4 Mas ejemplos de anillos. DFU, DIP y DE.

4.1 Cuerpo de fracciones de un anillo

Proposition 4.1.

Sea $A$ un dominio de integridad. Consideramos el conjunto

S=\left\{(a,b)/a,b\in A,b\neq 0_{A}\right\}

junto con la relacion $(a,b)\thicksim(c,d)$ si y solo si $ad=bc$ . Esta relacion es de equivalencia.

Proposition 4.2.

Consideramos el conjunto cociente $K=S/\thicksim$ . Para la clase de equivalencia de un elemento, utilizaremos la notacion

[(a,b)]_{\thicksim}=\frac{a}{b}

Definimos en $K$ las siguientes dos operaciones:

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\coloneqq\frac{ad+bc}{bd}\;\forall\frac{a}{b},\frac{c}{% d}\in S/\thicksim

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\coloneqq\frac{ad}{bc}\forall\frac{a}{b},\frac{c}{d% }\in S/\thicksim

Estas operaciones estan bien definidas (no dependen de la eleccion de representantes).

Proposition 4.3.

$K$ dotado de las dos operaciones anteriores es un cuerpo.

El conjunto $K$ recibe el nombre de cuerpo de fracciones de $A$ . Se denota $K=cdf(A)$ .

Ademas, existe un monomorfismo de anillos unitarios $\varphi\colon A\to cdf(A),\;a\mapsto\frac{a}{1}$ . Mas aun, si $A$ es un cuerpo entonces $\varphi$ es un isomorfismo: $A\cong cdf(A)$ .

Example 4.4.

•

Si $A=\mathbb{Z}$ , entonces $cdf(A)=\mathbb{Q}$ .
•

Si $A=K[x]$ (sirve con que $K$ sea DI), $cdf(A)=\left\{\underbrace{\frac{p(x)}{q(x)}}_{\text{(clases)}}/p(x),q(x)\in A,% q(x)\neq 0\right\}$ . En este caso $cdf(A)=K(x)$ .

4.2 Los anillos $A[b]$ , $K(b)$

Vamos a ver otros dominios de integridad de los que podemos hallar su cuerpo de fracciones.

Proposition 4.5.

Sea $B$ un a.c.c.u., $A$ un subanillo de $B$ , $b\in B$ y la funcion

\displaystyle f_{b}\colon A[x]

\displaystyle{}\longrightarrow B

\displaystyle p(x)

\displaystyle{}\longmapsto f_{b}(p(x))=p(b)

Entonces $f_{b}$ es un homomorfismo de anillos.

Definition 4.6.

$A[b]\coloneqq im(f_{b})=\left\{p(b)\mid p\in A[x]\right\}$

Corollary 4.7.

$A[b]$ es un subanillo de $B$ .

Example 4.8.

•

$\mathbb{R}[i]=\left\{p(i)\mid p(x)\in\mathbb{R}[x]\right\}\overset{i^{2}=-1}{=% }\left\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{R}\right\}=\mathbb{C}$ .

Por ejemplo, $3x^{3}+x^{2}+x+2=p(x)\rightarrow p(i)=-3i-1+i+2=-2i+1\in\mathbb{R}[i]$ .

Ademas, se tiene que $x^{2}+1$ es el polinomio minimo de $i$ .
•

$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\left\{p(\sqrt{2})\mid p\in\mathbb{Z}[x]\right\}=\left\{a% +b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}\subseteq\mathbb{R}$ .

$\mathbb{Z}[x]\Rightarrow p(x)=(x^{2}-2)q(x)+\underbrace{r(x)}_{a+bx}$ .

Al evaluarlo en $\sqrt{2},p(\sqrt{2})=((\sqrt{2})^{2}-2)q(x)+r(\sqrt{2})=r(\sqrt{2})=a+b\sqrt{2}$ .
•

$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\left\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\right\}\subseteq% \mathbb{R}$ .
•

$\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]=\left\{a+b\sqrt[3]{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\right\}$ . El polinomio minimo es $x^{3}-2$ .
•

$\mathbb{Z}[i]=\left\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}\subseteq\mathbb{C}$ (enteros de Gauss).

