1 Anillos. Generalidades.

1.1 Definiciones basicas

Definition 1.1.

Un grupo es un par $(G,\odot)$ donde:

•

$G$ es un conjunto no vacio.
•

$\odot:G\times G\to G$ es una operacion interna

que cumplen:

1.

Asociativa: $\forall a,b,c\in G\quad(a\odot b)\otimes c=a\odot(b\odot c)$
2.

Existencia de neutro: $\exists e_{G}\in G$ tal que $\forall a\in G\quad a\odot e_{G}=e_{G}\odot a=a$
3.

Existencia de inversos: $\forall a\in G\exists b\in G$ tal que $a\odot b=b\odot a=e_{G}$

Definition 1.2.

Un grupo $(G,\odot)$ es abeliano o conmutativo si la operacion $\odot$ es conmutativa, es decir, $\forall a,b\in G\quad a\odot b=b\odot a$

Definition 1.3.

Un anillo es una terna $(A,\oplus,\otimes)$ donde:

•

$A$ es un conjunto no vacio
•

$\oplus\colon A\times A\to A$ es una operacion interna, denominada suma.
•

$\otimes\colon A\times A\to A$ es una operacion interna, denominada producto.

que cumplen:

1.

Suma asociativa: $\forall a,b,c\in A\quad(a\oplus b)\oplus c=a\oplus(b\oplus c)$
2.

Existencia de neutro: $\exists 0_{A}\in A$ tal que $\forall a\in A\quad a\oplus 0_{A}=0_{A}\oplus a=a$
3.

Existencia de opuestos: $\forall a\in A\exists b\in A$ tal que $a\oplus b=b\oplus a=0_{A}$
4.

Suma conmutativa: $\forall a,b\in A\quad a\oplus b=b\oplus a$
5.

Producto asociativo: $\forall a,b,c\in A\quad(a\otimes b)\otimes c=a\otimes(b\otimes c)$
6.

Distributiva: $\forall a,b,c\in A\quad a\otimes(b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus(a\otimes c),(b% \oplus c)\otimes a=(b\otimes a)\oplus(c\otimes a)$

Definition 1.4 (Anillo conmutativo).

Un anillo $A$ es conmutativo si el producto $\otimes$ es conmutativo.

Definition 1.5 (Anillo unitario).

Un anillo $A$ es unitario o anillo con unidad si existe un neutro para el producto $\otimes$ distinto del neutro para la suma $\oplus$ , es decir

\exists 1_{A}\in A\setminus\left\{0_{A}\right\}\,/\,\forall a\in A\quad a% \otimes 1_{A}=1_{A}\otimes a=a

Usualmente denotaremos la suma $a\oplus b$ como $a+b$ y el producto $a\otimes b$ como $a\cdot b$ .

Si no hay ambiguedad, denotaremos los neutros como $0$ y $1.$

Definition 1.6 (Elemento invertible).

En un anillo con unidad, decimos que $a\in A$ es invertible si $\exists b\in A$ tal que $ab=ba=1$ .

Definition 1.7 (Anillo de division).

Un anillo de division es un anillo con unidad $A$ tal que todo elemento distinto de $0$ es invertible.

Definition 1.8 (Cuerpo).

Un cuerpo es un anillo conmutativo con unidad $A$ tal que todo elemento distinto de 0 es invertible.

Proposition 1.9.

1.

Sea $(G,\odot)$ un grupo con elemento neutro $e$ . Se cumple que $e$ es el unico elemento de $G$ con la propiedad que define al neutro.
2.

Sea $(G,\odot)$ un grupo. Se cumplen las propiedades de cancelacion:

$\begin{array}[]{cc}\forall a,b,c\in G&a\odot b=a\odot c\Rightarrow b=c\\ &b\odot a=c\odot a\Rightarrow b=c\end{array}$
3.

En un grupo el inverso de cualquier elemento es unico.

En un anillo con unidad el neutro para el producto es unico.

