3 Anillos de polinomios

3.1 Generalidades y teorema de la division

Definition 3.1 (Polinomio).

Sea $A$ un anillo. Un polinomio en una variable $x$ con coeficientes en $A$ es una expresion formal del tipo

p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

donde $n\in\mathbb{N}\cup\left\{0\right\}$ y cada $a_{i}\in A$ .

$A[x]$ denota el conjunto de todos los polinomios en la variable $x$ con coeficientes en el anillo $A$ .

Definition 3.2 (Suma y producto de polinomios).

Sean $p,q\in A[x]$ de la forma $p(x)=\sum_{i=0}^{m}a_{i}x^{i}$ y $q(x)=\sum_{i=0}^{n}b_{i}x^{i}$ . Se define la suma de $p$ y $q$ como otro polinomio

(p+q)(x)=\sum_{i=0}^{max(m,n)}c_{i}x^{i}

donde cada $c_{i}=a_{i}+b_{i}$ (considerando coeficientes igual a cero si no estan definidos).

Se define el producto de $p$ y $q$ como otro polinomio

(p\cdot q)(x)=\sum_{i=0}^{m+n}d_{i}x^{i}

donde cada $d_{i}=\sum_{j=0}^{i}a_{j}b_{i-j}$ (considerando coeficientes igual a cero si no estan definidos).

Proposition 3.3.

Sea $A$ un anillo. Entonces $(A[x],+,\cdot)$ es un anillo. Ademas:

$A$ conmutativo $\Rightarrow A[x]$ conmutativo.

$A$ unitario $\Rightarrow A[x]$ unitario.

Definition 3.4.

Sea $p(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\in A[x]$ con $a_{n}\neq 0$ . Decimos que:

•

$a_{n}$ es el coeficiente director de $p$ .

Notacion: $a_{n}\coloneqq cd(p)$
•

$n$ es el grado de $p$ .

Notacion: $n\coloneqq gr(p)$
•

Si $a_{n}=1$ decimos que p es monico

Si $p(x)=0$ se define $gr(p)\coloneqq-\infty$ y $p$ no tiene coeficiente director.

Proposition 3.5.

Sean $p,q\in A[x]$ . Se cumple:

gr(p\cdot q)\leq gr(p)+gr(q)

Proof 3.6.

Porque la potencia mas alta que puede salir es la suma de los grados.

Example 3.7.

En $\mathbb{Z}_{6}[x]$ ,

$p(x)=3x^{2}+2$ (grado 3), $q(x)=2x^{2}+x+1$ (grado 2).

Multiplicando, $p(x)q(x)=6x^{5}+3x^{4}+3x^{3}+4x^{2}+2x+1$ (grado 4).

En general no tengo que $gr(p\cdot q)=$ suma de los grados.

Proposition 3.8 (Formula del grado).

Sean $A$ un DI y $p,q\in A[x]$ . Se cumple:

gr(p\cdot q)=gr(p)+gr(q)

Proof 3.9.

Si $A$ es un DI $\Rightarrow\underbrace{cd(p\cdot q)}_{\neq 0\text{(DI)}}=\underbrace{cd(p)}_{% \Leftarrow\;\neq 0}\cdot\underbrace{cd(q)}_{\neq 0}\Rightarrow gr(p\cdot q)=gr% (p)+gr(q)$ .

Corollary 3.10.

$A$ es DI $\Rightarrow A[x]$ es DI.

Proof 3.11.

Supongamos que $A$ es DI.

Sean $p(x)\neq 0,q(x)\neq 0$ (ambos tienen coeficiente director $\neq 0$ ).

Entonces $(p\cdot q)(x)$ tiene coeficiente director distinto de cero $\Rightarrow(p\cdot q)(x)\neq 0$ .

Luego $A[x]$ es DI.

Theorem 3.12 (Teorema de la division).

Sean $K$ un cuerpo y $f,g\in K[x]$ con $g\neq 0$ . Entonces $\exists q,r\in K[x]$ tales que:

•

$f=g\cdot q+r$
•

$gr(r)<gr(g)$ .

Ademas $q$ y $r$ son los unicos polinomios que cumplen simultaneamente las dos propiedades anteriores.

Example 3.13.

