2 La axiomática de Zermelo-Fraenkel

En 1903, Bertrand Russell propuso el ejemplo de conjunto $A=\left\{x\mid x\notin x\right\}$ junto con la pregunta ¿$A\in A$?

Si $A\in A$, a partir de la definición de $A$ llegamos a la conclusión de que $A\notin A$. Si, por el contrario, $A\notin A$, resulta que $A$ satisface la condición que caracteriza a los elementos de $A$, por lo que $A\in A$.

Este ejemplo puso en crisis la recién creada teoría de conjuntos. La conclusión fue que no toda propiedad determina un conjunto, por lo que fue necesario limitar la clase de propiedades que definen conjuntos con el método axiomático.

La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel toma como primitivos los conceptos de conjunto y de pertenencia y cada axioma (a excepción del primero) es una regla de construcción de conjuntos, con lo que únicamente son conjuntos aquellos que son construibles mediante la aplicación de estas reglas. Para indicar que $x$ es un elemento del conjunto $A$ escribiremos $x\in A$, y para indicar que $x$ no es un elemento de $A$ escribiremos $x\notin A$. Por otra parte, si $A$ y $B$ son conjuntos tales que todos los elementos del conjunto $A$ son también elementos del conjunto $B$ escribiremos $A\subset B$ y diremos que $A$ es un subconjunto de $B$.

La axiomática de Zermelo-Fraenkel consta de diez axiomas, de los cuales los seis primeros son:

1. 1.
   ​

   Axioma de extensión. Dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales si y solo si $A\subset B$ y $B\subset A$.

2. 2.
   ​

   Axioma de existencia. $\varnothing$ es un conjunto.

3. 3.
   ​

   Axioma de especificación. Para todo conjunto $A$ y todo predicado $P(x)$ existe un conjunto $B$ cuyos elementos son los elementos de $A$ que satisfacen la propiedad $P(x)$.

   En otras palabras, una propiedad por sí sola no define un conjunto, pero permite crear un nuevo conjunto seleccionando los elementos de un conjunto existente que satisfacen dicha propiedad. Para no incurrir en contradicción con el axioma de especificación, es necesario asumir la no existencia del conjunto universal o conjunto de todos los conjuntos. Al no existir el conjunto universal, tampoco es admisible el concepto de complementario de un conjunto, aunque sí se puede considerar la diferencia de dos conjuntos. Si $A$ y $B$ son dos conjuntos, se define la diferencia de $A$ y $B$ como $A-B=\left\{x\in A\mid x\notin B\right\}$

4. 4.
   ​

   Axioma del par. Si $A$ y $B$ son conjuntos, entonces $\left\{A,B\right\}$ es un conjunto. A partir de este axioma, si $A$ es un conjunto $\left\{A,A\right\}$ también lo es. Aplicando la igualdad de conjuntos, $\left\{A,A\right\}=\left\{A\right\}$. A partir de este axioma, el número de conjuntos se hace ilimitado.

5. 5.
   ​

   Axioma de la unión. Para toda colección de conjuntos $\mathcal{{A}}$ existe un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a algún conjunto de la colección $\mathcal{{A}}$. A este conjunto se le denota por $\cup\mathcal{{A}}$. Así pues, si $\mathcal{{A}}$ es cualquier colección de conjuntos,

   $$\cup\mathcal{{A}}=\left\{x\mid\exists A\in\mathcal{{A}}..x\in A\right\}$$
6. 6.
   ​

   Axioma de la potencia. Si $A$ es un conjunto, existe un conjunto cuyos elementos son exactamente los subconjuntos de $A$. A dicho conjunto se le denomina partes de $A$ y se le denota por $P(A)$.

La teoría estándar de conjuntos se obtiene añadiendo a los axiomas anteriores el axioma de infinitud, el axioma de elección, el axioma de sustitución y el axioma de regularidad. El axioma de elección nos permite asegurar que el producto cartesiano de una familia no vacía de conjuntos no vacíos es no vacío, y el axioma de infinitud nos permite construir el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$. Partiendo de $\mathbb{N}$, es posible construir los conjuntos $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$.