Parte II Espacios con producto escalar

Recordar que una forma bilineal simétrica o sesquilineal hermítica es definida positiva si $F(v,v)>0\;\forall 0\neq v\in V$ (equivalentemente, $rgF=sigF=\dim V$ ).

Definición II.1 (Producto escalar).

Llamamos producto escalar definido en un e.v. $V$ a una forma bilineal simétrica o sesquilineal hermítica que sea definida positiva.

En el caso de que el cuerpo sea $\mathbb{R}$ y que la forma sea bilineal simétrica definida positiva, al espacio vectorial $V$ se le llama espacio euclídeo.

Cuando tratemos con productos escalares, en vez de denotarlos como $F\colon V\times V\to K,(v,w)\mapsto F(v,w)$ , usamos la notacion

\displaystyle\langle,\rangle\colon V\times V

\displaystyle{}\longrightarrow K

\displaystyle(v,w)

\displaystyle{}\longmapsto\langle,\rangle((v,w))=\langle v,w\rangle

Como $\langle,\rangle$ es definido positivo, $\langle v,v\rangle\geq 0$ y $\langle v,v\rangle>0$ si $v\neq 0$ .

Definición II.2.

La norma (o modulo) de un vector $v\in V$ como $\left\lVert v\right\rVert=+\sqrt{\langle v,v\rangle}$ .

Ejemplo II.1.

1.
$V=K^{n}$ , donde $K=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ , el producto escalar estandar es
- Si $K=\mathbb{R}$ ,
  
  $\displaystyle\langle,\rangle\colon\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}$
  
  $\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}$
  
  $\displaystyle((x_{1},\ldots,x_{n}),(y_{1},\ldots,y_{n}))$
  
  $\displaystyle{}\longmapsto\begin{pmatrix}x_{1}&\ldots&x_{n}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}$
  
  y la norma de un vector es
  
  $\left\lVert(x_{1},\ldots,x_{n})\right\rVert=\sqrt{x^{2}_{1}+\cdots+x^{2}_{n}}$
- Si $K=\mathbb{C}$ ,
  
  $\displaystyle\langle,\rangle\colon\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}$
  
  $\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}$
  
  $\displaystyle((x_{1},\ldots,x_{n}),(y_{1},\ldots,y_{n}))$
  
  $\displaystyle{}\longmapsto\begin{pmatrix}\overline{x_{1}}&\ldots&\overline{x_{% n}}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}$
  
  y la norma de un vector es
  
  $\left\lVert(x_{1},\ldots,x_{n})\right\rVert=\sqrt{\overline{x_{1}}x_{1}+\cdots% +\overline{x_{n}}x_{n}}$
En ambos casos, $M(\langle,\rangle,BC)=I$ y es definida positiva.
2.

$V=\mathbb{R}_{2}[x]$ y se define $\langle p(x),q(x)\rangle=\int^{1}_{0}p(x)q(x)\;\mathrm{d}x$ , que es un producto escalar.

Una forma de ver que es definida positiva es comprobar directamente que $\int^{1}_{0}(p(x))^{2}\geq 0$ y que vale $0\iff p(x)\equiv 0$ . Otra es hallar la matriz y diagonalizarla, viendo el numero de 1’s en la diagonal.

Para cada $p(x)\in\mathbb{R}_{2}[x]$ , $\left\lVert p(x)\right\rVert=\sqrt{\int^{1}_{0}(p(x))^{2}\;\mathrm{d}x}$ .

Definición II.3 (Base ortonormal).

Si $V$ es un e.v. con producto escalar $\langle,\rangle$ , decimos que una base de $V$ es base ortonormal (BON) si cumple

$\langle v_{1},v_{j}\rangle=0\;\forall i\neq j$ .
$\left\lVert v_{i}\right\rVert=1\;\forall i$ .

Observación II.1.

Delta de Kronecker:

\langle v_{i},v_{j}\rangle=\delta_{ij}=\begin{cases}1\text{ si }i=j\\ 0\text{ si }i\neq j\end{cases}

Observación II.2.