Division en $\mathbb{Q}[x]$ :

x^{3}+7x^{2}-2x+1=(2x^{2}+3)\cdot(\frac{1}{2}x+\frac{7}{2})+(\frac{7}{2}x-% \frac{19}{2})

Otro ejemplo: $x^{2}+1=2\cdot(\frac{1}{2}x^{2}+1)+0$ .

Se cumple que $\underbrace{gr(\text{resto})}_{-\infty}<\underbrace{gr(\text{divisor})}_{0}$

3.2 Divisibilidad en $K[x]$

Definition 3.14 (Divisor y multiplo).

Sean $K$ un cuerpo y $f,g\in K[x]$ . Decimos que $f$ divide a $g$ si $\exists p\in K[x]$ tal que $g=p\cdot f.$

Decimos tambien que $f$ es divisor de $g$ y que $g$ es multiplo de f.

Notacion: $f|g$ .

Proposition 3.15.

•

$f|g\Rightarrow\forall c\in K\setminus\left\{0\right\}\;cf|g$
•

$g\neq 0,f|g\Rightarrow gr(f)\leq gr(g)$

Proof 3.16.

•

Si $f|g\Rightarrow\exists p(x)\in K[x]\mid g(x)=f(x)\cdot p(x)$ . Como $K$ es cuerpo, dado $c\neq 0,\exists c^{-1}\in K$ . Luego $g(x)=(cf(x))\cdot(c^{-1}p(x))=f(x)\cdot p(x)\Rightarrow cf(x)|g(x)$ .
•

Sea $g(x)\neq 0$ y $f(x)|g(x)\Rightarrow\exists p(x)\in K[x]\mid g(x)=p(x)\cdot f(x)$ . Por la formula de los grados, $gr(g)=gr(p)+gr(f)$ (porque los coeficientes estan en $K$ que es cuerpo y, por tanto, DI).

Sabemos que $gr(p)\geq 0$ porque la unica opcion de que no pasara esto seria con $p(x)=0\Rightarrow g(x)=0$ . Esto seria una contradiccion.

Luego $gr(g)=gr(p)+gr(f)\geq 0+gr(f)=gr(f)$ .

Definition 3.17 (Maximo comun divisor).

Sean $f,g\in K[x]$ . Decimos que $p$ es un maximo comun divisor de $f$ y $g$ si $p$ es un polinomio monico, divisor comun de $f$ y $g$ de grado maximo.

Example 3.18.

En $\mathbb{R}[x]$ ,

$f(x)=x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x+1)(x-1)$

$g(x)=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$

Vemos que $x+1$ es un divisor comun y polinomio monico.

Proposition 3.19 (Unicidad).

El maximo comun divisor de dos polinomios es unico.

Asimismo, el maximo comun divisor de $f$ y $g$ se denota por $mcd(f,g)$ .

Proposition 3.20 (Identidad de Bezout).

Sean $K$ un cuerpo y $f,g\in K[x]$ . Entonces $\exists u,v\in K[x]$ tales que

mcd(f,g)=uf+vg

Remark 3.21.

El algoritmo de Euclides y su extension para calcular identidades de Bezout funcionan en $K[x]$ .

$x^{3}-x=(x^{2}+2x+1)\cdot(x-2)+(2x+2)\Rightarrow x^{2}+2x+1=(2x+2)\cdot(\frac{% 1}{2}x+\frac{1}{2})+0$ .

El $mcd$ es el ultimo resto antes de tener resto $0$ (ajustado con una constante para que sea monico).

Entonces $mcd(f,g)=\frac{1}{2}(2x+2)=x+1$ .

Ahora puedo usar los cocientes para encontrar una identidad de Bezout entre $f$ y $g$ .

2x+2=(x^{3}-x)-(x^{2}+2x+1)(x-2)\Rightarrow\underbrace{x+1}_{mcd(f,g)}=% \underbrace{\frac{1}{2}}_{u(x)}\underbrace{(x^{3}-x)}_{f(x)}+\underbrace{(-% \frac{1}{2})(x-2)}_{v(x)}\underbrace{(x^{2}+2x+1)}_{g(x)}

3.3 Polinomios irreducibles en $K[x]$

Proposition 3.22.

Sean $K$ un cuerpo y $p(x)\in K[x]$

p(x)\text{ es invertible en }K[x]\iff p(x)\in K\setminus\left\{0\right\}

Proof 3.23.

