5 Funciones entre espacios euclídeos de dimensión finita

Una funcion se define como $f\colon U\subset\mathbb{R}^{n}\to R^{m}$ , de forma que

f(x_{1},\ldots,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots,x_{n}),f_{2}(x_{1},\ldots,x_{n}),% \ldots,f_{m}(x_{1},\ldots,x_{n})),

donde $f_{i}\colon U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ .

Hasta ahora, la representacion de las funciones en $\mathbb{R}$ era $(x,f(x))$ . Si estamos en $\mathbb{R}^{2}$ , $f\colon U\subset\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ , se define $z=f(x,y)$ y el resultado es $(x,y,f(x,y))$ , usando vectores en lugar de numeros.

Ejemplo I.4.

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\Rightarrow f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ . Es una semiesfera positiva. Su dominio son todos los vectores de $\mathbb{R}^{2}$ que cumplen $1-x^{2}-y^{2}\geq 0\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 1$ (los vectores dentro del circulo de radio 1).

Tambien podemos considerar, por ejemplo, $f$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^{2}$ (al reves). Por ejemplo, $f(t)=(t,t^{2})$ . Solo representamos los puntos de la imagen y no del dominio, que en este caso es una parabola.

O tambien $f\colon U\subset\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}$ dado por $f(t,s)=(1+s,1-t+s,t)$ , cuya variacion de la imagen representa un plano.

La funcion $f(t)=(\sin t,\cos t)$ es una circunferencia de radio 1, pues $\cos^{2}t+\sin^{2}t=1$ (forma parametrica de una circunferencia), $t\in[0,2\pi)$ . Asimismo, se tiene que $f(t,s)=(\cos t\sin s,\sin t,\sin s,\cos s)$ es una esfera, $s\in[0,\pi]$ , $t\in[0,2\pi)$ .

Una bola de centro 0 y radio 1 en $\mathbb{R}^{2}$ con la norma euclidea es una circunferencia de radio 1. En cambio, con la norma infinito es un cuadrado con vertices $(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)$ y con la norma $1$ es un cuadrado con vertices $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,1)$ .

Definición I.14.

Dada la funcion $f\colon U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ , definimos su grafica como el subconjunto de $\mathbb{R}^{n+1}$

Gr(f)\coloneqq\left\{(x_{1},\ldots,x_{n},f(x_{1},\ldots,x_{n}))\in\mathbb{R}^{% n+1}\colon(x_{1},\ldots,x_{n})\in U\right\}

En el caso $n=1$ , la grafica es una curva en $\mathbb{R}^{2}$ , y en el caso $n=2$ , la grafica es una superficie en $\mathbb{R}^{3}$ . En dimensiones mayores es dificil de visualizar. Para superar esta dificultad se introduce la idea de conjuntos de nivel.

Definición I.15.

Sea $f\colon U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ y $a\in\mathbb{R}$ . Se define el conjunto de nivel de $f$ del valor $a$ , como el conjunto:

C(f,a)\coloneqq\left\{x\in U\colon f(x)=a\right\}

En el caso $n=2$ hablamos de curvas de nivel (de valor $a$ ) y si $n=3$ hablamos de superficies de nivel.

Ejemplo I.5.

Definimos la funcion $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ .

Tomando cualquier $f(x,y)=a\in\mathbb{R}$ , vemos que la ecuacion queda $x^{2}+y^{2}=a$ , con lo que es una circunferencia de radio $a$ . Por otro lado, la interseccion con $x=0$ es $z=y^{2}$ y con $y=0$ es $z=x^{2}$ , dos parabolas. Por tanto, podemos concluir que se trata de un paraboloide eliptico.

Definición I.16.

Sean $X$ e $Y$ espacios metricos. Sea $a$ un punto de acumulacion de un subconjunto $A$ de $X$ , y sea $f\colon A\to Y$ una aplicacion. Diremos que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=b

si para cada $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $x\in A$ y $0<d(x,a)<\delta$ entonces $d(f(x),b)<\epsilon$ .