Si $BON=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ es una base ortonormal, la matriz de mi producto escalar respecto de BON es:

M(\langle,\rangle,BON)=\begin{pmatrix}1&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&1\\ \end{pmatrix}=I

Sean $BON_{1}$ y $BON_{2}$ dos bases ortonormales. Sabemos que $M(\langle,\rangle,BON_{1})=I$ y $M(\langle,\rangle,BON_{2})=I$ .

Para $K=\mathbb{R}$ , si llamamos $P=M(id,BON_{2},BON_{1})$ , se cumple $P^{t}AP=B$ , es decir, $P^{t}IP=I$ . Por tanto, $P^{t}\cdot P=I$ y $P^{-1}=P^{t}$ .

Si $K=\mathbb{C}$ , entonces $\overline{P}^{t}AP=B$ , es decir, $P^{-1}=\overline{P}^{t}$ .

Definición II.4.

Decimos que una matriz $P$ es ortogonal si $P^{-1}=P^{t}$ .

Decimos que una matriz $P$ es ortogonal hermitica si $P^{-1}=\overline{P}^{t}$ .

Otra ventaja de las bases ortonormales es que las coordenadas de un vector $v$ respecto de dicha base se calculan “muy facil”.

Sea $BON=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ y sea $v\in V$ , con $v=x_{1}v_{1}+\cdots+x_{n}v_{n}$ . Para cada $i$ , $\langle v_{i},v\rangle=\langle v_{i},x_{1}v_{1}+\cdots+x_{n}v_{n}\rangle=% \langle v_{i},x_{i}v_{i}\rangle=x_{i}$ . Luego, $(x_{1},\ldots,x_{n})=(\langle v_{1},v\rangle,\ldots,\langle v_{n},v\rangle)$ .

Por el tema anterior, dado $\langle,\rangle$ sabemos hallar bases ortonormales. De hecho, si $\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ es una base ortogonal,

\left\{\frac{v_{1}}{\left\lVert v_{1}\right\rVert},\ldots,\frac{v_{n}}{\left% \lVert v_{n}\right\rVert}\right\}

es ortonormal (como es definida positiva, podemos hacer estas operaciones ya que ninguna tiene norma 0).

Lema II.1.

Si $\left\{a_{1},\ldots,a_{m}\right\}$ son vectores linealmente independientes y ortogonales dos a dos y $\left\{a_{1},\ldots,a_{m},b\right\}$ siguen siendo vectores linealmente independientes, podemos definir $a_{m+1}=b-\sum_{i=1}^{m}\frac{\langle a_{i},b\rangle}{\langle a_{i},a_{i}% \rangle}\cdot a_{i}$ que cumple

i)

$a_{m+1}$ es ortogonal a $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ .
ii)

el subespacio generado por $\left\{a_{1},\ldots,a_{m},b\right\}$ coincide con el subespacio generado por $\left\{a_{1},\ldots,a_{m},a_{m+1}\right\}$ .

Demostración.

La definición de $a_{m+1}$ es correcta porque $\langle a_{i},a_{i}\rangle\neq 0$ ya que $a_{i}$ forma parte de una familia de vectores linealmente independientes.

i)

Tomemos $j=1,\ldots,m$

${}\langle a_{j},a_{m+1}\rangle=\langle a_{j},b-\sum_{i=1}^{m}\frac{\langle a_{% i},b\rangle}{\langle a_{i},a_{i}\rangle}\cdot a_{i}\rangle=\langle a_{j},b% \rangle-\sum_{i=1}^{m}\frac{\langle a_{i},b\rangle}{\langle a_{i},a_{i}\rangle% }\langle a_{j},a_{i}\rangle=\\ {}=\langle a_{j},b\rangle-\frac{\langle a_{j},b\rangle}{\langle a_{j},a_{j}% \rangle}\cdot\langle a_{j},a_{j}\rangle=\langle a_{j},b\rangle-\langle a_{j},b% \rangle=0\mathchar 46\relax$
ii)

Lo demostramos por doble contenido.