En un anillo con unidad el inverso de un elemento invertible es unico.
4.

En un anillo $A$ se cumple

$\forall a\in A\quad 0a=a0=0$

Proof 1.10.

1.

Sea $G$ un grupo y $e$ un elemento neutro de $G$ .

Supongamos que $e^{\prime}$ es un elemento de $G$ con la propiedad que define el neutro. Vamos a ver que necesariamente $e=e^{\prime}$ .

$e\overset{e^{\prime}\text{ neutro}}{=}e\odot e^{\prime}\overset{e\text{ neutro% }}{=}e^{\prime}$

Remark 1.11.

Como consecuencia, el neutro 0 de la suma para un anillo $A$ es unico (porque $(A,\oplus)$ es un grupo).
2.

Sean $a,b,c\in G$ tal que $a\cdot b=a\cdot c$ .

Por el axioma de inversos $\Rightarrow$ existe $d\in G$ tal que $a\cdot d=e$ .

$d\cdot(a\cdot b)=d\cdot(a\cdot c)\overset{\text{Asociativa}}{\Rightarrow}(d% \cdot a)\cdot b=(d\cdot a)\cdot c\Rightarrow e\cdot b=e\cdot c\overset{\text{% Neutro}}{\Rightarrow}b=c$

$b\cdot a=c\cdot a\Rightarrow b=c$ es analogo.

Remark 1.12.

Como consecuencia, en un anillo $A$ se tiene cancelacion para la suma: $\forall a,b,c\in A\quad a+b=a+c\Rightarrow b=c$
3.

Sea $a\in G$ . Supongamos que $b,c$ son inversos de $a\Rightarrow a\cdot b=e$ y $a\cdot c=e$ , siendo $e$ el neutro de $G$ .

Como $ab=ac$ , por cancelacion $b=c$ .

Remark 1.13.

Esto implica que en un anillo el opuesto para la suma es unico.

–

Supongamos que $u,v\in A$ son neutros para el producto. Entonces $u\overset{v\text{ neutro}}{=}u\cdot v\overset{u\text{ neutro}}{=}v$ . Luego el neutro es unico.

–

Sea $a\in A$ un elemento invertible. Supongamos que $b,c\in A$ son inversos de $a$ . Entonces $a\cdot b=1=a\cdot c$ . Multiplicando por $b$ ,

$b\cdot a\cdot b=b\cdot a\cdot c\Rightarrow 1\cdot b=1\cdot c\Rightarrow b=c$
4.

$a\cdot 0=a\cdot(0+0)=a0+a0\Rightarrow 0+a0=a0+a0\overset{\text{Cancelacion}}{% \Rightarrow}0=a0$ .

Como notacion para el opuesto e inverso de un elemento, usaremos:

•

$-a$ para el opuesto de $a$ .
•

$a^{-1}$ para el inverso de $a$ .

Para la resta, $a-b$ denota el elemento $a+(-b)$ .

Definition 1.14 (Restriccion de una funcion).

Sean $B\subseteq A$ y $C$ tres conjuntos y $f\colon A\to C$ una funcion. Llamamos restriccion de $f$ al conjunto $B$ a la funcion

\displaystyle f|_{B}\colon B

\displaystyle{}\longrightarrow C

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto f|_{B}(x)=f(x)

Definition 1.15 (Subanillo).

Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo y $\varnothing\neq B\subseteq A$ . Decimos que $B$ es subanillo de $A$ si:

1.

$\forall r,s\in B$ , $r+s\in B$
2.

$\forall r,s\in B$ , $r\cdot s\in B$
3.

$(B,+|_{B\times B},\cdot|_{B\times B})$ cumple la definicion de anillo

Proposition 1.16 (Caracterizacion 1 de subanillo).

Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo y $B\subseteq A$ .

$B$ es subanillo de $A$ si y solo si se cumplen:

1.

$0_{A}\in B$
2.

