2 Ideales y anillos cociente. Teoremas de isomorfía

2.1 Ideales

Definition 2.1.

Sea AA un anillo. Decimos que II es un ideal de AA si cumple:

  1. 1.
    ​

    II es un subanillo de AA

  2. 2.
    ​

    II tiene la propiedad de absorcion:

    ∀a∈A\forall a\in A, ∀r∈I\forall r\in I:

    • •
      ​

      a⁢r∈Iar\in I

    • •
      ​

      r⁢a∈Ira\in I

Proposition 2.2 (Caracterizacion de ideal).

Sean AA un anillo e I⊆AI\subseteq A, II es ideal de AA si y solo si

  • •
    ​

    0A∈I0_{A}\in I

  • •
    ​

    ∀a,b∈Ia−b∈I\forall a,b\in I\quad a-b\in I

  • •
    ​

    II tiene la propiedad de absorcion.

Proof 2.3.

Usar la caracterizacion que teniamos de subanillo y darse cuenta de que la absorcion implica que el producto sea cerrado.

Proposition 2.4.

Sean AA un anillo conmutativo y c∈Ac\in A. El conjunto

Ic≔{a⁢c∣a∈A}I_{c}\coloneqq\left\{ac\mid a\in A\right\}

es un ideal de AA.

Proof 2.5.
  1. 1.
    ​

    0A∈Ic0_{A}\in I_{c} porque 0A=c⋅0A0_{A}=c\cdot 0_{A}.

  2. 2.
    ​

    Sean x,y∈Ic⇒∃a,b∈A∣x=c⋅ax,y\in I_{c}\Rightarrow\exists a,b\in A\mid x=c\cdot a y y=c⋅b⇒x−y=c⋅a−c⋅b=c⁢(a−b)∈Icy=c\cdot b\Rightarrow x-y=c\cdot a-c\cdot b=c(a-b)\in I_{c}

  3. 3.
    ​

    Sea x∈Icx\in I_{c} y a∈Aa\in A, ∃b∈A∣x=c⁢b\exists b\in A\mid x=cb.

    Entonces x⋅a=c⋅b⋅a∈Icx\cdot a=c\cdot b\cdot a\in I_{c}.

Remark 2.6.

n⁢ℤn\mathbb{Z} es un ideal de ℤ\mathbb{Z} porque, con la notacion que estamos usando, n⁢ℤ=Inn\mathbb{Z}=I_{n}.

Remark 2.7.

En general, c∈Icc\in I_{c} no se cumple.

Como contraejemplo, A=2⁢ℤA=2\mathbb{Z} no tiene unidad y I2={2⁢x∣x∈2⁢ℤ}={…,−8,−4,0,4,…}=4⁢ℤI_{2}=\left\{2x\mid x\in 2\mathbb{Z}\right\}=\left\{\ldots,-8,-4,0,4,\ldots% \right\}=4\mathbb{Z}. En este caso 2∉I22\not\in I_{2}.

Proposition 2.8.

Si AA es un a.c.c.u. y c∈Ac\in A, entonces IcI_{c} se llama el ideal principal generado por cc. Es el minimo ideal (respecto de la relacion de contenido) al que cc pertenece.

Notacion: En este caso se usa la notacion Ic=(c)I_{c}=(c).

Proof 2.9.

Sabemos, por la proposicion 2, que IcI_{c} es ideal de AA.

Cumple que c∈Icc\in I_{c} porque c=c⋅1A∈Icc=c\cdot 1_{A}\in I_{c}.

Falta “es el minimo ideal con respecto la propiedad de ser ideal al que c pertenece”.

Demostrar eso se puede formalizar de la siguiente forma: Dado cualquier ideal JJ de AA tal que c∈Jc\in J, entonces Ic⊆JI_{c}\subseteq J.

Sea JJ ideal de AA tal que c∈Jc\in J. Quiero ver que Ic⊆JI_{c}\subseteq J.

Sea x∈Ic⇒∃a∈A∣x=c⋅a⇒x\in I_{c}\Rightarrow\exists a\in A\mid x=c\cdot a\Rightarrow Como JJ es ideal y c∈Jc\in J, por absorcion x=c⋅a∈Jx=c\cdot a\in J.

Example 2.10.
  • •
    ​

    Sea AA un anillo cualquiera. AA y {0A}\left\{0_{A}\right\} son ideales de AA. Se consideran los ideales triviales de AA.

  • •
    ​

    7⁢ℤ7\mathbb{Z} es ideal de ℤ\mathbb{Z}. Hemos visto en general que ∀n∈ℤ\forall n\in\mathbb{Z}, n⁢ℤn\mathbb{Z} es ideal de ℤ\mathbb{Z} (por la proposicion 2).

  • •
    ​

    {0,3}\left\{0,3\right\} es ideal de ℤ6\mathbb{Z}_{6}.

    ℤ6={0,1,2,3,4,5}\mathbb{Z}_{6}=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}. Veamos que {0,3}\left\{0,3\right\} es ideal:

    1. 1.
      ​

      0∈I0\in I

    2. 2.
      ​

      Cerrado para la resta:

      • –
        ​

        0−0=0∈I0-0=0\in I

      • –
        ​

        0−3=−3=3∈I0-3=-3=3\in I

      • –
        ​

        3−0=3∈I3-0=3\in I

      • –
        ​

        3−3=0∈I3-3=0\in I

    3. 3.
      ​

      Cumple la propiedad de absorcion.

    Luego I={0,3}I=\left\{0,3\right\} es ideal de ℤ6\mathbb{Z}_{6}.

    Como alternativa, se puede demostrar teniendo en cuenta que I={0,3}=I3=(3)I=\left\{0,3\right\}=I_{3}=(3). {0,3}\left\{0,3\right\} es el conjunto de todos los multiplos de 33.

  • •
    ​

    {x2⁢p⁢(x)∣p∈ℤ⁢[x]}\left\{x^{2}p(x)\mid p\in\mathbb{Z}[x]\right\} es ideal de ℤ⁢[x]\mathbb{Z}[x].

    Para demostrar que II es ideal basta con darse cuenta de que II es el conjunto de todos los multiplos de ℤ⁢[x]\mathbb{Z}[x] del polinomio x2x^{2} y utilizar la propiedad 2. I=(x2)I=(x^{2}).

  • •
    ​

    {2⁢a+x⁢p⁢(x)∣a∈ℤ,p∈ℤ⁢[x]}\left\{2a+xp(x)\mid a\in\mathbb{Z},p\in\mathbb{Z}[x]\right\} es ideal de ℤ⁢[x]\mathbb{Z}[x].

    II consiste en todos los polinomios con termino independiente par.

    Vamos a demostrar que II es ideal de ℤ⁢[x]\mathbb{Z}[x]:

    1. 1.
      ​

      c⁢(x)=0c(x)=0, el polinomio constante 0, es el neutro para la suma de este anillo.

      0∈I0\in I porque se obtiene tomando a=0a=0 y p⁢(x)=0p(x)=0.

    2. 2.
      ​

      Cerrado para la resta:

      2⁢a+x⁢p⁢(x)∈I2⁢b+x⁢q⁢(x)∈I}⇒(2⁢a+x⁢p⁢(x))−(2⁢b+x⁢q⁢(x))=2⁢(a−b)⏟∈ℤ+x⁢(p⁢(x)−q⁢(x))⏟∈ℤ⁢[x]∈I\begin{rcases}2a+xp(x)\in I\\ 2b+xq(x)\in I\end{rcases}\Rightarrow(2a+xp(x))-(2b+xq(x))=2\underbrace{(a-b)}_% {\in\mathbb{Z}}+x\underbrace{(p(x)-q(x))}_{\in\mathbb{Z}[x]}\in I
    3. 3.
      ​

      Absorcion:

      (x)=2⁢a+a1⁢x+a2⁢x2+⋯∈Ig⁢(x)=b0+b1⁢x+⋯∈ℤ⁢[x]}⇒f⁢(x)⋅g⁢(x)=2⋅a⋅b0+⋯∈I\begin{rcases}(x)=2a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots\in I\\ g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots\in\mathbb{Z}[x]\end{rcases}\Rightarrow f(x)\cdot g(x)% =2\cdot a\cdot b_{0}+\cdots\in I

      Luego II es ideal de ℤ⁢[x]\mathbb{Z}[x]

    Vamos a demostrar que II no es principal, es decir, que II no esta generado por un solo elemento. Por reduccion al absurdo, vamos a suponer que II es principal, es decir, que existe q⁢(x)q(x) tal que I=(q⁢(x))I=(q(x)).