Definition 4.9.

Sea $K$ un cuerpo.

K(x)\coloneqq cdf(K[x])=\left\{\frac{p(x)}{q(x)}\mid p,q\in K[x],q\neq 0\right\}

Definition 4.10.

Sean $L$ otro cuerpo tal que $K\subseteq L$ y $b\in L$ .

K(b)\coloneqq cdf(K[b])=\left\{\frac{p(b)}{q(b)}\mid p,q\in K[x],q(b)\neq 0\right\}

Remark 4.11.

Si $K[b]$ es cuerpo, entonces $K[b]=K(b)$ .

Por ejemplo $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ .

4.3 DFU, DIP, DE

Definition 4.12.

Sea $A$ un anillo con unidad.

A^{*}\coloneqq\left\{a\in A\mid a\text{ es invertible}\right\}

Definition 4.13 (Elemento irreducible).

Sea $a\in A\setminus A^{*},a\neq 0$ . Decimos que $a$ es irreducible si sus unicos divisores son elementos invertibles y asociados de $a$ . En caso contrario decimos que $a$ es reducible.

Definition 4.14 (DFU).

Sean $A$ un DI. Decimos que $A$ es dominio de factorizacion unica (DFU) si todo elemento $a\in A\setminus A^{*},a\neq 0$ , factoriza como producto de elementos irreducibles de manera unica (salvo reordenacion y asociados).

Example 4.15.

•

$K[x]$ es un DFU.
•

$\mathbb{Z}$ es un DFU (teorema fundamental de la aritmetica).

Definition 4.16 (DIP).

Sea $A$ un DI. Decimos que $A$ es dominio de ideales principales (DIP) si todo ideal de $A$ es principal, es decir, $\forall I$ ideal de $A$ existe $a\in A$ tal que $I=(a)$ .

Example 4.17.

•

$\mathbb{Z}$ es DIP. Todos los ideales de $\mathbb{Z}$ son de la forma $m\mathbb{Z}$ para algun $m\in\mathbb{Z}$ .
•

$\mathbb{Z}[x]$ no es DIP.
•

$K[x]$ es DIP.

Definition 4.18 (DE).

Sea $A$ un DI. Decimos que $A$ es dominio euclideo (DE) si existe una funcion, llamada norma, $\delta\colon A\setminus\left\{0_{A}\right\}\rightarrow\mathbb{N}\cup\left\{0\right\}$ tal que

1.

$\forall a,b\in A\setminus\left\{0_{A}\right\}$ se tiene que $\delta(a)\leq\delta(ab)$
2.

$\forall a,b\in A,b\neq 0_{A}$ , $\exists q,r\in A$ tales que $a=bq+r$ y $r$ cumple que $\delta(r)<\delta(b)$ o bien $r=0_{A}$ .

Example 4.19.

•

$K[x]$ es un DE con $\delta=$ grado.
•

$\mathbb{Z}$ con $\delta=$ “valor absoluto” tambien es DE.

Theorem 4.20.

$A$ DE $\Rightarrow A$ DIP $\Rightarrow A$ DFU $\Rightarrow A\text{ DI }$

Example 4.21.

Contraejemplos a los reciprocos:

•

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ es DI pero no DFU.
•

$\mathbb{Z}[x]$ es DFU pero no DIP.
•

$\mathbb{Z}\left[\frac{n+\sqrt{-19}}{2}\right]$

4 Mas ejemplos de anillos. DFU, DIP y DE.

4.1 Cuerpo de fracciones de un anillo

4.2 Los anillos A⁢[b]A[b], K⁢(b)K(b)

4.3 DFU, DIP, DE

4.2 Los anillos $A[b]$ , $K(b)$