“ $\Leftarrow$ ” Sea $p(x)=c\neq 0$ polinomio constante. Como $K$ es un cuerpo $\Rightarrow\exists c^{-1}\in K$ . Luego $c\cdot c^{-1}=1\Rightarrow p(x)=c$ es invertible.

“ $\Rightarrow$ ” Supongamos $p(x)$ invertible $\Rightarrow\exists q(x)\in K[x]$ tal que $p(x)\cdot q(x)=1$ .

Por la formula de los grados, $gr(p)+gr(q)=gr(1)=0$ .

La unica opcion es $gr(p)=gr(q)=0\Rightarrow p(x)$ y $q(x)$ son constantes.

Remark 3.24.

No es cierto en general, si los coeficientes no estan en un DI. Veamos un contraejemplo en $\mathbb{Z}_{4}[x]$ .

$(2x+1)(2x+1)=4x^{2}+2x+2x+1=4x^{2}+4x+1=1\Rightarrow 2x+1$ es invertible en $\mathbb{Z}_{4}[x]$ .

Definition 3.25 (Polinomios asociados).

Sean $p(x),q(x)\in K[x]$ . Decimos que $p(x)$ es asociado de $q(x)$ si $\exists c\neq 0\in K$ tal que $p(x)=cq(x)$ (es decir, si existe un elemento invertible que pasa de uno a otro).

Definition 3.26 (Polinomio irreducible).

Sea $p(x)\in K[x]$ un polinomio no constante. Decimos que $p$ es irreducible si sus unicos divisores son constantes y asociados de $p$ . En caso contrario decimos que $p$ es reducible.

Remark 3.27.

Para definir polinomios irreducibles no puedo decir que solo tiene 2 divisores.

$x^{2}+1$ tiene infinitos divisores: $x^{2}+1,2(x^{2}+1),7(x^{2}+1),\ldots,1,-3,\pi,\ldots$ porque $x^{2}+1=(7)(\frac{1}{7}(x^{2}+1))$ .

Estos divisores estan siempre. Si son los unicos, decimos que el polinomio es irreducible.

Proposition 3.28.

Sea $p\in K[x]$ un polinomio de grado 1. Entonces $p$ es irreducible.

Proof 3.29.

Supongamos que $f(x)$ es divisor de $p(x)\Rightarrow\exists g(x)\in K[x]\mid p(x)=f(x)\cdot g(x)$ .

La formula de los grados nos dice que $gr(p)=gr(f)+gr(p)$ , pero $gr(p)=1$ . Luego hay dos opciones:

•

$gr(f)=0\Rightarrow f$ constante
•

$gr(f)=1\Rightarrow gr(g)=0\Rightarrow g(x)=c$ constante

$p(x)=cf(x)\Rightarrow f(x)=c^{-1}p(x)\Rightarrow f(x)$ es asociado de $p(x)$ .

Luego $p$ es irreducible (porque sus unicos divisores son constantes y asociados).

Proposition 3.30.

Sea $p(x)\in K[x]$ no constante

p(x)\text{ es reducible}\iff\exists q(x),r(x)\in K[x]\mid p(x)=q(x)r(x)\text{ % con }gr(q),gr(r)<gr(p)

Proof 3.31.

“ $\Rightarrow$ ” $p(x)$ es reducible $\Rightarrow\exists q(x)$ divisor de $p(x)$ que no es ni constante ni asociado de $p(x)\Rightarrow\exists r(x)\mid p(x)=q(x)\cdot r(x)$ .

Falta demostrar que $gr(q),gr(r)<gr(p)$ . Por reduccion al absurdo, supongo que $gr(q)=gr(p)\Rightarrow gr(p)=\underbrace{gr(q)}_{=gr(p)}+gr(r)\Rightarrow gr(r% )=0\Rightarrow r(x)=c$ constante $\Rightarrow q(x)=c^{-1}p(x)\Rightarrow q(x)$ es asociado de $p(x)$ . Esto es una contradiccion porque habiamos dicho que $q(x)$ no era asociado.

Supongamos que $gr(r)=gr(p)\Rightarrow gr(p)=gr(q)+\underbrace{gr(r)}_{=gr(p)}\Rightarrow gr(q% )=0\Rightarrow q(x)=c$ constante.

“ $\Leftarrow$ ” Supongamos que $f(x)=g(x)\cdot h(x)$ con $gr(q),gr(r)<gr(p)\Rightarrow g(x)$ y $h(x)$ no pueden ser constantes y no pueden ser asociados de $f(x)$ .