    Observamos que f⁢(x)=2f(x)=2 (polinomio constante).

    Como 2∈I2\in I y estoy suponiendo que q⁢(x)q(x) genera I⇒∃p⁢(x)∈ℤ⁢[x]∣2=p⁢(x)⁢q⁢(x)I\Rightarrow\exists p(x)\in\mathbb{Z}[x]\mid 2=p(x)q(x).

    La unica opcion es que tanto p⁢(x)p(x) como q⁢(x)q(x) sean polinomios constantes.

    Solo hay 4 opciones: p⁢(x)=1⁢ y ⁢q⁢(x)=2p(x)=1\text{ y }q(x)=2, p⁢(x)=2p(x)=2 y q⁢(x)=1q(x)=1, p⁢(x)−1p(x)-1 y q⁢(x)=−2q(x)=-2, y p⁢(x)=−2p(x)=-2 y q⁢(x)=−1q(x)=-1.

    Como 1,−1∉I1,-1\not\in I pero q⁢(x)∈Iq(x)\in I, esto no es una opcion.

    Puede ser I=(2)=(−2)I=(2)=(-2).

    g⁢(x)=x∉(2)g(x)=x\not\in(2).

    Pero x∈Ix\in I porque tiene termino independiente par. Esto es una contradiccion. Por tanto, II no es principal.

  • •
    ​

    ℤ\mathbb{Z} es subanillo pero no ideal de ℤ⁢[x]\mathbb{Z}[x].

    Puedo ver ℤ\mathbb{Z} como un subanillo de ℤ⁢[x]\mathbb{Z}[x] identificando ℤ\mathbb{Z} como el conjunto de los polinomios constantes.

    ℤ\mathbb{Z}, obviamente, es subanillo. Sin embargo, no tiene la propiedad de absorcion:

    f⁢(x)=1∈ℤg⁢(x)=x∈ℤ⁢[x]}⇒f⁢(x)⋅g⁢(x)=x∉ℤ\begin{rcases}f(x)=1\in\mathbb{Z}\\ g(x)=x\in\mathbb{Z}[x]\end{rcases}\Rightarrow f(x)\cdot g(x)=x\not\in\mathbb{Z}

    Esto es un contraejemplo a la absorcion.

  • •
    ​

    K≔{(ab00)∣a,b∈ℝ}K\coloneqq\left\{\begin{pmatrix}a&b\\ 0&0\\ \end{pmatrix}\mid a,b\in\mathbb{R}\right\} es subanillo pero no ideal de ℳ︀2×2⁢(ℝ)\mathcal{{M}}_{2\times 2}(\mathbb{R}).

    Se puede verificar facilmente que cumple la caracterizacion de subanillo. Veamos que no tiene absorcion.

    (ab00)⋅(a′b′c′d′)=(a⋅a′b⋅b′00)\begin{pmatrix}a&b\\ 0&0\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a^{\prime}&b^{\prime}\\ c^{\prime}&d^{\prime}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\cdot a^{\prime}&b\cdot b^{\prime}\\ 0&0\\ \end{pmatrix}

    Pero no se tiene la absorcion por el otro lado:

    (a′b′c′d′)⋅(ab00)=(a⋅a′b⋅b′c′⋅ac′⋅b)∉K\begin{pmatrix}a^{\prime}&b^{\prime}\\ c^{\prime}&d^{\prime}\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\ 0&0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\cdot a^{\prime}&b\cdot b^{\prime}\\ c^{\prime}\cdot a&c^{\prime}\cdot b\\ \end{pmatrix}\not\in K

    Por ejemplo, (0010)⋅(1100)=(0011)∉K\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ 0&0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&1\\ \end{pmatrix}\not\in K.

    Luego KK no es ideal.

2.2 Anillo cociente

Definition 2.11 (Congruencia modulo un ideal).

Sean AA un anillo e II un ideal de AA.

Se dice que dos elementos a,b∈Aa,b\in A son congruentes modulo II si

a−b∈Ia-b\in I

Notacion: a≡b⁢ mod ⁢Ia\equiv b\text{ mod }I

Proposition 2.12.

La relacion de la definicion anterior es una relacion de equivalencia.

Proof 2.13.
  1. 1.
    ​

    Reflexiva: ∀a∈A⁢a≡a⁢ mod ⁢I\forall a\in A\;a\equiv a\text{ mod }I?

    a−a=0A∈Ia-a=0_{A}\in I (porque II es subanillo).

  2. 2.
    ​

    Simetrica: ∀a,b∈A\forall a,b\in A si a≡b⁢ mod ⁢I⇒a−b∈I⇒−(a−b)=b−a∈I⁢ (I es cerrado para opuestos) ⇒b≡a⁢ mod ⁢Ia\equiv b\text{ mod }I\Rightarrow a-b\in I\Rightarrow-(a-b)=b-a\in I\text{ (I % es cerrado para opuestos) }\Rightarrow b\equiv a\text{ mod }I.

  3. 3.
    ​

    Transitiva: ∀a,b,c∈A\forall a,b,c\in A si a≡b⁢ mod ⁢Ia\equiv b\text{ mod }I y b≡c⁢ mod ⁢I⇒a−b∈Ib\equiv c\text{ mod }I\Rightarrow a-b\in I y b−c∈I⇒a−b+b−c=a−c∈Ib-c\in I\Rightarrow a-b+b-c=a-c\in I (porque es cerrado para la suma) ⇒a≡c⁢ mod ⁢I\Rightarrow a\equiv c\text{ mod }I.

Las clases de equivalencia de la relacion anterior son [a]I≔{b∈A∣a≡b⁢ mod ⁢I}[a]_{I}\coloneqq\left\{b\in A\mid a\equiv b\text{ mod }I\right\}.

Proposition 2.14 (Descripcion de las clases de equivalencia).
[a]I={a+r∣r∈I}[a]_{I}=\left\{a+r\mid r\in I\right\}
Proof 2.15.

Lo demostraremos por doble contenido.

“⊆\subseteq” x∈[a]I⇒a≡x⁢ mod ⁢I⇒x−a∈I⇒∃r∈I∣x−a=r⇒x=a+rx\in[a]_{I}\Rightarrow a\equiv x\text{ mod }I\Rightarrow x-a\in I\Rightarrow% \exists r\in I\mid x-a=r\Rightarrow x=a+r.

“⊇\supseteq” Si x=a+rx=a+r con r∈Ir\in I, entonces x−a=r∈I⇒x≡a⁢ mod ⁢I⇒x∈[a]Ix-a=r\in I\Rightarrow x\equiv a\text{ mod }I\Rightarrow x\in[a]_{I}.

La Proposicion 2.14 sugiere la siguiente notacion, que sera la que usaremos a partir de ahora para las clases de equivalencia de la relacion anterior:

[a]I≔a+I[a]_{I}\coloneqq a+I
Definition 2.16.

Sean AA un anillo e II un ideal de AA. Denotamos el cociente de AA bajo la relacion de la Definicion 2.11 como

A/I≔{a+I∣a∈A}A/I\coloneqq\left\{a+I\mid a\in A\right\}
Proposition 2.17.