$\forall r\in B\quad-r\in B$
3.

$\forall r,s\in B\quad r+s\in B$
4.

$\forall r,s\in B\quad r\cdot s\in B$

Proof 1.17.

D1: Cerrado para la suma

D2: Cerrado para el producto

D3: Cumple la def de anillo

D1,D2,D3 $\iff$ 1,2,3,4

“ $\Rightarrow$ ” D1 = 3 y D2 = 4.

Como $B$ es anillo por $D3\Rightarrow\exists 0_{B}\in B$ . Vamos a demostrar que $0_{B}=0_{A}$ .

\begin{dcases}0_{B}+0_{A}=0_{B}\text{ (porque }0_{A}\text{ es el neutro para % la suma en }A)\\ 0_{B}=0_{B}+_{B}+0_{B}=0_{B}+0_{B}\end{dcases}

Igualando, $0_{B}+0_{A}=0_{B}+0_{B}\Rightarrow 0_{A}=0_{B}$ .

Por tanto, $0_{A}\in B$ . Hemos demostrado 1.

Nos queda demostrar 2.

Sea $r\in B$ . Como por D3 $B$ es un subanillo, $r$ tiene opuesto en $B\Rightarrow\exists s\in B/r+_{B}s=0_{B}\Rightarrow r+s=0_{A}$ (usamos que $0_{A}=0_{B}$ y que $+_{B}$ es la operacion restringida). Por unicidad del opuesto, $s=-r\Rightarrow-r\in B$ .

“ $\Leftarrow$ ” Se tienen D1 y D2 porque se cumplen 3 y 4.

$B\neq\varnothing$ porque $0_{A}\in B$ .

Me falta demostrar D3 que son los 6 axiomas de la definicion de anillo: A1, A2, A3, A4, A5, A6.

A1, A4, A5, A6 se cumplen para la $+_{B}$ y $\cdot_{B}$ porque se cumplen para todos los elementos de $A$ y las operaciones en $B$ son las de $A$ restringidas. Es decir, las propiedades se “heredan” en $B$ .

Vamos a demostrar A2 (existencia de neutro para la suma). Como por 1 se tiene que $0_{A}\in B$ tengo que $0_{A}$ funciona como neutro para la suma en $B$ .

Ademas, se que $0_{A}=0_{B}$ .

Vamos a demostrar A3 (existencia de opuestos).

Sea $r\in B$ , tengo que demostrar que $r$ tiene opuesto en $B$ . Sea $s$ el opuesto de r en $A$ . Se que $r+s=0_{A}$ . Por 2, se que $s\in B$ .

Por tanto, $r+_{B}s=0_{A}=0_{B}\Rightarrow s$ es el opuesto de $r$ en $B$ .

Example 1.18.

Demostrar que $A=\left\{n+\sqrt{2}m/n,m\in\mathbb{Z}\right\}$ es un anillo.

Vamos a demostrar que $A$ es un subanillo de $\mathbb{R}$ aplicando la proposicion 2.

1.

$0\in A$ porque se obtiene con $n=m=0$ .
2.

El opuesto de $n+m\sqrt{2}$ es $-(n+m\sqrt{2})=(-n)+(-m)\sqrt{2}\in A$
3.

Sean $n+m\sqrt{2}\in A$ y $p+q\sqrt{2}\in A$ , $(n+m\sqrt{2})+(p+q\sqrt{2})=n+p+(m+q)\sqrt{2}\in A$ .
4.

Dados los elementos anteriores, $(n+m\sqrt{2})\cdot(p+q\sqrt{2})=np+mp\sqrt{2}+nq\sqrt{2}+2mq=(np+2mq)+(np+mq)% \sqrt{2}\in A$ .

Luego $A$ es subanillo de $\mathbb{R}$ y, por tanto, anillo.

Remark 1.19.

$A$ es el subanillo mas pequeño de $\mathbb{R}$ que contiene a $\mathbb{Z}$ y a $\sqrt{2}$ (no lo estamos demostrando). Se denota $A=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ .

Tomando $\mathbb{Z}[x]$ , los polinomios con coeficientes en $\mathbb{Z}$ , y sustituyendo $x=\sqrt{2}$ , se obtiene dicho anillo.

Proposition 1.20 (Caracterizacion 2 de subanillo).

Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo y $B\subseteq A$ .

$B$ es subanillo de $A$ si y solo si se cumplen:

1.

$0_{A}\in B$
2.

$\forall r,s\in B\quad r-s\in B$
3.

$\forall r,s\in B\quad r\cdot s\in B$

Proof 1.21.

Queda como ejercicio.

1.2 Ejemplos de anillos

•

$\mathbb{Z}$ , con la suma y producto usuales, es un anillo conmutativo con unidad.
•

$\mathbb{Q},\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ , con la suma y producto usuales, son cuerpos. Cada uno es subanillo de los que lo contienen.
•

Sean $A$ un anillo, $n\geq 2$ un entero.

$\mathcal{{M}}_{n\times n}(A)$ , el conjunto de las matrices cuadradas $n\times n$ con coeficientes en $A$ , con la suma y producto usual de matrices, es un anillo.

Si $A$ es unitario, $\mathcal{{M}}_{n\times n}(A)$ tambien lo es.
•

Sea $A$ un anillo conmutativo.

$A[x]$ , el conjunto de los polinomios con coeficientes en $A$ en la variable $x$ , con la suma y producto usual de polinomios, es un anillo conmutativo.

Si $A$ es unitario, $A[x]$ tambien lo es.

$A_{3}[x]$ , el conjunto de los polinomios con grado menor o igual que 3 con coeficientes en $A$ , no es un anillo por no ser cerrado para el producto.
•

Dado $m\in\mathbb{Z}$ , el conjunto $m\mathbb{Z}\coloneqq\left\{mx\mid x\in\mathbb{Z}\right\}$ es un subanillo de $\mathbb{Z}$ .
Proof 1.22.

Usamos la caracterizacion 2.
1. 1.
  
  $0\in m\mathbb{Z}$ tomando $x=0$
2. 2.
  
  Sean $mx,mx^{\prime}\in m\mathbb{Z}$ , $mx-mx^{\prime}=m(x-x^{\prime})\in m\mathbb{Z}$
3. 3.
  
  Sean $mx,mx^{\prime}\in m\mathbb{Z}$ , $\underbrace{mx\cdot mx^{\prime}}_{\in\mathbb{Z}}\in m\mathbb{Z}$ .
Remark 1.23.

Si $n<0$ . Entonces $m\mathbb{Z}=(-m)\mathbb{Z}$ .

Usaremos solo $m\geq 0$ .

$\begin{rcases}m=0\quad 0\mathbb{Z}=\left\{0x\mid x\in\mathbb{Z}\right\}=\left% \{0\right\}\\ m=1\quad 1\mathbb{Z}=\mathbb{Z}\end{rcases}\text{ (son los dos subanillos % triviales)}$

Si $m\geq 2$ , $m\mathbb{Z}$ tiene unidad?

$2\mathbb{Z}$

$a\cdot b=b\quad\forall b\in 2\mathbb{Z}$

$a=2x\Rightarrow 2xb=b\Rightarrow 2x=1$ . Contradiccion.

Luego $2\mathbb{Z}$ no tiene unidad.

Ningun $m\mathbb{Z}$ con $m\geq 2$ tiene unidad.
•

El anillo de los enteros modulo $n$ .

1.3 Divisores de cero. Dominios de integridad.

Definition 1.24 (Divisor de cero).

Sean $A$ un anillo conmutativo y $a\in A\setminus\left\{0\right\}$ . Decimos que $a$ es divisor de cero si $\exists b\in A\setminus\left\{0\right\}$ tal que $ab=0$ .

Definition 1.25 (Dominio de integridad).