Como $f(x)=g(x)h(x)$ , $g(x)$ divide a $f(x)$ asi que $f(x)$ es reducible.

Proposition 3.32.

1.

Si $p(x)$ irreducible cumple $p(x)|a(x)b(x)$ entonces $p(x)|a(x)$ o $p(x)|b(x)$ .
2.

Si $p(x)$ divide a $\prod\limits_{i=1}^{n}f_{i}(x)$ entonces $\exists i$ tal que $p(x)|f_{i}(x)$ .

Theorem 3.33 (Factorizacion unica).

Se dice que $K[x]$ es un dominio de factorizacion unica (DFU) si todo $f(x)\in K[x]$ es producto de polinomios irreducibles.

Ademas, si $f(x)=p_{1}(x)\cdots p_{r}(x)=q_{1}(x)\cdots q_{s}(x)$ , entonces $r=s$ y los factores se pueden reordenar de manera que cada $f_{j}$ sea asociado de $q_{j}$ .

3.4 Raices de un polinomio

Definition 3.34.

Si $A$ es un a.c.c.u. y sea $p(x)\in A[x]$ , definimos la funcion inducida por $p(x)$ (o funcion evaluacion de $p(x)$ ) de la siguiente forma:

\displaystyle p\colon A

\displaystyle{}\longrightarrow A

\displaystyle b

\displaystyle{}\longmapsto p(b)=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_{1}b+a_{0}

Definition 3.35.

Dado $p(x)\in A[x]$ , decimos que $b$ es una raiz de $b$ si $p(b)=0$ .

Theorem 3.36 (Teorema del resto).

Sean $K$ un cuerpo, $p(x)\in K[x]$ y $b\in K$ . El resto de dividir $p(x)$ entre $g(x)=x-b$ es $p(b)$ .

Proof 3.37.

Como $gr(r(x))<1$ , $r(x)$ es una constante y la denotamos $r$ .

Por el algoritmo de la division $p(x)=(x-b)\cdot q(x)+r$ .

Evaluando en $b$ : $p(b)=(b-b)\cdot q(b)+r$ , es decir, $r=p(a\b{)}$ .

Corollary 3.38 (Teorema del factor lineal).

Sean $p(x)\in K[x]$ y $b\in K$ ,

p(b)=0\iff(x-b)|p\text{ (b es una raiz de }p(x))

Proof 3.39.

El resto de dividir $p(x)$ entre $x-b$ da cero $\overset{\text{T. resto}}{\iff}p(b)=0\iff b$ es una raiz.

Corollary 3.40.

Sea $f(x)\in K[x]$ de grado $n\geq 1$ . Entonces $f$ tiene, como mucho, $n$ raices.

Proof 3.41.

Lo demostraremos por induccion.

Para $n=1$ , $f(x)=a_{1}x+a_{0}\Rightarrow$ la raiz es $\frac{-a_{0}}{a_{1}}$ . Luego se cumple para el caso base.

Supongamos que es cierto para $n$ y veamos que tambien lo es para $n+1$ .

Sea $f(x)$ con $gr(f(x))=n+1$ .

•

Si no tiene raices, ya estaria.
•

Si tiene raices, sea $a\in K$ una de las raices.

$f(x)=(x-a)\cdot h(x)$

Veamos que $\left\{\text{ raices de }f(x)\right\}=\left\{a\right\}\cup\left\{\text{raices % de }h(x)\right\}$ .

$\subseteq]$ Sea $c$ una raiz de $f(x)$ que no sea $a$ . Como sabemos que $f(x)=(x-a)h(x)$ , evaluando en $c$ , $u=f(c)=\underbrace{(c-a)}_{\neq 0}\cdot h(c)\Rightarrow h(c)=0$ , por lo que $c$ es raiz de $h$ .

$\supseteq]$ Claramente $a$ es una raiz de $f(x)$ porque lo estamos suponiendo.

Si $b$ es raiz de $h(x)$ ( $h(b)=0$ ) $\Rightarrow f(b)=(b-a)\cdot\underbrace{h(b)}_{=0}=0$ . Luego $b$ es raiz de $f(x)$ .

Aplicamos la hipotesis de induccion a $h(x)$ , que tiene grado $n$ . $h(x)$ tiene, como mucho, $n$ raices (que son raices de $f(x)$ ).