Sean AA un anillo e II un ideal de AA. Las operaciones en el cociente A/IA/I definidas como:

  • •
    ​

    (a+I)+(b+I)≔(a+b)+I(a+I)+(b+I)\coloneqq(a+b)+I

  • •
    ​

    (a+I)⋅(b+I)≔(a⋅b)+I(a+I)\cdot(b+I)\coloneqq(a\cdot b)+I

son operaciones internas bien definidas en el cociente A/I.A/I.

El cociente A/IA/I dotado de estas dos operaciones es un anillo. Ademas:

  • •
    ​

    Si AA es conmutativo, A/IA/I tambien lo es.

  • •
    ​

    Si AA es unitario, A/IA/I tambien lo es.

Proof 2.18.

Empezamos viendo que las operaciones esten bien definidas.

Supongamos a+I=c+Ia+I=c+I y b+I=d+Ib+I=d+I.

Tengo que ver que (a+b)+I=(c+d)+I(a+b)+I=(c+d)+I. Esto es lo mismo que ver si (a+b)−(c+d)∈I(a+b)-(c+d)\in I.

a−c⏟∈I(a+I=c+I)+b−d⏟∈I(b+I=d+I)∈I⁢ (cerrado para la suma)⇒(a+b)+I=(c+d)+I.\underbrace{a-c}_{\begin{subarray}{c}\in I\\ (a+I=c+I)\end{subarray}}+\underbrace{b-d}_{\begin{subarray}{c}\in I\\ (b+I=d+I)\end{subarray}}\in I\text{ (cerrado para la suma)}\Rightarrow(a+b)+I=% (c+d)+I.

He visto que la suma esta bien definida.

Veamos si tambien el producto: (a⋅b)+I⁢=?⁢(c⋅d)+I⇒a⁢b−c⁢d⁢∈?⁢I(a\cdot b)+I\overset{?}{=}(c\cdot d)+I\Rightarrow ab-cd\overset{?}{\in}I.

a⁢b−a⁢d+a⁢d−c⁢d=a⁢(b−d)⏟∈I⏟∈I(absorcion)+(a−c)⏟∈I⁢d⏟∈I(absorcion)∈I⇒a⁢b+I=c⁢d+Iab-ad+ad-cd=\underbrace{a\underbrace{(b-d)}_{\in I}}_{\begin{subarray}{c}\in I% \\ \text{(absorcion)}\end{subarray}}+\underbrace{\underbrace{(a-c)}_{\in I}d}_{% \begin{subarray}{c}\in I\\ \text{(absorcion)}\end{subarray}}\in I\Rightarrow ab+I=cd+I
Remark 2.19.

Hemos necesitado absorcion para demostrar que el producto esta bien definido.

Tenemos que ver que A/IA/I con esta suma y este producto es un anillo.

  • •
    ​

    Suma conmutativa: (a+I)+(b+I)⁢=D⁢E⁢F⁢(a+b)+I(a+I)+(b+I)\overset{DEF}{=}(a+b)+I. Como la suma es conmutativa en AA, (a+b)+I=(b+a)+I⁢=D⁢E⁢F⁢(b+I)+(a+I)(a+b)+I=(b+a)+I\overset{DEF}{=}(b+I)+(a+I).

    Analogamente, se demuestra que la suma es asociativa, el producto asociativo y la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

  • •
    ​

    Neutro de la suma: 0A+I0_{A}+I porque ∀a+I∈A/I\forall a+I\in A/I (a+I)+(0A+I)=(a+0A)+I=a+I(a+I)+(0_{A}+I)=(a+0_{A})+I=a+I.

  • •
    ​

    Opuestos: Dado a+I∈A/Ia+I\in A/I, su opuesto es −a+I-a+I porque (a+I)+(−a+I)=(a+(−a))+I=0A+I(a+I)+(-a+I)=(a+(-a))+I=0_{A}+I .

Por lo tanto, A/IA/I es un anillo.

Tenemos que demostrar que si AA es conmutativo, la propiedad se hereda a A/I⇒A/IA/I\Rightarrow A/I tambien es conmutativo.

Si AA es unitario, vamos a ver que 1A+I1_{A}+I es neutro para el producto en A/IA/I.

Para todo a+I∈A/Ia+I\in A/I se tiene que (a+I)⁢(1A+I)⁢=D⁢E⁢F⁢(a⋅1A)+I=a+I(a+I)(1_{A}+I)\overset{DEF}{=}(a\cdot 1_{A})+I=a+I.

Tambien (1A+I)⁢(a+I)=(1A⋅a)+I=a+I(1_{A}+I)(a+I)=(1_{A}\cdot a)+I=a+I.

Remark 2.20.

Como conjunto, quien es 0A+I⁢?0_{A}+I?

0A+I={0A+r∣r+I}={r∣r∈I}=I0_{A}+I=\left\{0_{A}+r\mid r+I\right\}=\left\{r\mid r\in I\right\}=I.

Example 2.21.

Veremos cuales son los anillos cociente de los anillos en el ejemplo 2.10.

  • •
    ​

    Sea AA un anillo cualquiera y I=AI=A. Dados x,y∈Ax,y\in A, x≡y⁢ mod ⁢I⇔x−y∈I=Ax\equiv y\text{ mod }I\iff x-y\in I=A. Luego en A/AA/A solo hay una clase: 0A+A0_{A}+A.

    A/A={0A+A}A/A=\left\{0_{A}+A\right\} es un anillo con un unico elemento.

    Si I={0A}I=\left\{0_{A}\right\}, x≡y⁢ mod ⁢{0A}⇒x−y=0A⇒x=yx\equiv y\text{ mod }\left\{0_{A}\right\}\Rightarrow x-y=0_{A}\Rightarrow x=y.

    Luego a+{0A}={a}a+\left\{0_{A}\right\}=\left\{a\right\}. Cada clase tiene un unico elemento.

    Obtengo un anillo que es practicamente AA. La diferencia es que en lugar de ser los elementos de AA, son sus clases.

    En general, la funcion

    f:A\displaystyle f\colon A
    ⟶A/{0A}\displaystyle{}\longrightarrow A/\left\{0_{A}\right\}
    a\displaystyle a
    ⟼f⁢(a)={a}\displaystyle{}\longmapsto f(a)=\left\{a\right\}

    es isomorfismo de anillos (A/{0A}≅AA/\left\{0_{A}\right\}\cong A).

  • •
    ​

    Sea ℤ\mathbb{Z} y I=7⁢ℤI=7\mathbb{Z}. Las clases son 0+7⁢ℤ0+7\mathbb{Z}, 1+7⁢ℤ1+7\mathbb{Z}, 2+7⁢ℤ2+7\mathbb{Z}, 3+7⁢ℤ3+7\mathbb{Z}, 4+7⁢ℤ4+7\mathbb{Z}, 5+7⁢ℤ5+7\mathbb{Z}, 6+7⁢ℤ6+7\mathbb{Z}.

    En este caso ℤ/7⁢ℤ=ℤ7\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_{7}.

    x≡y⁢ mod ⁢7⁢ℤ⇔x−y∈7⁢ℤ⇒x−yx\equiv y\text{ mod }7\mathbb{Z}\iff x-y\in 7\mathbb{Z}\Rightarrow x-y es multiplo de 7 ⇔x≡y⁢ mod ⁢7\iff x\equiv y\text{ mod }7.

    En general, si n≥2n\geq 2, ℤ/n⁢ℤ=ℤn\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_{n}.

  • •
    ​

    ℤ6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}\mathbb{Z}_{6}=\left\{[0],[1],[2],[3],[4],[5]\right\} ←\leftarrow es un anillo cociente de ℤ\mathbb{Z} porque ℤ6=ℤ/6⁢ℤ\mathbb{Z}_{6}=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}.

    I={[0],[3]}I=\left\{[0],[3]\right\} es un ideal de ℤ6\mathbb{Z}_{6}.

    Veamos quien es ℤ6/I\mathbb{Z}_{6}/I.