Si consideramos la norma euclidea, esto nos dice que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=b$ si $\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0$ tal que si $0<\left\lVert x-a\right\rVert<\delta$ entonces $\left\lVert f(x)-b\right\rVert<\epsilon$ .

Ejemplo I.6.

Vamos a demostrar que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{(x,y)\to(0,0)}xy\sin\frac{1% }{x^{2}+y^{2}}=0$ , es decir, $\forall\epsilon>0\;\exists\delta$ con $0<\left\lVert(0,0)-(x,y)\right\rVert<\delta$ se cumple que $\left\lVert f(x,y)-0\right\rVert=\left\lVert xy\sin\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right% \rVert=\left|xy\sin\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right|<\epsilon$ .

Sabemos que $\left|xy\sin\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right|\leq\left|xy\right|$ y si $y\leq 1$ , $\left|xy\right|\leq\left|x\right|$ . Si estamos dentro de la bola de radio $1$ , formada por los puntos que cumplen $\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq 1$ , se tiene que $\left|x\right|=\sqrt{x^{2}}\leq\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .

Por lo tanto, si $\delta=\epsilon$ podemos asegurar (en la bola de radio menor o igual que 1) que $\left|xy\sin\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right|\leq\left|xy\right|\leq\left|x\right|% \leq\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\epsilon$ .

Luego $\delta=\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\left\{1,\epsilon\right\}$ .

Proposición I.13.

Sean $X$ e $Y$ espacios metricos, $a$ un punto de acumulacion de un subconjunto $A$ de $X$ , y $f\colon A\to Y$ una aplicacion. Entonces existe

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=b

si y solo si para cada sucesion $(x_{n})\subseteq A\setminus\left\{a\right\}$ convergente al punto $a$ en $X$ , la sucesion $(f(x_{n}))$ converge a $b$ en $Y$ .

Siempre que se tenga que $f(x,y)=g(x)$ , si $g(x)\overset{x\to x_{0}}{\to}l\Rightarrow\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}\limits_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)=l$ (importante hacer la demostracion).

Definición I.17.

Sea $f\colon A\subseteq X\to\mathbb{R}$ una funcion, $a\in A^{\prime}$ . Se dice que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$ si para todo $M>0$ existe $\delta>0$ tal que, si $x\in A$ y $0<d(x,a)<\delta$ , entonces $f(x)>M$ .

Si $A$ es un subconjunto no acotado de $\mathbb{R}^{n}$ , y $f\colon A\to\mathbb{R}$ , diremos que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\infty}f(x)=b\in\mathbb% {R}$ si para cada $\epsilon>0$ existe $N>0$ tal que, si $x\in A$ y $\left\lVert x\right\rVert>N$ , entonces $\left|f(x)-b\right|<\epsilon$ .

Finalmente, diremos que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\infty}f(x)=+\infty$ si para todo $M>0$ existe $N>0$ tal que si $x\in A$ y $\left\lVert x\right\rVert>N$ entonces $f(x)>M$ .

Analogamente pueden definirse $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=-\infty$ y $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\infty}f(x)=-\infty$ .

Ejemplo I.7.

Probar que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{x^{2% }+\left|y\right|}=+\infty$ .

A partir de un $M$ , tenemos que probar que existe un $\delta$ (que depende de $M$ ) tal que si $0<d(x,a)<\delta$ , entonces $\frac{1}{x^{2}+\left|y\right|}>M$ .

Podemos decir que $\frac{1}{x^{2}+\left|y\right|}>\frac{1}{\left|x\right|+\left|y\right|}$ siempre y cuando $\left|x\right|\leq 1$ y tenemos que ver que $\frac{1}{\left|x\right|+\left|y\right|}>M$ , que es lo mismo que probar que $\left|x\right|+\left|y\right|<\frac{1}{M}$ .