Ademas, tenemos que $a$ es una raiz de $f(x)\Rightarrow f(x)$ tiene como mucho $n+1$ raices.

Corollary 3.42.

Sean $p\in K[x]$ con $gr(p)\geq 2$ .

1.

$p$ irreducible $\Rightarrow p$ no tiene raices en $K$ .
2.

$p$ no tiene raices en $K$ y $gr(p)\in\left\{2,3\right\}\Rightarrow p$ irreducible

Remark 3.43.

1.

Los polinomios irreducibles no tienen raices.
2.

Si $f(x)$ tiene grado $2$ o $3$ y no tiene raices, entonces $f(x)$ es irreducible.

Corollary 3.44.

Sean $K$ un cuerpo infinito y $f,g\in K[x]$ .

f(x)=g(x)\iff f\text{ y }g\text{ inducen la misma funcion en }K

Proof 3.45.

“ $\Rightarrow$ ” Obvio.

“ $\Leftarrow$ ” Consideremos $h(x)=f(x)-g(x)$ un polinomio de cierto grado $m<\infty$ .

Tenemos que $\forall a\in K$ , $h(a)=f(a)-g(a)=0$ . Es decir, todos los numeros de $K$ (infinitos) son raices de $h(x)$ . Por el corolario 3.40, $h(x)$ es el polinomio $0$ , es decir, $f(x)=g(x)$ .

3.5 Criterios de irreducibilidad

3.5.1 Polinomios en $\mathbb{C}[x]$

Theorem 3.46 (Teorema fundamental del Algebra).

Sea $p\in\mathbb{C}[x]$ no constante. Entonces $p$ tiene una raiz en $\mathbb{C}$ .

Proof 3.47.

Gauss, 1789. Demostracion compleja.

Corollary 3.48.

Todo polinomio de grado $n$ factoriza como producto de $n$ polinomios de grado $1$ .

Proof 3.49.

Sea $f(x)$ de grado $n\geq 2$ .

Buscamos $a_{1}\in\mathbb{C}$ raiz de $f(x)$ . Entonces, $f(x)=(x-a_{1})\cdot f_{1}(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})f_{2}(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})% \cdots(x-a_{n-1})\cdot$ factor de grado 1.

Corollary 3.50.

Sea $p\in\mathbb{C}[x]$ no constante. Entonces $p$ es irreducible si y solo si $gr(p)=1$ .

3.5.2 Polinomios en $\mathbb{R}[x]$

Definition 3.51.

Dado un $z=a+bi\in\mathbb{C}$ , se define su conjugado $\overline{z}$ como $\overline{z}=a-bi$

Remark 3.52.

Dados $z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}$ , $\overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{z_{1}}\cdot\overline{z_{2}}$ .

Luego $\overline{(z)^{n}}=(\overline{z})^{n}$

Proposition 3.53.

Sea $p(x)\in\mathbb{R}[x]$ y $z=a+bi$ una raiz de $p$ en $\mathbb{C}$ . Entonces $\overline{z}=a-bi$ es tambien raiz de $p$ en $\mathbb{C}$ con la misma multiplicidad que $z$ .

Proof 3.54.

Sea $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\in\mathbb{R}[x]$ .

Sea $z\in\mathbb{C}$ raiz de $f(x)$ . Entonces, $f(z)=0$ , es decir, $a_{n}z^{n}+\cdots+a_{1}z+a_{0}=0$ .

Tomamos conjugados en los dos lados de la igualdad $\Rightarrow\overline{a_{n}z^{n}+\cdots+a_{1}z+a_{0}}=\overline{0}=0$ .

Asi, nos queda $a_{n}(\overline{z})^{n}+a_{n-1}(\overline{z})^{n-1}+\cdots+a_{1}\overline{z}+a% _{0}$ (usando que $a_{n},a_{n-1},\ldots,a_{0}\in\mathbb{R}$ ). Luego tenemos que $f(\overline{z})=0$ , es decir, $\overline{z}$ es raiz de $f(x)$ .

Theorem 3.55.

Sea $f(x)\in\mathbb{R}[x]$ no constante. Entonces

f(x)\text{ es irreducible}\iff\begin{dcases}gr(p)=1\\ \text{o bien}\\ gr(p)=2\text{ y }p(x)=ax^{2}+bx+c\\ \;\text{ con }b^{2}-4ac<0\end{dcases}

Proof 3.56.