    [0]+I={[0]+[0],[0]+[3]}={[0],[3]}[0]+I=\left\{[0]+[0],[0]+[3]\right\}=\left\{[0],[3]\right\}.

    [1]+I={[1]+[0],[1]+[3]}={[1],[4]}[1]+I=\left\{[1]+[0],[1]+[3]\right\}=\left\{[1],[4]\right\}.

    [2]+I={[2]+[0],[2]+[3]}={[2],[5]}[2]+I=\left\{[2]+[0],[2]+[3]\right\}=\left\{[2],[5]\right\}.

    Ya estan todos los elementos de ℤ6\mathbb{Z}_{6}.

    ℤ6/I={0+I,1+I,2+I}.\mathbb{Z}_{6}/I=\left\{0+I,1+I,2+I\right\}.

    Ademas, se tiene que ℤ6/I≅ℤ3\mathbb{Z}_{6}/I\cong\mathbb{Z}_{3} (se puede comprobar haciendo tabla para la suma y el producto, observando que son modulo 3).

  • •
    ​

    A=ℤ⁢[x]A=\mathbb{Z}[x] y I=(x2)={x2⋅p⁢(x)∣p⁢(x)∈ℤ⁢[x]}I=(x^{2})=\left\{x^{2}\cdot p(x)\mid p(x)\in\mathbb{Z}[x]\right\}.

    A/I={q⁢(x)+I∣q⁢(x)∈ℤ⁢[x]}A/I=\left\{q(x)+I\mid q(x)\in\mathbb{Z}[x]\right\}.

    Dada una clase, cual sera el representante mas sencillo?

    Un ejemplo de polinomio es q⁢(x)=3+7⁢x−8⁢x2+15⁢x4q(x)=3+7x-8x^{2}+15x^{4}. Si tomo g⁢(x)=3+7⁢xg(x)=3+7x, tengo que g⁢(x)+I=q⁢(x)+Ig(x)+I=q(x)+I porque q⁢(x)−g⁢(x)=3+7⁢x−8⁢x2+14⁢x4−(3+7⁢x)=−8⁢x2+15⁢x4=x2⁢(−8+15⁢x2)∈Iq(x)-g(x)=3+7x-8x^{2}+14x^{4}-(3+7x)=-8x^{2}+15x^{4}=x^{2}(-8+15x^{2})\in I.

    En general, dado q⁢(x)=a0+a1⁢x+a2⁢x2+⋯+an⁢xnq(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n} el polinomio g⁢(x)=a0+a1⁢xg(x)=a_{0}+a_{1}x esta en la misma clase porque q⁢(x)−g⁢(x)=a2⁢x2+⋯+an⁢xn=x2⁢(a2+⋯)∈Iq(x)-g(x)=a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}=x^{2}(a_{2}+\cdots)\in I.

    Mi cociente lo puedo expresar como A/I={a0+a1⁢x+I∣a0,a1∈ℤ}A/I=\left\{a_{0}+a_{1}x+I\mid a_{0},a_{1}\in\mathbb{Z}\right\}.

    Ademas, estos representantes forman un “conjunto completo de representantes”, es decir, estan todas las clases y no hay clases repetidas.

    Supongamos que a0+a1⁢x+I=b0+b1⁢x+Ia_{0}+a_{1}x+I=b_{0}+b_{1}x+I. Entonces a0+a1⁢x−b0−b1⁢xa_{0}+a_{1}x-b_{0}-b_{1}x es multiplo de x2x^{2}. La unica forma es que sea 0⇒a0+a1⁢x=b0+b1⁢x0\Rightarrow a_{0}+a_{1}x=b_{0}+b_{1}x.

    Este cociente es el que tiene como representantes a todas las clases de polinomios de grado ≤1\leq 1.

  • •
    ​

    A=ℤ⁢[x]A=\mathbb{Z}[x] y I={2⁢a+x⁢p⁢(x)∣a∈ℤ,p∈ℤ⁢[x]}I=\left\{2a+xp(x)\mid a\in\mathbb{Z},p\in\mathbb{Z}[x]\right\}.

    f⁢(x)≡g⁢(x)⁢ mod ⁢I⇔f⁢(x)−g⁢(x)∈I⇔f⁢(x)−g⁢(x)f(x)\equiv g(x)\text{ mod }I\iff f(x)-g(x)\in I\iff f(x)-g(x) tiene termino independiente par.

    Quien es 0+I0+I? 0+I=I0+I=I.

    Si f⁢(x),g⁢(x)≠I⇒f(x),g(x)\neq I\Rightarrow tienen termino independiente impar ⇒\Rightarrow su resta tiene termino independiente par ⇒f⁢(x)≡g⁢(x)⁢ mod ⁢I\Rightarrow f(x)\equiv g(x)\text{ mod }I.

    Solo hay 2 clases de equivalencia.

    A/I={0+I,1+I}A/I=\left\{0+I,1+I\right\}.

    Ya sabemos que A/I≅ℤ2A/I\cong\mathbb{Z}_{2} (porque es el unico anillo unitario con 2 elementos).

  • •
    ​

    ℤ\mathbb{Z} es subanillo de ℤ⁢[x]\mathbb{Z}[x].

    f⁢(x)≡g⁢(x)⁢ mod ⁢ℤf(x)\equiv g(x)\text{ mod }\mathbb{Z}.

    Supongamos que en el cociente que queda intento definir la multiplicacion operando representantes: ((x+1)+ℤ)⁢((x+2)+ℤ)=(x2+3⁢x+2)+ℤ((x+1)+\mathbb{Z})((x+2)+\mathbb{Z})=(x^{2}+3x+2)+\mathbb{Z}.

    Cambiando representante, ((x+2)+ℤ)⁢((x+2)+ℤ)=(x2+4⁢x+4)+ℤ((x+2)+\mathbb{Z})((x+2)+\mathbb{Z})=(x^{2}+4x+4)+\mathbb{Z} pero (x2+3⁢x+2)+ℤ≠(x2+4⁢x+4)+ℤ(x^{2}+3x+2)+\mathbb{Z}\neq(x^{2}+4x+4)+\mathbb{Z}

    Esta operacion no esta bien definida porque depende de la eleccion de representante (no ha funcionado porque ℤ\mathbb{Z} no es ideal de ℤ⁢[x]\mathbb{Z}[x]).

2.3 Teoremas de isomorfía para anillos

Proposition 2.22.

Sean AA un anillo y CC un subanillo de AA. La funcion inclusion de CC en AA definida como

i:C\displaystyle i\colon C
⟶A\displaystyle{}\longrightarrow A
x\displaystyle x
⟼x\displaystyle{}\longmapsto x

es un homomorfismo inyectivo de anillos (o monomorfismo).

Proof 2.23.

Trivial.

Proposition 2.24.

Sean AA un anillo e II un ideal de AA. La funcion proyeccion sobre el cociente definida como

π:A\displaystyle\pi\colon A
⟶A/I\displaystyle{}\longrightarrow A/I
x\displaystyle x
⟼x+I\displaystyle{}\longmapsto x+I

es un homomorfismo suprayectivo de anillos (o epimorfismo).

Proof 2.25.

Usando las propiedades de la suma y producto de clases,

Suma: π⁢(x+y)=(x+y)+I⁢=D⁢E⁢F⁢(x+I)+(y+I)=π⁢(x)+π⁢(y)\pi(x+y)=(x+y)+I\overset{DEF}{=}(x+I)+(y+I)=\pi(x)+\pi(y).

Producto: π⁢(x⋅y)=(x⋅y)+I⁢=D⁢E⁢F⁢(x+I)⋅(y+I)=π⁢(x)⋅π⁢(y)\pi(x\cdot y)=(x\cdot y)+I\overset{DEF}{=}(x+I)\cdot(y+I)=\pi(x)\cdot\pi(y).

Luego es un homomorfismo.