Por otro lado, $\sqrt{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}>\left|x\right|+\left|y\right|$ , ya que $(\sqrt{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}=2x^{2}+2y^{2}$ y $(\left|x\right|+\left|y\right|)^{2}=x^{2}+y^{2}+2\left|x\right|\left|y\right|$ , y se tiene que $2x^{2}+2y^{2}\geq x^{2}+y^{2}+2\left|x\right|\left|y\right|$ , pues $x^{2}+y^{2}\geq 2\left|x\right|\left|y\right|$ (porque $x^{2}+y^{2}-2\left|x\right|\left|y\right|\geq 0$ ).

Si tomamos $\delta=\frac{1}{\sqrt{2}M}$ , $\sqrt{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2}\delta=\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}M}=\frac{1}% {M}>\left|x\right|+\left|y\right|$ , que es lo que queriamos conseguir.

Luego $\delta=\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\left\{1,\frac{1}{\sqrt{2}M}\right\}$ (porque al principio hemos supuesto que estabamos trabajando en una bola de radio $1$ ).

Definición I.18 (Continuidad).

Sean $X,Y$ espacios metricos, $A\subseteq X$ , $f\colon A\to Y$ una aplicacion. Se dice que $x$ es continua en $a\in A$ si, o bien $a$ es un punto aislado de $A$ , o bien

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=f(a)

cuando $a$ es punto de acumulacion de $A$ . Esto equivale a decir que para todo $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $d(x,a)<\delta$ entonces $d(f(x),f(a))<\epsilon$ .

Proposición I.14.

Sean $f,g\colon A\subseteq X\to\mathbb{R}$ dos funciones, $a\in A^{\prime}$ . Supongamos que existen los limites

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=l\text{ y }% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}g(x)=m

Entonces:

Existe $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}(f+g)(x)=l+m$
Existe $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}(f\cdot g)(x)=lm$
Si $m\neq 0$ , existe tambien $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}\frac{f}{g}(x)=\frac% {l}{m}$ .

Demostración.

Mirarlas (ManualCD2019). ∎

Como consecuencia puede deducirse un enunciado analogo para la continuidad en un punto, es decir: la suma, el producto y cociente de funciones continuas en un punto es una funcion continua en ese punto.

Proposición I.15.

Sean $f\colon X\to Y$ , $g\colon Y\to Z$ aplicaciones entre espacios metricos. Supongamos que $f$ es continua en $a\in X$ y que $g$ es continua en $f(a)\in Y$ . Entonces la composicion $g\circ f\colon X\to Z$ es continua en $a$ .

Demostración.

Fijemos $\epsilon>0$ . Por ser $g$ continua en $f(a)$ , existe $\delta^{\prime}>0$ tal que si $d(y,f(a))<\delta^{\prime}$ entonces $d(g(y),g(f(a)))<\epsilon$ . Ahora, por ser $f$ continua en $a$ , existe a su vez $\delta>0$ tal que si $d(x,a)<\delta$ entonces $d(f(x),f(a))<\delta^{\prime}$ . Por tanto, para todo $x\in X$ con $d(x,a)<\delta$ tendremos que $d(g(f(x)),g(f(a)))<\epsilon$ . ∎

Corolario I.1.

Sean $f\colon A\subseteq X\to Y$ , $g\colon Y\to Z$ , $a\in A^{\prime}$ . Supongamos que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=b$ y que $g$ es continua en $b\in Y$ . Entonces, existe

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}g(f(x))=g(\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x))

Corolario I.2.

Sean $f\colon A\subset X\to Y$ , $g\colon Y\to Z$ , $a\in A^{\prime}$ . Supongamos que existe $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=b$ , que $f(x)\neq b$ para todo $x\neq a$ en algun entorno de $a$ , y que existe $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{y\to b}g(y)=c$ . Entonces, existe

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}g(f(x))=c

Esto nos da la justificacion de por que se pueden hacer cambios de variable en un limite.

Proposición I.16.

