7 La Topología Cofinita

Definición I.5.

Sea $X$ un conjunto no vacío. Una topología $T$ sobre $X$ es llamada topología cofinita si los conjuntos cerrados de $X$ son $X$ y todos los subconjuntos finitos de $X$ ; es decir, los conjuntos abiertos son $\varnothing$ y todos los subconjuntos de $X$ que tienen complemento finito.

Es decir, $T=\left\{X,\varnothing\right\}\cup\left\{A\subset X\mid X\setminus A\text{ es % finito}\right\}$ .

Ejemplo I.6.

Sea $T$ la topología cofinita sobre un conjunto $X$ . Si $X$ tiene al menos $3$ subconjuntos distintos que son abiertos y cerrados, demuestre que $X$ es un conjunto finito.

Demostración.

En el libro. ∎

Ejemplo I.7.

Sea $(Y,T)$ un espacio topológico y $X$ un conjunto no vacío. Además, sea $f$ una función de $X$ en $Y$ . Ponga $T_{1}=\left\{f^{-1}(S)\colon S\in T\right\}$ . Demuestre que $T_{1}$ es una topología sobre $X$ .

En primer lugar, si tenemos que $f\colon X\to Y$ todos los elementos de $X$ tienen que tener al menos una imagen. Por tanto, como $Y\in T$ ( $T$ es topología), $f^{-1}(Y)\in T_{1}$ y $f^{-1}(Y)=X$ . Además, $f^{-1}(\varnothing)=\varnothing$ ( $\supset$ evidente, $\subset$ razonamos por RA: si $f^{-1}(\varnothing)\neq\varnothing\;\exists y\in f^{-1}(\varnothing)% \Rightarrow f(y)\in\varnothing\Rightarrow$ contradicción).

Por otro lado, $\forall\left\{U^{\prime}_{i}\right\}_{i\in I}$ familia de subconjuntos de $T_{1}$ . $\cup_{i\in I}U^{\prime}_{i}\in T_{1}$ ? $\forall i\in I\;U^{\prime}_{i}\in T_{1}\Rightarrow\forall i\in I\;\exists U_{i% }\in T$ tal que $U^{\prime}_{i}=f^{-1}(U_{i})$ . Luego $\cup_{i\in I}U^{\prime}_{i}=\cup_{i\in I}f^{-1}(U_{i})=f^{-1}(\cup_{i\in I}U_{% i})$ . Ahora bien, sabemos que $\forall i\in I\;U_{i}\in T$ y $T$ es topología, luego $\cup_{i\in I}U_{i}\in T\Rightarrow\cup_{i\in I}U^{\prime}_{i}=f^{-1}(\cup_{i% \in I}U_{i})\in T_{1}$ .

Nos falta ver que $\forall U^{\prime}_{1},U^{\prime}_{2}\in T_{1}$ se cumple que $U^{\prime}_{1}\cap U^{\prime}_{2}\in T_{1}$ . Sean $U^{\prime}_{1},U^{\prime}_{2}\in T_{1}\Rightarrow\exists U_{1},U_{2}\in T$ tal que $U^{\prime}_{1}=f^{-1}(U_{1})\wedge U^{\prime}_{2}=f^{-1}(U_{2})$ . Entonces $U^{\prime}_{1}\cap U^{\prime}_{2}=f^{-1}(U_{1})\cap f^{-1}(U_{2})=f^{-1}(U_{1}% \cap U_{2})$ . Como sabemos que $U_{1},U_{2}\in T$ y $T$ es topología, $U_{1}\cap U_{2}\in T\Rightarrow f^{-1}(U_{1}\cap U_{2})\in T_{1}$ .

Ejemplo I.8.

$A=\left\{0,1,2\right\}$ . Consideremos $T=\left\{A,\varnothing,\left\{0,1\right\},\left\{2\right\}\right\}$ y la función $f\colon\mathbb{N}\to(A,T),n\mapsto f(n)=\begin{cases}0\text{ si }n=3k\\ 1\text{ si }n=3k-1\\ 2\text{ si }n=3k-2\end{cases}$ .

Sea $(\mathbb{N},T_{f})$ donde $T_{f}=\left\{f^{-1}(U)\mid U\in T\right\}$ . Se tiene que $T_{f}=\left\{\mathbb{N},\varnothing,\left\{n\in\mathbb{N}\mid\exists k\in% \mathbb{N}\mathchar 46\relax\mathchar 46\relax n=3k\right\}\cup\left\{\mathbb{% N}\in\mathbb{N}\mid\exists k\in\mathbb{N}\mid 3k-1\right\}\right\}$ … (terminar)

Definición I.6.

$(X,T)$ es $T_{1}$ si $\forall x\in X\;\left\{x\right\}\in\mathcal{{C}}_{T}$ .

Ejemplo I.9.

Por ejemplo, la topología discreta y la topología cofinita son $T_{1}$ .

Proposición I.3.

Sea $(X,T)$ espacio topológico. Se verifica que:

{}(X,T)\text{ es }T_{1}\iff\\ {}\iff\forall x,y\in X\;x\neq y\;[(\exists U^{y}\in T\text{ tq }y\in U^{y}% \wedge x\notin U^{y})\wedge(\exists U^{x}\in T\text{ tq }x\in U^{x}\wedge y% \notin U^{x})]\mathchar 46\relax

Demostración.

$\Rightarrow)$: Sean $x,y\in X$ $x\neq y$ . Por hipótesis, $\left\{x\right\}\in\mathcal{{C}}_{T}$ , luego $X\setminus\left\{x\right\}\in T$ y $\left\{y\right\}\in\mathcal{{C}}_{T}\Rightarrow X\setminus\left\{y\right\}\in T$ . Se tiene que si $U^{y}=X\setminus\left\{x\right\}$ y $U^{x}=X\setminus\left\{y\right\}$ , $x\in U^{x}$ y $x\notin U^{y}$ e $y\in U^{y}$ e $y\notin U^{x}$ .
$\Leftarrow)$: Sea $x\in X$ . Dado $y\in X\setminus\left\{x\right\}$ , $y\neq x$ . Además, $\exists U^{y}\in T$ tal que $y\in U^{y}\wedge x\notin U^{y}$ . Entonces $\cup_{y\neq x}U^{y}$ es abierto por ser unión de abiertos. Esto implica que $\left\{x\right\}$ es cerrado.

∎

Proposición I.4.

Sea $(X,T)$ espacio topológico. Se verifica que:

{}(X,T)\text{ es }T_{0}\iff\\ {}\iff\forall x,y\in X\;x\neq y\;[(\exists U^{y}\in T\text{ tq }y\in U^{y}% \wedge x\notin U^{y})\vee(\exists U^{x}\in T\text{ tq }x\in U^{x}\wedge y% \notin U^{x})]\mathchar 46\relax