Veamos que π\pi es suprayectiva.

Sea z∈A/Iz\in A/I, zz es de la forma z=x+Iz=x+I para algun x∈Ax\in A.

Entonces π⁢(x)=x+I=z\pi(x)=x+I=z.

Luego zz tiene una preimagen que es x⇒πx\Rightarrow\pi es suprayectiva.

Proposition 2.26.

Sea f:A→Bf\colon A\to B un homomorfismo de anillos. K⁢e⁢r⁢fKerf es un ideal de AA.

Proof 2.27.

Veamos que K⁢e⁢r⁢fKerf es ideal de AA.

Sabemos, por el tema 1, que K⁢e⁢r⁢fKerf es subanillo de AA. Falta demostrar la propiedad de absorcion.

Sean a∈A,r∈K⁢e⁢r⁢fa\in A,r\in Kerf. Comprobemos si a⋅r∈K⁢e⁢r⁢fa\cdot r\in Kerf.

f⁢(a⋅r)=f⁢(a)⋅f⁢(r)⁢=r∈K⁢e⁢r⁢f⁢f⁢(a)⋅0B=0B⇒a⋅r∈K⁢e⁢r⁢ff(a\cdot r)=f(a)\cdot f(r)\overset{r\in Kerf}{=}f(a)\cdot 0_{B}=0_{B}% \Rightarrow a\cdot r\in Kerf

Analogamente, r⋅a∈K⁢e⁢r⁢fr\cdot a\in Kerf.

Theorem 2.28 (Primer teorema de isomorfia de anillos).

Sea f:A→Bf\colon A\to B un homomorfismo de anillos suprayectivo. Entonces la siguiente funcion es un isomorfismo de anillos:

f¯:A/K⁢e⁢r⁢f\displaystyle\overline{f}\colon A/Kerf
⟶B\displaystyle{}\longrightarrow B
a+K⁢e⁢r⁢f\displaystyle a+Kerf
⟼f¯⁢(a+K⁢e⁢r⁢f)≔f⁢(a)\displaystyle{}\longmapsto\overline{f}(a+Kerf)\coloneqq f(a)
Proof 2.29.

Denotaremos con K=K⁢e⁢r⁢fK=Kerf.

Definimos

f¯:A/K→B\displaystyle\overline{f}\colon A/K\to B
a+I→f⁢(a)\displaystyle a+I\to f(a)

Como tengo una funcion definida sobre un cociente en terminos del representante, tengo que demostrar que esta bien definida.

Es decir, ∀(a+K),(b+K)∈A/K\forall(a+K),(b+K)\in A/K si a+K=b+Ka+K=b+K, entonces f¯⁢(a+K)=f¯⁢(b+K)\overline{f}(a+K)=\overline{f}(b+K).

a+K=b+K⁢⇒D⁢E⁢F⁢a−b∈K⇒f⁢(a−b)=0⇒f⁢(a)−f⁢(b)=0⇒⇒f⁢(a)=f⁢(b)⇒f¯⁢(a+K)=f¯⁢(b+K){}a+K=b+K\overset{DEF}{\Rightarrow}a-b\in K\Rightarrow f(a-b)=0\Rightarrow f(a% )-f(b)=0\Rightarrow\\ {}\Rightarrow f(a)=f(b)\Rightarrow\overline{f}(a+K)=\overline{f}(b+K)

Veamos que es homomorfismo. Sean (a+K),(b+K)∈A/K(a+K),(b+K)\in A/K,

f¯⁢((a+K)+(b+K))⁢=D⁢E⁢FS⁢u⁢m⁢aA/K⁢f¯⁢((a+b)+K)⁢=DEF ⁢f⁢f⁢(a+b)⁢=f⁢h⁢o⁢m⁢f⁢(a)+f⁢(b)=f¯⁢(a+K)+f¯⁢(b+K)\overline{f}((a+K)+(b+K))\overset{\begin{subarray}{c}DEF\\ Suma\\ A/K\end{subarray}}{=}\overline{f}((a+b)+K)\overset{\text{DEF }f}{=}f(a+b)% \overset{fhom}{=}f(a)+f(b)=\overline{f}(a+K)+\overline{f}(b+K)

Esto es analogo para el producto.

Comprobamos que ff es inyectiva: f¯⁢(a+K)=f¯⁢(b+K)⁢⇒?⁢a+K=b+K\overline{f}(a+K)=\overline{f}(b+K)\overset{?}{\Rightarrow}a+K=b+K.

f¯⁢(a+K)=f¯⁢(b+K)⇒f⁢(a)=f⁢(b)⇒f⁢(a)−f⁢(b)=0B⇒f⁢(a−b)=0B⇒⇒a−b∈K⇒a+K=b+K{}\overline{f}(a+K)=\overline{f}(b+K)\Rightarrow f(a)=f(b)\Rightarrow f(a)-f(b% )=0_{B}\Rightarrow f(a-b)=0_{B}\Rightarrow\\ {}\Rightarrow a-b\in K\Rightarrow a+K=b+K

Veamos que f¯\overline{f} es suprayectiva.

Sea z∈Bz\in B, como ff es suprayectiva ⇒∃a∈A∣f⁢(a)=z\Rightarrow\exists a\in A\mid f(a)=z.

Entonces f¯⁢(a+K)≔f⁢(a)=z\overline{f}(a+K)\coloneqq f(a)=z.

Corollary 2.30.

Sea f:A→Bf\colon A\to B un homomorfismo de anillos. Entonces la siguiente funcion es un isomorfismo de anillos:

f¯:A/K⁢e⁢r⁢f\displaystyle\overline{f}\colon A/Kerf
⟶I⁢m⁢f\displaystyle{}\longrightarrow Imf
a+K⁢e⁢r⁢f\displaystyle a+Kerf
⟼f¯⁢(a+K⁢e⁢r⁢f)≔f⁢(a)\displaystyle{}\longmapsto\overline{f}(a+Kerf)\coloneqq f(a)
Proof 2.31.

Dado f:A→Bf\colon A\to B, defino una nueva funcion

f^:A\displaystyle\hat{f}\colon A
⟶I⁢m⁢f\displaystyle{}\longrightarrow Imf
x\displaystyle x
⟼f^⁢(x)=f⁢(x)\displaystyle{}\longmapsto\hat{f}(x)=f(x)

Obviamente f^\hat{f} es un homomorfismo suprayectivo de anillos.

Aplico el teorema 1 que acabo de demostrar a f^\hat{f} y tenemos

f¯:A/K⁢e⁢r⁢f\displaystyle\overline{f}\colon A/Kerf
⟶I⁢m⁢f\displaystyle{}\longrightarrow Imf
a+K⁢e⁢r⁢f^\displaystyle a+Ker\hat{f}
⟼f¯(a+K⁢e⁢r⁢f^⏟=K⁢e⁢r⁢f=f^(a)=f(a)\displaystyle{}\longmapsto\overline{f}(a+\underbrace{Ker\hat{f}}_{=Kerf}=\hat{% f}(a)=f(a)

Luego la funcion

f¯:A/K⁢e⁢r⁢f\displaystyle\overline{f}\colon A/Kerf
⟶I⁢m⁢f\displaystyle{}\longrightarrow Imf
a+K⁢e⁢r⁢f\displaystyle a+Kerf
⟼f¯⁢(a+K⁢e⁢r⁢f)=f⁢(a)\displaystyle{}\longmapsto\overline{f}(a+Kerf)=f(a)

es isomorfismo de anillos.

En particular, A/K⁢e⁢r⁢f≅I⁢m⁢fA/Kerf\cong Imf.

Corollary 2.32.

Sea f:A→Bf\colon A\to B un homomorfismo de anillos. Entonces existen:

  • •
    ​

    π\pi homomorfismo suprayectivo

  • •
    ​

    f¯\overline{f} isomorfismo

  • •
    ​

    ii homomorfismo inyectivo

tales que f=i∘f¯∘πf=i\circ\overline{f}\circ\pi.