Sean $f\colon A\subseteq X\to\mathbb{R}^{m}$ , $a\in A^{\prime}$ . Entonces, existe $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)$ si y solo si existen los limites $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f_{j}(x)$ para cada funcion coordenada $f_{j},j=1,\ldots,m$ . Ademas, en este caso,

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=\left(\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f_{1}(x),\ldots,\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f_{m}(x)\right)

Esto sirve tambien para comprobar la continuidad (la continuidad de una funcion dependera de la continuidad de cada una de las componentes).

Ejemplo I.8.

$f(x,y)=e^{x+y^{2}}$ es continua en el punto $(1,1)$ porque el la funcion exponencial es continua y el polinomio es continuo (composicion de funciones).

$f(x,y)=e^{\sqrt{x-y^{2}}}$ es continua siempre y cuando $x\geq y^{2}$ porque la exponencial es continua y la raiz es continua cuando $x-y^{2}\geq 0$ .

Ejemplo I.9.

Puesto que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{t\to\infty}\frac{\ln t}{t}=0$ , con la composicion de funciones $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{(x,y)\to\infty}\frac{\ln(% \left|x\right|+y^{2})}{\left|x\right|+y^{2}}=0$ .
$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy% )}{xy}=1$ porque $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}% \overset{LH}{=}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{t\to 0}\frac% {\cos t}{1}=1$

(Hacemos cambio de variable pasando a una sola variable).

(ManualCD2019)

Si queremos calcular el limite $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)$ , lo primero sera comprobar si la funcion es continua en $a$ . En ese caso, es obvio que el limite existe y $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ . Si no es continua, podemos comprobar si se puede aplicar la proposición I.14 o el corolario I.1

Proposición I.17 (Teorema del bocadillo).

Demostrar que si $f,g,h\colon A\subseteq X\to\mathbb{R}$ son funciones tales que $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ para todo $x\in A$ y existen $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}h(x)$ , entonces tambien existe $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}g(x)$ y ademas

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}g(x)=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}f(x)=\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}\limits_{x\to a}h(x)\mathchar 46\relax

Ejemplo I.10.

Tecnicas de acotacion: aplicar teorema del bocadillo.

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y}% {x^{2}+y^{2}}$ . Se cumple que $0\leq\left|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|\leq\left|\frac{x^{2}y}{x^{2}}% \right|=\left|y\right|\to 0$ . Para esto, hemos usado que $\left|f(x)\right|\to 0\iff f(x)\to 0$ (ejercicio).

Proposición I.18.

$\left|f(x)\right|\to 0\iff f(x)\to 0$

Demostración.

$\Rightarrow)$ el valor absoluto es funcion continua y composicion de funciones continuas es continua, luego $\left|f(x)\right|\to 0$ (al evaluar).

Si los metodos anteriores no han dado resultado, es posible que el limite no exista y hay una serie de pistas para ayudarnos a demostrarlo. Una primera posibilidad es calcular los limites iterados (solo sirven para probar que no existen).

Proposición I.19.

Sea $f\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ , $(x_{0},y_{0})\in\mathbb{R}^{2}$ . Supongamos que existen los limites

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y),% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}(\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{y\to y_{0}}f(x,y)),\text{ y }% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{y\to y_{0}}(\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}f(x,y))

Probar que entonces los tres limites son iguales.

Demostración.

Ejercicio. ∎

Tambien puede ocurrir que los limites iterados existan y sean todos iguales sin que ello implique la existencia del limite, asi que el criterio anterior no es concluyente. Supongamos que existiera el limite en $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=L$ , entonces si nos acercamos al origen por rectas de pendiente $\lambda\in\mathbb{R}$ , esto es, si hacemos $y=\lambda x$ y sustituimos en la funcion, la expresion $f(x,\lambda x)$ deberia tender al limite $L$ cuando $x\to 0$ .

Ejemplo I.11.

