1 Modelos matemáticos

Utilizando el lenguaje de las matemáticas es posible construir modelos matemáticos que permiten describir matemáticamente un fenómeno concreto o proceso del mundo real. La utilidad de los modelos reside en la simplificación realizada, que permite analizar con claridad aspectos y relaciones que se presentan, la facilidad para hacer deducciones dentro del modelo y su capacidad predictiva.

Ejemplos de objetos matemáticos son los polinomios, las matrices, los números reales o los determinantes. Ejemplos de sentencias referidas a objetos matemáticos son “Si $x$ es un número real, necesariamente $x^{2}>0$” o “el determinante de cualquier matriz cuadrada invertible es distinto de cero”. En general, a partir de una colección inicial de “verdades” asumidas desde el principio como punto de partida (axiomas) se van obteniendo, mediante reglas correctas de deducción, nuevas sentencias verdaderas (teoremas).

Los axiomas se formulan a partir de las propiedades de los objetos o eventos del mundo real que estamos representando, o incluso a partir de las propiedades que nosotros entendemos que deberían tener. En todo caso, los axiomas deben ser:

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  compatibles: no debe poderse deducir lógicamente a partir de ellos que una sentencia es simultáneamente verdadera y falsa,

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  independientes: ningún axioma se debe poder demostrar a partir del resto, y

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  suficientes para la descripción del fenómeno o proceso a modelar considerado

Una vez establecidos los axiomas o propiedades básicas de cada área matemática, el resto de propiedades verdaderas o teoremas se obtienen mediante demostraciones a partir de los propios axiomas u otros teoremas previamente demostrados. Un lema es un teorema más simple que se emplea para demostrar otro más complejo. Un corolario es un teorema que es consecuencia directa de otro teorema previo. El término proposición es sinónimo del término teorema. Se suele preferir la palabra teorema para los resultados más relevantes y proposición para los resultados más secundarios. En las siguientes secciones abordaremos el estudio de la noción de conjunto a partir de la axiomática de Zermelo-Fraenkel.