“ $\Leftarrow$ ” Obvia.

“ $\Rightarrow$ ” No la hacemos.

Corollary 3.57.

Sea $p\in\mathbb{R}[x]$ no constante. Entonces $p$ factoriza en producto de factores irreducibles de grados $1$ y $2$ .

Corollary 3.58.

Si $f(x)\in\mathbb{R}[x]$ de grado impar, al menos tiene una raiz real.

3.5.3 Polinomios en $\mathbb{Q}[x]$

Remark 3.59.

Lo mejor es “quitar denominadores” y suponer que $p(x)\in\mathbb{Z}[x]$ . Ejemplo: $\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}=\frac{1}{2}(x^{2}+3x+7)$

Definition 3.60.

Decimos que un numero racional $x=\frac{r}{s}$ esta en forma reducida si $mcd(r,s)=1$ .

Theorem 3.61.

Sea $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\in\mathbb{Z}[x]$ .

\text{Un racional }\frac{r}{s}\text{ (en forma reducida) es raiz de }f(x)% \Rightarrow r|a_{0},s|a_{n}

Proof 3.62.

Supongamos que $\frac{r}{s}$ es raiz de $f(x)$ .

{}0=a_{n}(\frac{r}{s})^{n}+\cdots+a_{1}\frac{r}{s}+a_{0}\overset{\cdot s^{n}}{% \Rightarrow}0=a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}s+a_{1}rs^{n-1}+a_{0}\cdot s^{n}% \Rightarrow-a_{0}s^{n}=\\ {}=r(a_{n}r^{n-1}+a_{n-1}r^{n-2}s+\cdots+a_{1}s^{n-1})

Por tanto, $r|-a_{0}\cdot s^{n}\Rightarrow r|a_{0}$ .

Ademas, $-a_{n}r^{n}=s(\cdots)\Rightarrow s|-a_{n}r^{n}\Rightarrow s|a_{n}$ .

Example 3.63.

El polinomio $x^{4}-5x^{2}+1$ tiene alguna raiz en $\mathbb{Q}$ ?

$\left\{\text{candidatos a raices}\right\}=\left\{\frac{r}{s}\mid r|1,s|1\right% \}=\left\{\pm 1\right\}$ .

Tomo $\lambda=1$ , $1^{4}-5\cdot 1^{2}+1\neq 0$ .

Tomo $\lambda=-1$ , $(-1)^{4}-5\cdot(-1)^{2}+1\neq 0$ .

Por tanto, este polinomio no tiene raices racionales, es decir, no tiene factores de grado 1.

Demostrar que tampoco tiene factores de grado 2: Por reduccion al absurdo, supongamos que $x^{4}-5x^{2}+1=(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d)\;a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ .

$(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d)=x^{4}+\underbrace{(a+c)x^{3}}_{0}+\underbrace{(d+b+ac% )x^{2}}_{-5}+\underbrace{(ad+bc)x}_{0}+\underbrace{bd}_{1}$ . Esto acaba en una contradiccion.

Lemma 3.64 (Lema de Gauss).

Dado $p(x)\in\mathbb{Z}[x]$ . Si $p(x)$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ , entonces $p(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ .

Theorem 3.65 (Criterio de Eisenstein).

Sea $p(x)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}x^{i}\in\mathbb{Z}[x]$ no constante con $a_{n}\neq 0$ .

Si $\exists p\in\mathbb{N}$ primo tal que:

•

$p|a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1}$
•

$p\nmid a_{n}$
•

$p^{2}\nmid a_{0}$

entonces $p(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ .

Proof 3.66.

En el libro de Hungerford.

Example 3.67.

Ejemplo: $x^{4}+2x^{2}+2x+2$ . Tomando $p=2$ , vemos que es irreducible.

Theorem 3.68 (Criterio modular).

Sea $p(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\in\mathbb{Z}[x]$ no constante con $a_{n}\neq 0$ .

Si $\exists q\in\mathbb{N}$ primo tal que:

•

$q\nmid a_{n}$ (es decir, el grado no varia).
•

$\overline{p}(x)\coloneqq\sum_{i=0}^{n}[a_{i}]_{q}x^{i}$ es irreducible en $\mathbb{Z}_{q}[x]$

entonces $p(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ .

Proof 3.69.

En el libro de Hungerford.

Example 3.70.

Sea $p(x)=x^{5}+8x^{4}+3x^{2}+4x+7$ . Pensamos este polinomio en $\mathbb{Z}_{2}$ : $\overline{p}(x)=x^{5}+x^{2}+1\in\mathbb{Z}_{2}[x]$ .

$\overline{p}(0)=1\neq 0$ y $\overline{p}(1)=1\neq 0\Rightarrow$ no tiene factores de grado 1.

En caso de ser reducible, tendria que descomponerse en dos factores irreducibles, siendo uno de grado 2 y otro de grado 3.

Como son los irreducibles en $\mathbb{Z}_{2}[x]$ de grado 2? $x^{2}+ax+b\Rightarrow g(0)$ tiene que ser distinto de cero $\Rightarrow g(0)=b=1$ . Tambien $g(1)=1+a+b\neq 0\Rightarrow a=1$ .

Vamos a ver dividir $x^{5}+x^{4}+1$ entre $x^{2}+x+1$ . Nos da resto $1$ . Por tanto no tiene factores de grado 2. Hemos llegado a que $x^{5}+x^{4}+1$ es irreducible en $\mathbb{Z}_{2}[x]$ . Aplicando el criterio modular, $x^{5}+8x^{4}+3x^{2}+4x+7$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ .

3.6 Cuerpos finitos

Theorem 3.71.

Sean $K$ un cuerpo, $p(x)\in K[x]$ no constante e $I=(p(x))$ el ideal principal generado por $p(x)$ . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1.

$p(x)$ es irreducible
2.

$K[x]/I$ es un dominio de integridad
3.

$K[x]/I$ es un cuerpo

Proof 3.72.

•

$3)\Rightarrow 2)$ Obvio (tema 1).
•

$1)\Rightarrow 3)$ Vamos a ver que $I=(p(x))$ es un ideal maximal de $K[x]$ . Supongamos que $\exists M$ ideal de $K[x]$ tal que $I\subsetneq M\subseteq K[x]$ . Por tanto, $\exists q(x)\in M$ pero $q(x)\not\in I$ .

Como $p(x)$ es irreducible, $mcd(p(x),q(x))=1$ . Por el teorema de existencia de identidades de Bezout, $\exists a(x),b(x)$ tal que $1=\underbrace{a(x)\underbrace{p(x)}_{\in M}}_{\in M}+\underbrace{b(x)% \underbrace{q(x)}_{M}}_{\in M}\in M\Rightarrow K[x]\subseteq M$ .

Luego $I$ es maximal. Por el teorema, $K[x]/I$ es un cuerpo
•

$2)\Rightarrow 1)$ Supongamos que $K[x]/(p(x))$ es dominio de integridad y veamos que $p(x)$ es irreducible.

Por reduccion al absurdo, supongamos que $p(x)=q_{1}(x)\cdot q_{2}(x)$ con $gr(q_{1}),gr(q_{2})<gr(p)$ .

$\begin{rcases}0\neq q(x)+I\\ 0\neq q_{2}(x)+I\end{rcases}\Rightarrow\underbrace{(q_{1}(x)+I)}_{\neq 0}% \underbrace{(q_{2}(x)+I)}_{\neq 0}=p(x)+I=0$

Esto es una contradiccion porque es dominio de integridad. Luego $p(x)$ es irreducible.

Example 3.73.

Sea $p(x)-x^{2}+x+1\leftarrow$ irreducible en $\mathbb{Z}_{2}[x]$ .

\mathbb{Z}_{2}[x]/(p(x))\leftarrow\text{ cuerpo de 4 elementos.}

Todos los restos de dividir $a_{1}x+a_{0}$ entre $p(x)$ son $\left\{[0],[1],[x],[1]+[x]\right\}$ .

Theorem 3.74.

Sea $p(x)$ irreducible en $\mathbb{Z}_{p}[x]$ . Entonces $\mathbb{Z}_{p}[x]/(p(x))$ es un cuerpo finito con $p^{n}$ -elementos donde $n=gr(p(x))$ .

3 Anillos de polinomios

3.1 Generalidades y teorema de la division

3.2 Divisibilidad en K⁢[x]K[x]

3.3 Polinomios irreducibles en K⁢[x]K[x]