Un dominio de integridad (DI) es un anillo conmutativo con unidad (a.c.c.u.) que no tiene divisores de cero.

Remark 1.26.

DI $\iff$ a.c.c.u. donde $\forall a,b\in A(a\neq 0,b\neq 0\Rightarrow ab\neq 0)$

Theorem 1.27.

Sean $A$ un a.c.c.u. y $a\in A$

a\text{ invertible}\Rightarrow a\text{ no es divisor de cero}

Proof 1.28.

Sea $a\in A$ invertible. Sabemos que si $a$ es invertible, $a\neq 0$ .

Supongamos que $a$ es divisor de cero $\Rightarrow\exists b\neq 0\mid a\cdot b=0$ .

En la igualdad multiplico por $a^{-1}$ y tengo

a^{-1}ab=a^{-1}0\Rightarrow b=0

Esto es una contradiccion porque hemos supuesto que $b\neq 0$ .

Luego $a$ no es divisor de cero.

Remark 1.29.

Esto es equivalente a

a\text{ es divisor de cero}\Rightarrow a\text{ no es invertible}

Remark 1.30.

El reciproco del teorema 1 no es cierto. Veamos un ejemplo en $\mathbb{Z}$ . $2$ es divisor de cero?

$2x=0\Rightarrow x=0$ .

Luego $2$ no es divisor de cero. Es $2$ invertible?

$2x=1$ no tiene solucion en $\mathbb{Z}$ . Luego no es invertible.

Theorem 1.31.

A\text{ cuerpo}\Rightarrow A\text{ dominio de integridad}

Proof 1.32.

Si $A$ es un cuerpo, tambien es un a.c.c.u.

Ademas, como $A$ es un cuerpo se cumple que $\forall a\neq 0,a$ es invertible. Por el teorema 1, $\forall a\neq 0$ , a no es divisor de cero $\Rightarrow A$ es D.I.

Remark 1.33.

El reciproco del teorema 2 no es cierto.

Un contraejemplo es el conjunto de los numeros enteros. Como $\mathbb{Q}$ es un cuerpo, $\mathbb{Q}$ es D.I. Ademas, $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}$ . Por tanto, $\mathbb{Z}$ tambien es D.I. (si hubieran divisores de cero en $\mathbb{Z}$ tambien los habria en $\mathbb{Q}$ ).

Y sabemos que $\mathbb{Z}$ no es un cuerpo (por ejemplo, $2$ no es invertible).

Remark 1.34.

Los unicos elementos invertibles de $\mathbb{Z}$ son $1$ y $-1$ .

ab=1\Rightarrow|a||b|=1\Rightarrow|a|=|b|=1\Rightarrow|a|=|b|=1

Lemma 1.35.

Sea $A$ a.c.c.u.

$A$ es un dominio de integridad $\iff$ $A$ tiene la propiedad de cancelacion para el producto: $\forall a,b,c\in A$ tales que $a\neq 0$ y $ab=ac$ se tiene $b=c$ .

Proof 1.36.

“ $\Rightarrow$ ” Tenemos que $a\neq 0$ y $ab=ac$ . Entonces

ab-ac=0\Rightarrow a(b-c)=0\overset{\begin{subarray}{c}A\,D.I.\\ a\neq 0\end{subarray}}{\Rightarrow}b-c=0\Rightarrow b=c

“ $\Leftarrow$ ” Tengo que demostrar que $A$ no tiene divisores de cero.

Lo demostramos por reduccion al absurdo. Supongamos que si hay divisores de cero. Entonces $\exists a,b\neq 0\mid a\cdot b=0$ .

ab=0=a\cdot 0\overset{\begin{subarray}{c}a\neq 0\\ \text{Cancelacion}\end{subarray}}{\Rightarrow}b=0

Esto es una contradiccion porque $b\neq 0$ .

Luego no hay divisor de cero en $A\Rightarrow A$ es D.I.