$\subseteq)$

$b=a_{m+1}+\sum_{i=1}^{m}\frac{\langle a_{i},b\rangle}{\langle a_{i},a_{i}% \rangle}a_{i}\Rightarrow b$ es combinacion lineal de los $a$ ’s.

$\supseteq$ )

$a_{m+1}=b-\sum_{i=1}^{m}\frac{\langle a_{i},b\rangle}{\langle a_{i},a_{i}% \rangle}a_{i}\Rightarrow a_{m+1}$ es combinacion lineal de $a_{i},\ldots,a_{m}$ y $b$ .

∎

Proposición II.1 (Método de Gram-Schmidt).

Hallamos una base ortogonal del siguiente modo:

Partimos de una base $\left\{v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right\}$ de $V$ , y paso a paso vamos a calcular una base ortogonal:

\displaystyle a_{1}

\displaystyle{}=v_{1}

\displaystyle a_{2}

\displaystyle{}=v_{2}+\alpha a_{1}\text{ tal que }a_{2}\text{ sea ortogonal a % }a_{1}:\text{ resolver }0=\langle a_{1},a_{2}\rangle

\displaystyle a_{3}

\displaystyle{}=v_{3}+\alpha a_{1}+\beta a_{2}\text{ tal que }a_{3}\text{ sea % ortogonal a los anteriores}

\displaystyle a_{4}

\displaystyle{}=v_{4}+\alpha a_{1}+\beta a_{2}+\gamma a_{3}\text{ tal que }% \begin{cases}0=\langle a_{1},a_{4}\rangle\\ 0=\langle a_{2},a_{4}\rangle\\ 0=\langle a_{3},a_{4}\rangle\end{cases}\text{ y sacar }\alpha,\beta,\gamma

\displaystyle\cdots

Entonces $\left\{a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right\}$ es una base ortogonal de $V$ .

La base ortonormal sera $\left\{\frac{a_{1}}{\left\lVert a_{1}\right\rVert},\frac{a_{2}}{\left\lVert a_% {2}\right\rVert},\ldots,\frac{a_{n}}{\left\lVert a_{n}\right\rVert}\right\}$ .

Ejemplo II.2.

$V=\mathbb{C}^{3}$ , $\langle,\rangle$ que en la $BC$ tiene matriz $\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&2&0\\ 0&0&3\\ \end{pmatrix}$ .

Base $\left\{\underbrace{(1,i,0)}_{v_{1}},\underbrace{(1,0,1)}_{v_{2}},\underbrace{(% 0,0,i)}_{v_{3}}\right\}$ .

$a_{1}=(1,i,0)$
$a_{2}=(1,0,1)+\alpha a_{1}=(1,0,1)+\alpha(1,i,0)=(1+\alpha,\alpha i,1)$ tal que $\langle a_{1},a_{2}\rangle=0$ .

$\displaystyle 0$

$\displaystyle{}=\langle a_{1},a_{2}\rangle=\begin{pmatrix}1&-i&0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&2&0\\ 0&0&3\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1+\alpha\\ \alpha i\\ 1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-i&1-2i&0\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1+\alpha\\ \alpha_{i}\\ 1\\ \end{pmatrix}=$

$\displaystyle{}=1+\alpha-i-i\alpha+\alpha i+2\alpha=3\alpha+1-i\Rightarrow% \alpha=\frac{-1+i}{3}$

Luego $a_{2}=(1+\frac{-1+i}{3},\frac{-i-1}{3},1)=(\frac{2+i}{3},\frac{-1-i}{3},1)$ .
$a_{3}=(0,0,i)+\alpha a_{1}+\beta a_{2}=(0,0,1)+(\alpha,\alpha_{i},0)+\beta(% \frac{2+i}{3},\frac{-1-i}{3},1)=(\alpha+\frac{2\beta+\beta i}{3},\alpha_{i}-% \beta\frac{1+i}{3},i+\beta)$ donde $\alpha,\beta$ son sol de

