sin^{3}x\cdot x% ^{4}}{(1+x)\sin^{3}(2x)}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x% \to 0}\frac{x^{3}x^{4}}{(1+x)(2x)^{3}}$ .

Otros ejemplos de equivalencias (en $x=0$ ) son: $\sin x\sim x$ , $1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^{2}$ , $e^{x}-1\sim x$ , $\ln(1+x)\sim x$ .

Se puede aplicar para $f(x)$ siempre que $f(x)\to 0\Rightarrow$ $e^{x-1}-1\overset{x=1}{\sim}x-1$ .

Definición I.12 (Sucesion de Cauchy).

Se dice que $(x_{n})$ es una sucesion de Cauchy en $(X,d)$ si para todo $\epsilon>0$ existe $k_{0}\in\mathbb{N}$ tal que si $k,j\geq k_{0}$ entonces $d(x_{k},x_{j})\leq\epsilon$ .

Se dice que el espacio $(X,d)$ es completo si toda sucesion de Cauchy en $X$ converge.

Se dice que un espacio vectorial normado $(E,\left\lVert\cdot\right\rVert)$ es completo si como espacio metrico es completo para la distancia inducida por su norma. A los espacios normados completos se les llama tambien espacios de Banach.

Proposición I.12.

Toda sucesion convergente es de Cauchy.

Demostración.

Si $(x_{k})$ es una sucesion convergente en un espacio metrico $(X,d)$ , dado $\epsilon>0$ existe $k_{i}>0$ tal que $d(x_{k},x)\leq\epsilon/2$ para todo $k\geq k_{\epsilon}$ . Por tanto, para todos $k,j\geq k_{\epsilon}$ , tenemos

d(x_{k},x_{j})\leq d(x_{k},x)+d(x,x_{j})\leq\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}% {2}=\epsilon\mathchar 46\relax

Esto prueba que $(x_{k})$ es de Cauchy en $(X,d)$ . ∎

Observación I.3.

El reciproco no se cumple en general (si el espacio no es completo).

Teorema I.3.

El espacio $\mathbb{R}^{n}$ (con cualquiera de sus normas) es completo.

Definición I.13.

Se dice que un espacio metrico $(X,d)$ es compacto si toda sucesion de $X$ tiene una subsucesion convergente.

Observación I.4.

Un conjunto en $\mathbb{R}^{n}$ es acotado si puedo encontrar una bola tal que este se encuentre dentro de la bola.

Teorema I.4.

Sea $K$ un subconjunto de $\mathbb{R}^{n}$ . Entonces $K$ es compacto si y solo si $K$ es cerrado y acotado.