Proof 2.33.

Sea f:A→Bf\colon A\to B homomorfismo.

Por el corolario 2, f¯:A/K⁢e⁢r⁢f→I⁢m⁢f\overline{f}\colon A/Kerf\to Imf es un isomorfismo.

A{A}B{B}A/K⁢e⁢r⁢f{{A/Kerf}}I⁢m⁢f{Imf}π\scriptstyle{\pi}i\scriptstyle{i}f\scriptstyle{f}f¯\scriptstyle{\overline{f}}

Por tanto f=i∘f¯∘πf=i\circ\overline{f}\circ\pi porque ∀a∈A\forall a\in A i⁢(f¯⁢(π⁢(a)))=i⁢(f¯⁢(a+K))=i⁢(f⁢(a))=f⁢(a)i(\overline{f}(\pi(a)))=i(\overline{f}(a+K))=i(f(a))=f(a).

Example 2.34.

Dada la funcion

f:ℤ20\displaystyle f\colon\mathbb{Z}_{20}
⟶ℤ10\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{Z}_{10}
[x]20\displaystyle[x]_{20}
⟼f⁢([x]20)=[6⁢x]10\displaystyle{}\longmapsto f([x]_{20})=[6x]_{10}

demostrar que esra bien definida y que es un homomorfismo de anillos. Hallar explicitamente K⁢e⁢r⁢fKerf, I⁢m⁢fImf, el anillo cociente ℤ20/K⁢e⁢r⁢f\mathbb{Z}_{20}/Kerf y la funcion f¯\overline{f} que aparece en el corolario 1 del primer teorema de isomorfia.

Vamos a ver que ff esta bien definida (porque esta definida sobre un cociente y depende del representante).

[x]20=[y]20⁢⇒?⁢[6⁢x]10=[6⁢y]10[x]_{20}=[y]_{20}\overset{?}{\Rightarrow}[6x]_{10}=[6y]_{10}.

[x]20=[y]20⇒x−y=20⋅k⇒6⁢x−6⁢y=120⁢k=10⋅12⋅k⇒[6⁢x]10=[6⁢y]10[x]_{20}=[y]_{20}\Rightarrow x-y=20\cdot k\Rightarrow 6x-6y=120k=10\cdot 12% \cdot k\Rightarrow[6x]_{10}=[6y]_{10}. Luego esta bien definida.

Veamos que ff es homomorfismo.

f⁢([x]20+[y]20)=f⁢([x+y]20)=[6⁢(x+y)]10=[6⁢x+6⁢y]10=[6⁢x]10+[6⁢y]10=f⁢([x]2⁢0)+f⁢([y]20)f([x]_{20}+[y]_{20})=f([x+y]_{20})=[6(x+y)]_{10}=[6x+6y]_{10}=[6x]_{10}+[6y]_{% 10}=f([x]_{2}0)+f([y]_{20})

Para el producto, f⁢([x]20⋅[y]20)=f⁢([x⁢y]2⁢0)=[6⁢x⁢y]10f([x]_{20}\cdot[y]_{20})=f([xy]_{2}0)=[6xy]_{10} y f⁢([x]20)⁢f⁢([y]2⁢0)=[6⁢x]10⋅[6⁢y]10=[36⁢x⁢y]10=[36]10⋅[x⁢y]10=[6]10⋅[x⁢y]1⁢0=[6⁢x⁢y]10f([x]_{20})f([y]_{2}0)=[6x]_{10}\cdot[6y]_{10}=[36xy]_{10}=[36]_{10}\cdot[xy]_% {10}=[6]_{10}\cdot[xy]_{1}0=[6xy]_{10}.

Ya se que ff es homomorfismo de anillos.

K⁢e⁢r⁢f⁢?Kerf?, I⁢m⁢f⁢?Imf?.

20
→[0]10\displaystyle{}\to[0]_{10}
[1]20\displaystyle[1]_{20}
→[6]10\displaystyle{}\to[6]_{10}
[2]20\displaystyle[2]_{20}
→[12]10=[2]10\displaystyle{}\to[12]_{10}=[2]_{10}
[3]20\displaystyle[3]_{20}
→[18]10=[8]10\displaystyle{}\to[18]_{10}=[8]_{10}
[4]20\displaystyle[4]_{20}
→[24]10=[4]10\displaystyle{}\to[24]_{10}=[4]_{10}

Por tanto, I⁢m⁢f={[0]10,[6]10,[2]10,[8]10,[4]10}=PImf=\left\{[0]_{10},[6]_{10},[2]_{10},[8]_{10},[4]_{10}\right\}=P.

K=K⁢e⁢r⁢f={[0]20,[5]20,[10]20,[15]20}K=Kerf=\left\{[0]_{20},[5]_{20},[10]_{20},[15]_{20}\right\} →\rightarrow ideal de ℤ20\mathbb{Z}_{20} porque es el nucleo de un homomorfismo.

Quien es ℤ20/K\mathbb{Z}_{20}/K?

+20K=K\displaystyle{}_{20}+K=K
[1]20+K={[1]20,[6]20,[11]20,[16]20}\displaystyle[1]_{20}+K=\left\{[1]_{20},[6]_{20},[11]_{20},[16]_{20}\right\}
[2]20+K={[2]20,[7]20,[12]20,[17]20}\displaystyle[2]_{20}+K=\left\{[2]_{20},[7]_{20},[12]_{20},[17]_{20}\right\}
[3]20+K={[3]20,[8]20,[13]20,[18]20}\displaystyle[3]_{20}+K=\left\{[3]_{20},[8]_{20},[13]_{20},[18]_{20}\right\}
[4]20+K={[4]20,[9]20,[14]20,[19]20}\displaystyle[4]_{20}+K=\left\{[4]_{20},[9]_{20},[14]_{20},[19]_{20}\right\}

ℤ20/K={[0]20+K,[1]20+K,[2]20+K,[3]20+K,[4]20+K}\mathbb{Z}_{20}/K=\left\{[0]_{20}+K,[1]_{20}+K,[2]_{20}+K,[3]_{20}+K,[4]_{20}+% K\right\}

Quien es la f¯\overline{f} del primer teorema de isomorfia que hace que en ℤ20/K≅P\mathbb{Z}_{20}/K\cong P?

f¯:ℤ20/K\displaystyle\overline{f}\colon\mathbb{Z}_{20}/K
⟶P\displaystyle{}\longrightarrow P
[a]20+K\displaystyle[a]_{20}+K
⟼f¯⁢([a]20+K)=f⁢(a)\displaystyle{}\longmapsto\overline{f}([a]_{20}+K)=f(a)
0,5,10,15{{0,5,10,15}}[0]10{{[0]_{10}}}1,6,11,16{{1,6,11,16}}[1]10{{[1]_{10}}}2,7,12,17{{2,7,12,17}}[2]10{{[2]_{10}}}2,8,13,18{{2,8,13,18}}[3]10{{[3]_{10}}}4,9,14,19{{4,9,14,19}}[4]10{{[4]_{10}}}f¯\scriptstyle{\overline{f}}

El primer teorema de isomorfia me dice que f¯\overline{f} es isomorfismo de anillos.

Por tanto, tenemos que ℤ20=ℤ/ℤ20\mathbb{Z}_{20}=\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{20}, K=5Z/20/ZK=\frac{5}{Z}/20/Z y ℤ20/K=(ℤ/ℤ20)/5⁢ℤ/20⁢ℤ\mathbb{Z}_{20}/K=(\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{20})/5\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}.

Aplicando el tercer teorema de isomorfia, ℤ/5⁢ℤ=ℤ5\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_{5}.

Example 2.35.

Usar el Primer Teorema de Isomorfia para demostrar que ℤ⁢[x]/(x)≅ℤ\mathbb{Z}[x]/(x)\cong\mathbb{Z}.

