2 Espacios normados y espacios metricos ‣ Part I Estructura euclidea y topología de ℝ^𝑛 ‣ Análisis Vectorial I

Definition 2.1.

Sea $X$ un espacio vectorial real. Una norma sobre $X$ es una aplicacion $\left\lVert\right\rVert\colon X\to\mathbb{R}^{+}_{o}$ que verifica las siguientes propiedades:

1.

$\left\lVert x\right\rVert\iff x=0$ .
2.

Homogeneidad. $\left\lVert\lambda x\right\rVert=\left|\lambda\right|\left\lVert x\right\rVert$ para todo $\lambda\in\mathbb{R}$ y todo $x\in X$ .
3.

Desigualdad triangular. $\left\lVert x+y\right\rVert\leq\left\lVert x\right\rVert+\left\lVert y\right\rVert$ para todos $x,y\in X$ .

El par ordenado $(X,\left\lVert\right\rVert)$ se llama espacio normado.

Example 2.2.

En $\mathbb{R}^{n}$ suelen considerarse, ademas de la norma euclidea, la norma de la suma, $\left\lVert\right\rVert_{1}$ , y la norma del maximo, $\left\lVert\right\rVert_{\infty}$ , definidas para todo $x\in\mathbb{R}^{n}$ por:

\left\lVert x\right\rVert_{1}=\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|

\left\lVert x\right\rVert_{\infty}=\max\left\{\left|x_{k}\right|\colon 1\leq k% \leq n\right\}

que cumplen las propiedades establecidas anteriormente.

Definition 2.3.

Sea $E$ un conjunto cualquiera no vacio. Una distancia en $E$ es una aplicacion $\mathrm{d}\colon E\times E\to\mathbb{R}^{+}_{o}$ que verifica las siguientes propiedades:

1.

$\mathrm{d}(x,y)=0\iff x=y$ .
2.

Simetria: $\mathrm{d}(x,y)=\mathrm{d}(y,x)\;\forall x,y\in E$ .
3.

Desigualdad triangular: $\mathrm{d}(x,y)\leq\mathrm{d}(x,z)+\mathrm{d}(z,y)\;\forall x,y,z\in E$ .

El par ordenado $(E,\mathrm{d})$ se llama espacio metrico. Los elementos de un espacio metrico suelen llamarse puntos de dicho espacio metrico.