Consideramos $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^{% 2}+y^{2}}$ . Si $y=\lambda x$ , $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}\frac{x\lambda x}{x^% {2}+(\lambda x)^{2}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0% }\frac{\lambda}{1+\lambda^{2}}=\frac{\lambda}{1+\lambda^{2}}$ . Como el limite depende de $\lambda$ , el limite no existe.

Ejemplo I.12.

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^{2}}% {x^{2}+y^{4}}$ . Si tomamos $y=\lambda x$ , $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}\frac{\lambda^{2}x^{% 3}}{x^{2}+\lambda^{4}x^{4}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_% {x\to 0}\frac{\lambda^{2}x^{3}}{x^{2}(1+\lambda^{4}x^{2})}=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}\frac{\lambda^{2}x}{1+% \lambda^{4}x^{2}}=0$ . Si tiene limite, tiene que ser 0, aunque puede no tenerlo.

Ejemplo I.13.

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^{2}}% {x^{2}+y^{4}}$ . Para $y=x^{2}$ , $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}\frac{xx^{4}}{x^{2}+% x^{8}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}\frac{x^{3}}{% 1+x^{6}}=0$ .

Probamos otra para ver si podemos obtener mas conclusiones: $x=y^{2}$ , $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{y\to 0}\frac{y^{4}}{y^{4}+y% ^{4}}=\frac{1}{2}$ .

Hemos encontrado un camino que va a $0$ donde el limite no es igual a $0$ . Por lo tanto, el limite no existe.

Otra manera es el cambio de coordenadas polares, es decir, poner $x=\rho\cos\theta$ , $y=\rho\sin\theta$ , y hacer tender $\rho$ a cero. Si el resultado depende de $\theta$ entonces el limite no puede existir. De hecho puede demostrarse que para toda funcion $f\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ se tiene que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=L\iff% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{\rho\to 0}f(\rho\cos\theta,% \rho\sin\theta)=L$ .

Ejemplo I.14.

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^{% 2}+y^{2}}$ . Hacemos el cambio a coordenadas polares:

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{\rho\to 0}\frac{\rho^{2}% \cos\theta\sin\theta}{\rho^{2}}=\cos\theta\sin\theta

No existe el limite al depender de $\theta$ .

Ejemplo I.15.

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y}% {x^{2}+y^{2}}$ . Pasando a coordenadas polares, $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{\rho\to 0}\frac{\rho^{3}% \cos^{2}\theta\sin\theta}{\rho^{2}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{\rho\to 0}\rho\cos^{2}\theta\sin\theta=0$ .

Las coordenadas polares nos sirven para demostrar que existe el limite o que no existe.

Proposición I.20.

Sean $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}f(x)=0$ y $g(x)$ una funcion acotada, entonces $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}f(x)\cdot g(x)=0$ .

Demostración.

Por el teorema del bocadillo. ∎

Definición I.19.

Decimos que $f(x)$ esta acotada en $A$ si existe $k>0$ tal que $\left|f(x)\right|<k\;\forall x\in A$ .

Definición I.20.

Se dice que una funcion $f\colon X\to Y$ es continua en un subconjunto $A$ de $X$ si $f$ es continua en $x$ para cada $x\in A$ . Si $f\colon X\to Y$ es continua en todo $X$ , diremos simplemente que $f$ es continua.

Corolario I.3.

La suma, el producto, el cociente y la composicion de funciones continuas son continuas (siempre que esten bien definidas).

Teorema I.5.

Sea $f\colon X\to Y$ . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1.

$f$ es continua.
2.

Para todo subconjunto abierto $A$ de $Y$ , $f^{-1}(A)$ es abierto en $X$ .
3.

Para todo subconjunto cerrado $C$ de $Y$ , $f^{-1}(C)$ es cerrado en $X$ .

Teorema I.6.

Sea $f\colon X\to Y$ una aplicacion continua, y sea $K\subseteq X$ un subconjunto compacto de $X$ . Entonces $f(K)$ es compacto.

Teorema I.7 (de Weierstrass).