I=(x)={x⁢p⁢(x)∣p⁢(x)∈ℤ}I=(x)=\left\{xp(x)\mid p(x)\in\mathbb{Z}\right\} (polinomios con term. indep. 0).

Tengo el cociente A/I=ℤ⁢[x]/(x)A/I=\mathbb{Z}[x]/(x).

Ejemplo: 5+7⁢x+9⁢x3+(x)=5+(x)5+7x+9x^{3}+(x)=5+(x) porque 5+7⁢x+9⁢x3−5=7⁢x+9⁢x3∈I=(x)5+7x+9x^{3}-5=7x+9x^{3}\in I=(x).

Otra forma de visualizarlo 5+7⁢x+9⁢x3+(x)=5+(x)+(7⁢x+9⁢x3)+(x)⏟0+(x)porque ⁢7⁢x+9⁢x3∈(x)5+7x+9x^{3}+(x)=5+(x)+\underbrace{(7x+9x^{3})+(x)}_{\begin{subarray}{c}0+(x)\\ \text{porque }7x+9x^{3}\in(x)\end{subarray}}.

En general, a0+a1⁢x+a2⋅x2+⋯+(x)=a0+(x)a_{0}+a_{1}x+a_{2}\cdot x^{2}+\cdots+(x)=a_{0}+(x).

ℤ⁢[x]/(x)={a+(x)∣a∈ℤ}\mathbb{Z}[x]/(x)=\left\{a+(x)\mid a\in\mathbb{Z}\right\}.

Vamos a demostrar que ℤ⁢[x]/(x)≅ℤ\mathbb{Z}[x]/(x)\cong\mathbb{Z} usando el primer teorema de isomorfia.

f:ℤ⁢[x]\displaystyle f\colon\mathbb{Z}[x]
⟶ℤ\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{Z}
a0+a1⁢x+a2⁢x2+⋯\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots
⟼a0\displaystyle{}\longmapsto a_{0}

Es f homomorfismo de anillos?

f⁢(a0+a1⁢x+c⁢d⁢o⁢t⁢s+b0+b1⁢x+⋯)=f⁢(a0+b0+(a1+b1)⁢x+⋯)=a0+b0==f⁢(a0+a1⁢x+⋯)+f⁢(b0+b1⁢x+⋯){}f(a_{0}+a_{1}x+cdots+b_{0}+b_{1}x+\cdots)=f(a_{0}+b_{0}+(a_{1}+b_{1})x+% \cdots)=a_{0}+b_{0}=\\ {}=f(a_{0}+a_{1}x+\cdots)+f(b_{0}+b_{1}x+\cdots)
f⁢((a0+a1⁢x+⋯)⁢(b0+b1⁢x+⋯))=f⁢(a0⁢b0+ terminos de grado ≥1)==a0⁢b0=f⁢(a0+a1⁢x+⋯)⋅f⁢(b0+b1⁢x+⋯){}f((a_{0}+a_{1}x+\cdots)(b_{0}+b_{1}x+\cdots))=f(a_{0}b_{0}+\text{ terminos % de grado }\geq 1)=\\ {}=a_{0}b_{0}=f(a_{0}+a_{1}x+\cdots)\cdot f(b_{0}+b_{1}x+\cdots)

Aplicando el primer teorema de isomorfia, ℤ⁢[x]/K⁢e⁢r⁢f≅I⁢m⁢f\mathbb{Z}[x]/Kerf\cong Imf.

ff es suprayectiva porque dado a∈ℤa\in\mathbb{Z} tiene preimagen.

f⁢(p⁢(x)+a)=a⇒I⁢m⁢f=ℤf(p(x)+a)=a\Rightarrow Imf=\mathbb{Z}.

K⁢e⁢r⁢f={p⁢(x)∣f⁢(p⁢(x))=0}={a0+a1⁢x+a2⁢x2+⋯∣a0=0}={a1⁢x+a2⁢x2}=(x)=I⇒ℤ⁢[x]/(x)≅ℤKerf=\left\{p(x)\mid f(p(x))=0\right\}=\left\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots% \mid a_{0}=0\right\}=\left\{a_{1}x+a_{2}x^{2}\right\}=(x)=I\Rightarrow\mathbb{% Z}[x]/(x)\cong\mathbb{Z}.

Quien es f¯\overline{f}?

f¯:ℤ⁢[x]/(x)\displaystyle\overline{f}\colon\mathbb{Z}[x]/(x)
⟶ℤ\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{Z}
a0+(x)\displaystyle a_{0}+(x)
⟼f¯⁢(a0+(x))=f⁢(a0+a1⁢x+⋯)=a0\displaystyle{}\longmapsto\overline{f}(a_{0}+(x))=f(a_{0}+a_{1}x+\cdots)=a_{0}
Theorem 2.36 (Segundo teorema de isomorfia).

Sean I,JI,J ideales de un anillo AA. Entonces:

  1. 1.
    ​

    I∩JI\cap J es un ideal de II.

  2. 2.
    ​

    JJ es ideal de I+JI+J.

  3. 3.
    ​

    Los anillos I/(I∩J)I/(I\cap J) y (I+J)/J(I+J)/J son isomorfos.

Proof 2.37.

Ejercicio.

Theorem 2.38 (Tercer teorema de isomorfia).

Sean I,KI,K ideales de un anillo AA tales que I⊆KI\subseteq K. Entonces (A/I)/(K/I)(A/I)/(K/I) y A/KA/K son anillos isomorfos.

Proof 2.39.

Ejercicio.

2.4 Ideales primos y maximales

Definition 2.40.

Sea AA un anillo conmutativo y PP un ideal de AA. Decimos que PP es ideal primo de AA si cumple:

  • •
    ​

    P≠AP\neq A

  • •
    ​

    ∀a,b∈A⁢(a⁢b∈P⇒a∈P∨b∈P)\forall a,b\in A\;(ab\in P\Rightarrow a\in P\vee b\in P)

Proposition 2.41.

En ℤ\mathbb{Z}, dado n≥2n\geq 2, se cumple

n⁢ℤ⁢ es ideal primo⇔n⁢ es numero primon\mathbb{Z}\text{ es ideal primo}\iff n\text{ es numero primo}
Proof 2.42.

“⇐\Leftarrow” Quiero ver que n⁢ℤn\mathbb{Z} es ideal primo de ℤ\mathbb{Z} (sabemos que n⁢ℤn\mathbb{Z} es ideal).

n≥2⇒n⁢ℤ≠ℤn\geq 2\Rightarrow n\mathbb{Z}\neq\mathbb{Z}.

Supongamos que a⋅b∈n⁢ℤ⇒n|a⋅ba\cdot b\in n\mathbb{Z}\Rightarrow n|a\cdot b. Como nn es primo, por el lema de Euclides se cumple que n|an|a o n|b⇒a∈n⁢ℤn|b\Rightarrow a\in n\mathbb{Z} o b∈n⁢ℤb\in n\mathbb{Z}.

“⇒\Rightarrow” Por contrarreciproco, voy a demostrar que, si nn es compuesto, entonces n⁢ℤn\mathbb{Z} no es ideal primo.

Como nn es compuesto, ∃d1,d2∈ℕ\exists d_{1},d_{2}\in\mathbb{N}, 2≤d1,d2≤n−12\leq d_{1},d_{2}\leq n-1 tales que n=d1⋅d2n=d_{1}\cdot d_{2}.

Luego n=d1⋅d2∈n⁢ℤn=d_{1}\cdot d_{2}\in n\mathbb{Z} pero d1∉n⁢ℤd_{1}\notin n\mathbb{Z} y d2∉n⁢ℤd_{2}\notin n\mathbb{Z} porque 2≤d1,d2≤n−12\leq d_{1},d_{2}\leq n-1. Luego n⁢ℤn\mathbb{Z} no es primo.

Proposition 2.43.

