6 Conjuntos abiertos, conjuntos cerrados y abiertos y cerrados

Definición I.3 (Conjunto abierto).

Sea (X,T)(X,T) cualquier espacio topológico. Entonces los miembros de TT son llamados conjuntos abiertos.

Definición I.4 (Conjunto cerrado).

Sea (X,T)(X,T) un espacio topológico y A⊂XA\subset X. Se dice que AA es cerrado (en (X,T)(X,T)) si (X∖A)∈T(X\setminus A)\in T.

Ejemplo I.4.

Sea X={a,b,c,d}X=\left\{a,b,c,d\right\} y T={∅,X,{a,b,c},{a}}T=\left\{\varnothing,X,\left\{a,b,c\right\},\left\{a\right\}\right\} una topología. Se tiene que {a}∈T\left\{a\right\}\in T, por lo que es abierto. Por otro lado, {d}∈𝒞︀T\left\{d\right\}\in\mathcal{{C}}_{T} (porque X∖{d}={a,b,c}∈TX\setminus\left\{d\right\}=\left\{a,b,c\right\}\in T). Los conjuntos ∅\varnothing y XX son abiertos y cerrados a la vez. Por último, un ejemplo de conjunto ni abierto ni cerrado es {a,d}⊂X\left\{a,d\right\}\subset X.

Ejemplo I.5.

Sea X={a,b,c,d}X=\left\{a,b,c,d\right\} y T={∅,X,{a,b},{c,d}}T=\left\{\varnothing,X,\left\{a,b\right\},\left\{c,d\right\}\right\} topología. Se cumple que {a,b},∅,X,{c,d}∈T∩𝒞︀T\left\{a,b\right\},\varnothing,X,\left\{c,d\right\}\in T\cap\mathcal{{C}}_{T}.

Proposición I.2.

Si (X,T)(X,T) es un espacio topológico, entonces

  1. 1.
    ​

    ∅\varnothing y XX son conjuntos cerrados

  2. 2.
    ​

    la intersección de cualquier número (finito o infinito) de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado

  3. 3.
    ​

    la unión de cualquier número finito de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Demostración.

Se sigue de las leyes de De Morgan. ∎