Sea $f\colon X\to\mathbb{R}$ continua, y $K\subseteq X$ compacto (no vacio). Entonces existen $x_{1},x_{2}\in K$ tales que $f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})$ para todo $x\in K$ , es decir, $f$ alcanza un maximo y un minimo absolutos en $K$ . En particular $f$ esta acotada en $K$ .

Demostración.

Por el teorema anterior $f(K)$ es compacto, y en particular cerrado y acotado. Sean $\alpha=\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}f(K)$ , $\beta=\sup f(K)$ , que existen por ser $f(K)$ acotado. Como $\sup f(K)$ , $\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}f(K)\in\overline{f(K)}$ , y $f(K)$ es cerrado, se tiene que $\alpha$ , $\beta\in f(K)$ lo que significa que existen $x_{1},x_{2}\in K$ con

f(x_{1})=\alpha\leq f(x)\leq\beta=f(x_{2})

para todo $x\in K$ . ∎

Teorema I.8.

Sean $K$ un espacio metrico compacto y $f\colon K\to Y$ inyectiva y continua. Entonces la aplicacion inversa $f^{-1}\colon f(K)\subseteq Y\to K$ es tambien continua.

Definición I.21.

Se dice que una aplicacion $f\colon X\to Y$ es un homeomorfismo entre dos espacios metricos $X$ e $Y$ si $f$ es biyectiva y tanto $f$ como $f^{-1}\colon Y\to X$ son continuas. Se dice que dos espacios metricos son homeomorfos si existe un homeomorfismo.

Corolario I.4.

Sea $f\colon X\to Y$ una aplicacion biyectiva y continua, y supongamos que $X$ es compacto. Entonces $f$ es un homeomorfismo.

Definición I.22.

Sean $X$ e $Y$ espacios metricos, y sea $f\colon X\to Y$ . Se dice que $f$ es uniformemente continua en $A\subseteq X$ si para todo $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $x,y\in A$ y $d(x,y)<\delta$ entonces $d(f(x),f(y))<\epsilon$ .

Observación I.5.

La diferencia con la definicion de continuidad es que aqui el $\delta$ no depende de cada punto $x$ o $y$ , sino solamente de $\epsilon$ .

Ejemplo I.16.

La funcion $g\colon(0,1)\to\mathbb{R}$ definida por $g(x)=\frac{1}{x}$ es continua, pero no uniformemente continua.

Sea $\epsilon=1$ . Si $g(x)$ fuera uniformemente continua, tengo que encontrar un $\delta$ tal que la desigualdad se cumpla para cualesquiera $x$ e $y$ . Supongamos que existe un $\delta$ tal que para cualquier $x$ e $y$ si $\left|x-y\right|<\delta$ entonces $\left|g(x)-g(y)\right|<1$ .

Consideramos $x=\frac{1}{n}$ e $y=\frac{1}{n+2}$ . Entonces $\exists n_{0}$ tq $\forall n>n_{0}\mathchar 46\relax\mathchar 46\relax\frac{1}{n+2}<\delta$ . Por tanto, $\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right|<\delta$ y ademas $\left|g(\frac{1}{n})-g(\frac{1}{n+2})\right|=2>1$ . Esto es una contradiccion.

Proposición I.21.

Una aplicacion $f\colon X\to Y$ es uniformemente continua si y solo si para cada par de sucesiones $(x_{n})$ , $(y_{n})\subseteq X$ con $d(x_{n},y_{n})\to 0$ se tiene que $d(f(x_{n}),f(y_{n}))\to 0$ .

Ejemplo I.17.

La funcion $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^{2}$ no es uniformemente continua.

Consideramos $x_{n}=n$ y $y_{n}=n+\frac{1}{n}$ . Tenemos que $\left|x_{n}-y_{n}\right|=\frac{1}{n}\to 0$ . Por otro lado, $\left|f(n)-f(n+\frac{1}{n})\right|=\left|n^{2}-n^{2}-2-\frac{1}{n^{2}}\right|=% 2+\frac{1}{n^{2}}\to 2$ .