Sean AA un a.c.c.u. y P≠AP\neq A un ideal de AA. Se cumple

P⁢ es ideal primo⇔A/P⁢ es dominio de integridadP\text{ es ideal primo}\iff A/P\text{ es dominio de integridad}
Proof 2.44.

“⇒\Rightarrow” Por reduccion al absurdo, supongamos que A/PA/P no es dominio de integridad. Entonces, ∃(a+P),(b+P)∈A/P\exists(a+P),(b+P)\in A/P que son divisores de cero, es decir, (a+P)⏟≠0+P⁢(b+P)⏟≠0+P=0+P⇒a⁢b+P=0+P⇒a⋅b∈P⇒a∈P∨b∈P\underbrace{(a+P)}_{\neq 0+P}\underbrace{(b+P)}_{\neq 0+P}=0+P\Rightarrow ab+P% =0+P\Rightarrow a\cdot b\in P\Rightarrow a\in P\vee b\in P. Por tanto, o bien a+P=0+Pa+P=0+P o bien b+P=0+Pb+P=0+P, pero esto es una contradiccion.

“⇐\Leftarrow” Supongamos que A/PA/P es dominio de integridad. Quiero demostrar que PP es primo.

Supongamos que a⋅b∈P⇒a⋅b+P=0+P⇒(a+P)⁢(b+P)=0+Pa\cdot b\in P\Rightarrow a\cdot b+P=0+P\Rightarrow(a+P)(b+P)=0+P. Como A/PA/P es D.I., o bien a+P=0+Pa+P=0+P o bien b+P=0+P⇒a∈P∨b∈Pb+P=0+P\Rightarrow a\in P\vee b\in P.

Example 2.45.

Forma alternativa de demostrar la proposicion 2.43:

n⁢ℤ⁢ primo⇔ℤ/n⁢ℤ=ℤn⁢ es D.I.⁢⇔Tema 1⁢n⁢ primon\mathbb{Z}\text{ primo}\iff\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_{n}\text{ es D.I% .}\overset{\text{Tema 1}}{\iff}n\text{ primo}
Definition 2.46.

Sea AA un a.c.c.u. y MM un ideal de AA. Decimos que MM es ideal maximal de AA si cumple:

  • •
    ​

    M≠AM\neq A

  • •
    ​

    MM es un elemento maximal con respecto a la relacion de contenido entre los ideales distintos de AA, es decir, ∀J\forall J ideal de AA tal que M⊆JM\subseteq J se tiene que J=MJ=M o J=AJ=A.

Proposition 2.47.

Sean AA un a.c.c.u. y M≠AM\neq A un ideal de AA. Se cumple

M⁢ es ideal maximal⇔A/M⁢ es cuerpoM\text{ es ideal maximal}\iff A/M\text{ es cuerpo}
Proof 2.48.

“⇒\Rightarrow” Supongamos que MM es ideal maximal. Quiero demostrar que A/MA/M es un cuerpo, es decir, ∀a+M∈A/M\forall a+M\in A/M con a+M≠0+Ma+M\neq 0+M, a+Ma+M tiene que ser invertible.

Por otro lado, a∉Ma\notin M porque a+M≠0+Ma+M\neq 0+M.

Construyo J=M+(a)J=M+(a). Sabemos (ejercicios) que JJ es ideal de AA. Ademas, M⊆JM\subseteq J y a∈(a)⇒a∈J⇒J≠Ma\in(a)\Rightarrow a\in J\Rightarrow J\neq M.

Como MM es maximal, la unica opcion es J=AJ=A.

Tambien, 1∈J=M+(a)⇒∃m∈M,∃r∈A∣1=m+r⋅a1\in J=M+(a)\Rightarrow\exists m\in M,\exists r\in A\mid 1=m+r\cdot a. Tomo clase modulo M:

1+M=(m+M)⏟=0+M+(r⁢a+M)⇒1+M=(r+M)⁢(a+M)⇒a+M⁢ invertible .1+M=\underbrace{(m+M)}_{=0+M}+(ra+M)\Rightarrow 1+M=(r+M)(a+M)\Rightarrow a+M% \text{ invertible }.

“⇐\Leftarrow” Veamos que si A/MA/M es un cuerpo, entonces MM es maximal.

Sea JJ ideal de AA con M⊆JM\subseteq J pero M≠JM\neq J. Tengo que demostrar que J=AJ=A.

Como J≠M⇒∃a∈AJ\neq M\Rightarrow\exists a\in A tal que a∈Ja\in J pero a∉Ma\notin M. Como a∉M⇒a+M≠0+Ma\notin M\Rightarrow a+M\neq 0+M en A/MA/M.

Al ser A/MA/M un cuerpo, ∃b+M\exists b+M tal que (a+M)⁢(b+M)=1+M⇒(a⋅b)+M=1+M⇒a⋅b−1∈M⇒∃m∈M(a+M)(b+M)=1+M\Rightarrow(a\cdot b)+M=1+M\Rightarrow a\cdot b-1\in M% \Rightarrow\exists m\in M tal que a⁢b−1=m⇒1=a⏟∈J⁢b⏟∈J+(−m)⏟∈M⁣⊆J∈J⇒1∈J⁢⇒(e⁢j)⁢J=Aab-1=m\Rightarrow 1=\underbrace{\underbrace{a}_{\in J}b}_{\in J}+\underbrace{(% -m)}_{\in M\subseteq J}\in J\Rightarrow 1\in J\overset{(ej)}{\Rightarrow}J=A.

Example 2.49.

En ℤ\mathbb{Z}, 2⁢ℤ2\mathbb{Z} es maximal. Por que?

ℤ/2⁢ℤ=ℤ2\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_{2} que es un cuerpo (por ser 2 primo). Por la proposicion 2.47, 2⁢ℤ2\mathbb{Z} es maximal en ℤ\mathbb{Z}.

En general, si tengo n≥2n\geq 2, n⁢ℤn\mathbb{Z} es maximal ⇔ℤ/n⁢ℤ=ℤn\iff\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_{n} es cuerpo ⇔n\iff n es primo.

Corollary 2.50.

Sean AA un a.c.c.u. e II un ideal de AA. Se cumple

I⁢ ideal maximal⇒I⁢ ideal primoI\text{ ideal maximal}\Rightarrow I\text{ ideal primo}
Proof 2.51.

Si un ideal II es maximal, por la proposicion 2.47, A/IA/I es cuerpo ⇒A/I\Rightarrow A/I es dominio de integridad. Por la proposicion 2.43, II es primo.

Remark 2.52.

El reciproco del resultado anterior no es cierto.

Example 2.53.
  1. 1.
    ​

    {0}\left\{0\right\} es primo en ℤ\mathbb{Z} pero no maximal.

  2. 2.
    ​

    (x)(x) es primo en ℤ⁢[x]\mathbb{Z}[x] pero no maximal.

    Vimos que ℤ⁢[X]/(x)≅ℤ⇒(x)\mathbb{Z}[X]/(x)\cong\mathbb{Z}\Rightarrow(x) es primo en ℤ⁢[x]\mathbb{Z}[x] pero (x)(x) no es maximal en ℤ⁢[x]\mathbb{Z}[x] (aplicando 2.43 y 2.47).

    p⁢(x)⁢q⁢(x)∈(x)⇒p⁢(x)⁢q⁢(x)=a1⁢x+a2⁢x2+⋯p(x)q(x)\in(x)\Rightarrow p(x)q(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots. Luego uno de los dos no tiene termino independiente ⇒p⁢(x)∈(x)∨q⁢(x)∈(x)⇒(x)\Rightarrow p(x)\in(x)\vee q(x)\in(x)\Rightarrow(x) es primo.

    Por que no es maximal? Sea J={2⁢a+x⁢p⁢(x)}J=\left\{2a+xp(x)\right\}. Se cumple que (x)⊂J⊂ℤ⁢[x](x)\subset J\subset\mathbb{Z}[x].