$\begin{cases}0=\langle a_{1},a_{3}\rangle=\begin{pmatrix}1&-i&0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&2&0\\ 0&0&3\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\frac{3\alpha+2\beta+\beta i}{3}\\ \frac{-3\beta+(3\alpha-\beta)i}{3}\\ i+\beta\\ \end{pmatrix}\\ 0=\langle a_{2},a_{3}\rangle=\begin{pmatrix}\frac{2-i}{3}&\frac{-1+i}{3}&1\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&2&0\\ 0&0&3\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\frac{3\alpha+2\beta+\beta i}{3}\\ \frac{-3\beta+(3\alpha-\beta)i}{3}\\ i+\beta\\ \end{pmatrix}\end{cases}$

terminar ejercicio y pasar ortogonal a ortonormal.

Teorema II.1 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz).

Sea $V$ un e.v. con producto escalar $\langle,\rangle$ . Dados $v,w\in V$ ,

\left|\langle v,w\rangle\right|\leq\left\lVert v\right\rVert\cdot\left\lVert w\right\rVert

donde $\left|\right|$ denota el valor absoluto si $K=\mathbb{R}$ o el módulo complejo si $K=\mathbb{C}$ (modulo y valor absoluto coinciden si no hay parte imaginaria).

Demostración.

Sean $v,w\in V,\alpha\in\mathbb{K}$ (suponer $K=\mathbb{C}$ ).

{}\langle v+\alpha w,v+\alpha w\rangle=\langle v,v\rangle+\langle v,\alpha w% \rangle+\langle\alpha w,v\rangle+\langle\alpha w,\alpha w\rangle=\langle v,v% \rangle+\alpha\langle v,w\rangle+\overline{\alpha}\underbrace{\langle w,v% \rangle}_{\langle\overline{v,w}\rangle}+\alpha\overline{\alpha}\langle w,w\rangle

Como $Re(a+bi)=a\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\left|a+bi\right|$ y si $\alpha,\beta\in\mathbb{C}\Rightarrow\left|\alpha\beta\right|=\left|\alpha% \right|\left|\beta\right|$ ,

0\leq\langle v+\alpha w,v+\alpha w\rangle\leq\langle v,v\rangle+2\left|\alpha% \right|\left|\langle v,w\rangle\right|+\left|\alpha\right|^{2}\langle w,w\rangle

Podemos definir

\displaystyle p\colon\mathbb{R}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle\left|\alpha\right|

\displaystyle{}\longmapsto\left|\alpha\right|^{2}\langle w,w\rangle+2\left|% \langle v,w\rangle\right|\left|\alpha\right|+\langle v,v\rangle

Como $p(\left|\alpha\right|)\geq 0$ , el discriminante de la ecuacion de segundo grado $\langle w,w\rangle\left|\alpha\right|^{2}+2\left|\langle v,w\rangle\right|% \left|\alpha\right|+\langle v,v\rangle$ tiene que ser menor o igual que $0$ .

\text{Discriminante}=(2\left|\langle v,w\rangle\right|)^{2}-4\langle w,w% \rangle\langle v,v\rangle\leq 0

\displaystyle 4\left|\langle v,w\rangle\right|^{2}

\displaystyle{}\leq 4\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle

\displaystyle\left|\langle v,w\rangle\right|^{2}

\displaystyle{}\leq\left\lVert v\right\rVert^{2}\cdot\left\lVert w\right\rVert% ^{2}\Rightarrow\left|\langle v,w\rangle\right|\leq\left\lVert v\right\rVert% \cdot\left\lVert w\right\rVert

∎

Observación II.3.

Si $w=0$ , la formula se cumple porque $\langle v,0\rangle=0$ y $\left\lVert w\right\rVert=0$ .

Observación II.4.

La desigualdad de Cauchy-Schwartz se puede rescribir de forma equivalente como $\frac{\left|\langle v,w\rangle\right|}{\left\lVert v\right\rVert\cdot\left% \lVert w\right\rVert}\leq 1$ .

