5 Topología

Definición I.1.

Sea $X$ un conjunto no vacío. Una colección $\tau$ de subconjuntos de $X$ se dice que es una topología sobre $X$ si

1.

$X$ y el conjunto vacío, $\varnothing$ , pertenecen a $\tau$ ,
2.

la unión de cualquier número (finito o infinito) de conjuntos en $\tau$ pertenece a $\tau$ , y
3.

la intersección de dos conjuntos cualesquiera de $\tau$ pertenece a $\tau$ .

El par $(X,\tau)$ se denomina espacio topológico.

Si $q\in\tau$ , diremos que $q$ es un conjunto abierto del espacio topológico $(X,\tau)$ .

Ejemplo I.1.

Sea $X=\left\{a,b,c,d\right\}$ . Consideramos $\tau=\left\{\emptyset,X,\left\{a,b\right\},\left\{c,d\right\},\left\{a\right\}% ,\left\{a,c,d\right\}\right\}$ . Entonces se tiene que $\tau$ es una topología sobre $X$ .

Observación I.1.

Un conjunto de un único elemento se denomina singleton. Además, es trivial que dado un conjunto $A$ se tiene que $\cup_{x\in A}\left\{x\right\}=A$ , es decir, $A$ es la unión de todos los singleton pertenecientes a $A$ .

Ejemplo I.2.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los números naturales y $\tau=\left\{\mathbb{N},\varnothing\right\}\cup\left\{A\subset\mathbb{N}\mid A% \text{ es finito}\right\}$ .

Si consideramos $\cup_{n\in\mathbb{N}}\left\{2n\right\}$ , este conjunto no pertenece a $\tau$ por ser infinito. Por tanto, $\tau$ no es una topología.

Definición I.2.

Sean $X$ cualquier conjunto no vacío y $\tau$ la colección de todos los subconjuntos de $X$ ( $\tau=\mathcal{{P}}(X)$ ). Entonces $\tau$ es llamada la topología discreta sobre el conjunto $X$ . El espacio topológico $(X,\tau)$ se llama espacio discreto.

Por otro lado, si consideramos $\tau=\left\{\varnothing,X\right\}$ , $\tau$ también es una topología y la llamamos topología trivial. A $(X,\tau)$ se le llama espacio trivial.

Proposición I.1.

Sea $X\neq 0$ , $T\subset\mathcal{{P}}(X)$ topologia sobre $X$ . Se cumple que

T=T_{disc}=\mathcal{{P}}(X)\iff\forall x\in X\;\left\{x\right\}\in T

Demostración.

$\Rightarrow)$: Supongamos que $T=T_{disc}=\mathcal{{P}}(X)$ . Sea $x\in X\Rightarrow\left\{x\right\}\subset X\Rightarrow\left\{x\right\}\in% \mathcal{{P}}(X)=T_{disc}$ .
$\Leftarrow)$: Sabemos que $T\subset\mathcal{{P}}(X)=T_{disc}$ y nos falta ver que $T\supset\mathcal{{P}}(X)$ . Sea $A\in\mathcal{{P}}(X)=T_{disc}$ , entonces se puede expresar como $A=\cup_{x\in A}\left\{x\right\}$ y como $\forall x\in A\;\left\{x\right\}\in T\Rightarrow A=\cup_{x\in A}\left\{x\right% \}\in T$ .

∎

Ejemplo I.3.

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de todos los números reales. Demuestre que cada una de las siguientes colecciones de subconjuntos de $\mathbb{R}$ es una topología.

1.

$T_{1}=\left\{\varnothing,\mathbb{R}\right\}\cup\left\{(-n,n)\mid n\in\mathbb{Z% }^{+}\right\}$ .
Sea $\left\{A_{i}\right\}_{i\in I}$ familia de subconjuntos de $T_{1}$ , $\cup_{i\in I}A_{i}\in T_{1}$ pertenece a la topología, puesto que si es finita entonces es el $A_{i}$ “más grande”, y si es infinita el resultado es $\mathbb{R}$ , que también pertenece. Las posibilidades son:
- $\exists i\in I$ tal que $A_{i}=X\Rightarrow\cup_{i\in I}A_{i}=X\in T$
- $\forall i\in I,A_{i}\neq X$ .
  - •
    
    $\left\{(i,j)\in I\times I\mid A_{i}\neq A_{j}\text{ es infinito}\right\}$ . Entonces $\cup_{n\in\mathbb{N}}(-n,n)=\mathbb{R}\in T$
  - •
    
    $\left\{(i,j)\in I\times I\mid A_{i}\neq A_{j}\text{ es finito}\right\}$ . Sea $n_{0}=\mathop{\operator@font m\acute{a}x}\left\{m\in\mathbb{N}\mid\exists i\in I% \;A_{i}=(-m,m)\right\}$ . Entonces $\cup_{n\in\mathbb{N}}(-n,n)=(-n_{0},n_{0})\in T$ .
Por otro lado, $\cap_{i\in I}A_{i}\in T_{1}$ ya que $\forall A_{1},A_{2}\;A_{1}\cap A_{2}=(-\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}% }n}\left\{n,m\right\},\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\left\{n,m% \right\})\in T_{1}$ . Si $u_{1}$ o $u_{2}=\varnothing$ , $u_{1}\cap u_{2}=\varnothing$ . Si $u_{1}=X$ , $u_{1}\cap u_{2}=X\in T_{1}$ y si $u_{2}=X,u_{1}\cap u_{2}=X\in T_{1}$ .