4 Equipotencia y cardinalidad de conjuntos

Se dice que dos conjuntos $A$ y $B$ son equipotentes, si existe una función biyectiva $f\colon A\to B$ . En ese caso se dice que $A$ y $B$ tienen el mismo cardinal. Se dice que un conjunto $A$ es finito si $\exists n\in\mathbb{N}$ tal que $A$ es equipotente a $\left\{1,\ldots,n\right\}$ . Si $A$ y $B$ son conjuntos equipotentes a $\left\{1,\ldots,n\right\}$ también son equipotentes entre sí. Se dice entonces que $A$ y $B$ tienen $n$ elementos, o también que $A=n=B$ . Un conjunto es infinito si no es finito.

Se dice que $A$ es numerable si es equipotente a $\mathbb{N}$ ( $\mathbb{N}$ tiene cardinal $\aleph_{0}$ ), y se dice que es contable si es finito o numerable (podemos poner todos sus elementos en una fila sin dejarnos ninguno).

Una característica de los conjuntos infinitos es que son equipotentes a un subconjunto propio ( $A$ es subconjunto propio de $B$ si $A\subset B$ pero $A\neq B$ ) de sí mismo.

Ejemplo .4.

Sea el conjunto $\mathbb{N}$ y $\mathbb{P}=2\mathbb{N}$ subconjunto de $\mathbb{N}$ . Podemos definir

\displaystyle f\colon\mathbb{N}

\displaystyle{}\longrightarrow 2\mathbb{N}

\displaystyle n

\displaystyle{}\longmapsto f(n)=2n

que es biyectiva, por lo que $\left|\mathbb{N}\right|=\left|\mathbb{P}\right|$ y son equipotentes.

Por otro lado, un conjunto $A$ es de potencia o de cardinal menor o igual que $B$ si existe una aplicación inyectiva $f\colon A\to B$ , circunstancia que se representa por $card(A)\leq card(B)$ (o $A\leq B$ ).

Teorema .1 (de Cantor-Bernstein).

Si $A$ y $B$ son conjuntos tales que $card(A)\leq card(B)$ y $card(B)\leq card(A)$ , entonces $A$ y $B$ son equipotentes y, en consecuencia, $card(A)=card(B)$ .

Algunas propiedades que se obtienen son:

1.

Si $X$ es contable, y $A\subset X$ , entonces $A$ es contable.
2.

Si $A$ no es contable, y $A\subset X$ , entonces $X$ no es contable.
3.

Si $X$ es infinito, entonces $\exists A\subset X$ tal que $A$ es numerable y propio.

Ejemplo .5.

El conjunto $\mathbb{Z}$ es numerable, puesto que la función $f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ definida por

f(n)=\begin{cases}\frac{n}{2}\text{ si }n=2p\\ \frac{1-n}{2}\text{ si }n=2p+1\end{cases}

es biyectiva. Por tanto $card(\mathbb{Z})=\aleph_{0}$ .

Por otra parte, el conjunto $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ también es numerable, puesto que la función

\displaystyle f\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{N}

\displaystyle(n,m)

\displaystyle{}\longmapsto f(n,m)=2^{n}3^{m}

es inyectiva, puesto que si $2^{n}3^{m}=2^{p}3^{q}$ necesariamente $n=p$ y $m=q$ (por el teorema de descomposición en factores primos), con lo que $card(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\leq card(\mathbb{N})$ . Por otra parte la función

\displaystyle g\colon\mathbb{N}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{N}\times\mathbb{N}

\displaystyle n

\displaystyle{}\longmapsto g(n)=(1,n)

que es inyectiva y $card(\mathbb{N})\leq card(\mathbb{N}\times\mathbb{N})$ . Luego por el teorema de Cantor-Bernstein $card(\mathbb{N})=card(\mathbb{N}\times\mathbb{N})=\aleph_{0}$ .

A partir de este punto, es fácil comprobar que, por ejemplo, $\mathbb{Q}=\left\{x\in\mathbb{R}\mid\exists p,q\in\mathbb{Z},q\neq 0\mathchar 4% 6\relax\mathchar 46\relax x=\frac{p}{q}\right\}$ es numerable.

Proposición .1.

Si $\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una sucesión de conjuntos numerables, entonces el conjunto $\mathcal{{A}}=\cup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}$ también es numerable.

Demostración.

Teniendo en cuenta que $\forall n\in\mathbb{N}$ $A_{n}$ es numerable, podemos imaginar sus elementos colocados en una sucesión $\left\{a_{n1},a_{n2},\ldots,a_{nk},\ldots\right\}$ . Ahora bien, la función $f\colon\mathcal{{A}}\to\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ definida por $f(a_{nk})=(n,k)$ es inyectiva, y como $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ es numerable, obtenemos que $\mathcal{{A}}$ también lo es. ∎

Proposición .2.

El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ no es numerable.

Demostración.

Vamos a comprobar que el conjunto de los números reales entre $0$ y $1$ no es numerable. Por reducción al absurdo, si $(0,1)$ fuese numerable, podríamos disponer todos los números de dicho intervalo en una sucesión $\left\{x_{1},\ldots,x_{n},\ldots\right\}$ . Por otra parte, considerando sus desarrollos decimales $\forall n\in\mathbb{N}$ $x_{n}=0,a_{n1}a_{n2}a_{n3}\ldots$ , donde $\forall n,k\in\mathbb{N}\;a_{nk}\in\left\{0,\ldots,9\right\}$ . Consideremos el siguiente número $b=0,b_{1}b_{2}b_{3}\ldots$ donde

b_{m}=\begin{cases}0\text{ si }a_{mm}=1\\ 1\text{ si }a_{mm}\neq 1\end{cases}

Evidentemente $b\in(0,1)$ . Pero esto es una contradicción, puesto que $b$ no aparece en la sucesión $\left\{x_{1},\ldots,x_{n},\ldots\right\}$ ya que difiere de $x_{1}$ en la primera cifra decimal, de $x_{2}$ en la segunda cifra decimal, etc. ∎

El cardinal de $\mathbb{R}$ es $card(\mathbb{R})=\aleph_{1}=2^{\aleph_{0}}$ .