Si $K=\mathbb{R}$ , entonces $\frac{\langle v,w\rangle}{\left\lVert v\right\rVert\cdot\left\lVert w\right% \rVert}\in[-1,1]$ es lo mismo.

Definición II.5 (Angulo).

Definimos el angulo entre dos vectores no nulos $v,w\in V$ como

\mathop{\operator@font arc\,cos}\nolimits\frac{\langle v,w\rangle}{\left\lVert v% \right\rVert\cdot\left\lVert w\right\rVert}

Observación II.5.

El concepto de angulo está bien definido porque $\frac{\langle v,w\rangle}{\left\lVert v\right\rVert\cdot\left\lVert w\right% \rVert}\in[-1,1]$ .

Proposición II.2 (Teorema del coseno).

Si $V$ es un e.v. real con producto escalar, dados $v,w\in V$

\left\lVert v-w\right\rVert^{2}=\left\lVert v\right\rVert^{2}+\left\lVert w% \right\rVert^{2}-2\left\lVert v\right\rVert\left\lVert w\right\rVert\cdot\cos% \alpha_{v,w}

donde $\alpha_{v,w}$ es el angulo que forman $v$ y $w$ .

Demostración.

{}\left\lVert v-w\right\rVert^{2}=\langle v-w,v-w\rangle=\langle v,v\rangle-% \langle w,v\rangle-\langle v,w\rangle+\langle w,w\rangle=\left\lVert v\right% \rVert^{2}+\left\lVert w\right\rVert^{2}-2\langle v,w\rangle=\\ {}=\left\lVert v\right\rVert^{2}+\left\lVert w\right\rVert^{2}-2\left\lVert v% \right\rVert\cdot\left\lVert w\right\rVert\cdot\cos\alpha_{v,w}

∎

Teorema II.2 (Desigualdad triangular o de Minkowski).

Sea $V$ e.v. con producto escalar. Dados $v,w\in V$ , se tiene que

\left\lVert v+w\right\rVert\leq\left\lVert v\right\rVert+\left\lVert w\right% \rVert\mathchar 46\relax

Demostración.

{}\left\lVert v+w\right\rVert^{2}=\langle v+w,v+w\rangle=\langle v,v\rangle+% \langle v,w\rangle+\underbrace{\langle w,v\rangle}_{\overline{\langle v,w% \rangle}}+\langle w,w\rangle=\langle v,v\rangle+2Re(\langle v,w\rangle)+% \langle w,w\rangle\leq\\ {}\leq\left\lVert v\right\rVert^{2}+\left\lVert w\right\rVert^{2}+2\left|% \langle v,w\rangle\right|\overset{C\mathchar 46\relax S\mathchar 46\relax}{% \leq}\left\lVert v\right\rVert^{2}+\left\lVert w\right\rVert^{2}+2\left\lVert v% \right\rVert\cdot\left\lVert w\right\rVert=(\left\lVert v\right\rVert+\left% \lVert w\right\rVert)^{2}

Eliminando los cuadrados, llegamos al enunciado. ∎

Proposición II.3 (Teorema de Pitagoras).

Sea $V$ un e.v. con producto escalar. Si $v,w\in V$ son vectores ortogonales, se tiene que

\left\lVert v\right\rVert^{2}+\left\lVert w\right\rVert^{2}=\left\lVert v+w% \right\rVert^{2}\mathchar 46\relax

Demostración.

\left\lVert v+w\right\rVert^{2}=\langle v+w,v+w\rangle=\langle v,v\rangle+% \cancel{\langle v,w\rangle}+\cancel{\langle w,v\rangle}+\langle w,w\rangle=% \left\lVert v\right\rVert^{2}+\left\lVert w\right\rVert^{2}\mathchar 46\relax

∎

Lema II.2.

Si $V$ es un e.v. con producto escalar y $S\leq V$ , entonces

V=S\oplus S^{\perp}

Demostración.