Teorema I.9.

Sea $f\colon X\to Y$ continua, y supongamos que $X$ es compacto. Entonces $f$ es uniformemente continua en $X$ .

Definición I.23.

Sea $f\colon X\to Y$ una aplicacion entre dos espacios metricos. Se dice que $f$ es Lipschitz si existe $L\geq 0$ tal que

d(f(x),f(y))\leq L\cdot d(x,y)

Esto se cumple si existe $L\geq 0$ tal que $\left|f(x)-f(y)\right|\leq L\left|x-y\right|$ .

Proposición I.22.

Si $f$ es Lipschitz, entonces es uniformemente continua

Demostración.

Si $f$ es Lipschitz, entonces $\left\lVert f(x)-f(y)\right\rVert\leq L\left\lVert x-y\right\rVert\;\forall x,% y\in X$ .

Tomando $\delta=\frac{\epsilon}{L}$ , se tiene que si $\left\lVert x-y\right\rVert<\delta$ , $\left\lVert f(x)-f(y)\right\rVert\leq L\left\lVert x-y\right\rVert<L\frac{% \epsilon}{L}=\epsilon$ . ∎

Observación I.6.

La otra implicacion no se cumple. Por ejemplo, $f(x)=\sqrt{x}$ definida en $[0,1]$ es uniformemente continua ( $[0,1]$ compacto). Supongamos que existe $L\geq 0$ tal que $\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|\leq L\cdot\left|x-y\right|$ y consideramos $x=0$ y $y=\frac{1}{n^{2}}$ . Entonces nos queda $\frac{1}{n}\leq L\cdot\frac{1}{n^{2}}\Rightarrow n\leq L$ . Por tanto, estamos ante una contradiccion y $L$ no existe.

Ejemplo I.18.

Probar que $\sqrt{x}$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}$ .

\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|=\frac{\left|x-y\right|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}<% \frac{1}{2}\sqrt{x-y}<\frac{1}{2}\delta

Si $\delta=2\epsilon$ , $\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|<\epsilon$ .

Proposición I.23.

Si $f$ es derivable y tiene derivada acotada, entonces $f$ es Lipschitz.

Demostración.

Sea $[x,y]$ , $x,y\in\mathbb{R}$ . Si $f$ es derivable, entonces tambien es continua y podemos aplicar el teorema del valor medio $\Rightarrow\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f^{\prime}(c)$ para $c\in[x,y]$ . Por tanto,

\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|=\left|f^{\prime}(c)\right|\overset{\text{% acot.}}{\leq}M\Rightarrow\left|f(x)-f(y)\right|\leq M\left|x-y\right|

∎

Ejemplo I.19.

El reciproco no se cumple. Por ejemplo, $f(x)=\left|x\right|$ es de Lipschitz. Tomando, $L=1$ , $\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\leq\left|x-y\right|$ . Sin embargo, $f$ no es derivable en $\mathbb{R}$ .

Observación I.7.

Si $f$ es derivable pero no tiene derivada acotada, no implica que sea Lipschitz.

Proposición I.24.

Si $f$ es Lipschitz y es derivable, entonces tiene derivada acotada.

Demostración.

Hacer (por la definicion de derivada). ∎

Proposición I.25.

Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales normados, y sea $T\colon E\to F$ una aplicacion lineal. Son equivalentes:

$T$ es continua
$T$ es continua en $0$
Existe $M\geq 0$ tal que $\left\lVert T(x)\right\rVert\leq M\left\lVert x\right\rVert$ para todo $x\in E$
$\sup\left\{\left\lVert T(x)\right\rVert\colon x\in E,\left\lVert x\right\rVert% \leq 1\right\}<+\infty$
$T$ es Lipschitz

Proposición I.26.

Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales normados, y supongamos que $dim(E)<\infty$ . Entonces toda aplicacion lineal $T\colon E\to F$ es continua (y por tanto, Lipschitz).