Veamos que $S\cap S^{\perp}=0_{V}$ . Sea $v\in S\cap S^{\perp}$ , entonces se tiene que $v\in S$ y $v\in S^{\perp}$ . Luego

\left\lVert v\right\rVert^{2}=\langle\underbrace{v}_{\in S},\underbrace{v}_{% \in S^{\perp}}\rangle=0\overset{\text{def }+}{\iff}v=0_{V}

Por tanto, $S\cap S^{\perp}\leq V$ y $\dim(S\oplus S^{\perp})\leq\dim V$ .

Por otro lado, como vimos en el tema 1 $\dim S+\dim S^{\perp}\geq\dim V$ , es decir $\dim(S\oplus S^{\perp})=\dim V$ y $S\oplus S^{\perp}=V$ . ∎

Definición II.6 (Proyeccion ortogonal).

Sea $S$ un subespacio de $V$ y sea $v\in V$ . Llamamos proyeccion ortogonal de $v$ sobre $S$ , y lo denotamos $p_{s}(v)$ al unico vector de $S$ que cumple $v-p_{s}(v)\in S^{\perp}$

Observación II.6.

Sabemos $V=S\oplus S^{\perp}$ y $v=v_{1}+v_{2}$ con $v_{1}\in S$ y $v_{2}\in S^{\perp}$ . Entonces $v_{1}$ es $p_{s}(x)$ , ya que $v_{1}\in S$ y $v-v_{1}=v_{2}\in S^{\perp}$ .

Ejemplo II.3.

$V=\mathbb{C}^{3}$ con producto escalar estandar. Sea $S=\left\{(x,y,z)\mid x=0\right\}\leq V$ y $v=(i,1,1)\in V$ .

Para hallar $p_{S}(v)$ , necesito que $p_{S}(v)\in S$ y $v-p_{S}(v)\in S^{\perp}$ .

Por un lado, $S=\langle(0,1,0),(0,0,1)\rangle$ y $p_{S}(v)=(0,\alpha,\beta)$ . Además, $(i,1,1)-(0,\alpha,\beta)=(i,1-\alpha,1-\beta)\in S^{\perp}$ . Luego resolvemos el sistema

\begin{cases}\langle v_{1}-p_{S}(v)\rangle=0\;(1)\\ \langle v_{2},v-p_{S}(v)\rangle=0\;(2)\end{cases}

1.

$0=\begin{pmatrix}0&1&0\\ \end{pmatrix}\cdot I\cdot\begin{pmatrix}i\\ 1-\alpha\\ 1-\beta\\ \end{pmatrix}=1-\alpha\Rightarrow\alpha=1$
2.

$0=\begin{pmatrix}0&0&1\\ \end{pmatrix}\cdot I\cdot\begin{pmatrix}i\\ 1-\alpha\\ 1-\beta\\ \end{pmatrix}=1-\beta\Rightarrow\beta=1$

Sustituyendo, $p_{S}(v)=(0,1,1)$ (es único).

Proposición II.4.

Sea $V$ e.v. con producto escalar, $S\leq V$ , $v\in V$ .

Entonces $\left\lVert v-p_{S}(v)\right\rVert\leq\left\lVert v-s\right\rVert\;\forall s\in S$ .

Dicho de otro modo, $\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}_{s\in S}\left\lVert v-s\right\rVert% =\left\lVert v-p_{S}(v)\right\rVert$ .

Demostración.

Sea $s\in S$ .

\left\lVert v-s\right\rVert^{2}=\lVert\underbrace{v-p_{s}(v)}_{\in S^{\perp}}+% \underbrace{p_{S}(v)-s}_{\in S}\rVert^{2}\overset{\text{Pitagoras}}{=}\left% \lVert v-p_{S}(v)\right\rVert^{2}+\left\lVert p_{S}(x)-s\right\rVert^{2}\geq% \left\lVert v-p_{s}(v)\right\rVert^{2}

Es decir, $\left\lVert v-p_{S}(v)\right\rVert^{\cancel{2}}\leq\left\lVert v-s\right\rVert% ^{\cancel{2}}\;\forall s\in S$ . ∎