Remark 1.37.

La cancelacion para el producto es falsa en general.

Ejemplo: en $\mathbb{Z}_{6}$ , $[2][3]=[4][3]=[0]$ . No puedo cancelar $[3]$ porque $[2]\neq[4]$ .

Theorem 1.38.

$A$ dominio de integridad finito $\Rightarrow A$ cuerpo.

Proof 1.39.

Quiero demostrar que $A$ es un cuerpo. Como $A$ es D.I. $\Rightarrow$ A es un anillo conmutativo con unidad. Tengo que demostrar que todo elemento no nulo de $A$ tiene inverso.

Sea $a\in A$ con $a\neq 0$ , veamos que $a$ tiene inverso.

Defino una funcion, que consiste en multiplicar por $a$

\displaystyle f\colon A

\displaystyle{}\longrightarrow A

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto f(x)=a\cdot x

Si consigo demostrar que $f$ es suprayectiva $\Rightarrow 1\in Imf\Rightarrow\exists b\in A\mid f(b)=1\Rightarrow ab=1% \Rightarrow b=a^{-1}$ y $a$ es invertible.

Vamos a demostrar que $f$ es inyectiva. Sean $b_{1},b_{2}\in A$ tales que $f(b_{1})=f(b_{2})\overset{DEF}{\Rightarrow}ab_{1}=ab_{2}\overset{\text{Lema 1}% }{\Rightarrow}b_{1}=b_{2}$ $\Rightarrow f$ es inyectiva.

Como $f$ es una funcion inyectiva entre dos conjuntos finitos del mismo cardinal, $f$ tiene que ser suprayectiva.

Theorem 1.40 (Wedderburn).

$A$ anillo de division finito $\Rightarrow A$ cuerpo

Proposition 1.41.

Sea $[a]\in\mathbb{Z}_{n}$ .

$[a]$ es invertible $\iff mcd(a,n)=1$ .

Proof 1.42.

$[a]$ tiene inverso $\iff ax\equiv 1\text{ mod }n$ tiene solucion $\iff ax-1=n\cdot y$ tiene solucion $\iff ax+(-n)y=1$ tiene solucion $\iff mcd(a,n)=1$ .

Corollary 1.43.

$\mathbb{Z}_{n}$ es un cuerpo $\iff n$ es primo

Proof 1.44.

$n$ primo $\Rightarrow 1,2,\ldots,n-1$ tienen $mcd=1$ con $n$ .

$n$ compuesto $\Rightarrow\exists d\in{1,2,\ldots,n-1}$ tal que $d$ tiene un factor comun con $n\Rightarrow mcd(b,n)\geq 2\Rightarrow[d]$ no es invertible.

Corollary 1.45.

Sea $[a]\in\mathbb{Z}_{n}$ , $[a]\neq[0]$ .

$[a]$ no es invertible $\Rightarrow[a]$ es divisor de cero.

Example 1.46.

En $\mathbb{Z}_{12}$ , $[10]$ no es invertible porque $mcd(10,12)=2$ .

Por otro lado $[10]=[2]\cdot[5]$

$[10]\cdot[6]=[2]\cdot[5]\cdot[6]\overset{[2][6]=[0]}{=}[0]$ $\Rightarrow[10]$ es divisor de cero.

En general si en $\mathbb{Z}_{n}$ $mcd(d,n)=x\geq 2$

$[d]\neq[0]$

$[d]\left[\frac{n}{x}\right]=\left[\frac{d}{x}\right][n]=[0]$ . Luego $d$ es divisor de cero.

1.4 Homomorfismos de anillos

Definition 1.47 (Homomorfismo).

Sean $A$ y $B$ dos anillos y $f\colon A\to B$ una funcion. Decimos que $f$ es un homomorfismo de anillos si cumple:

•

$\forall x,y\in A\quad f(x+y)=f(x)+f(y)$
•

$\forall x,y\in A\quad f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$

Definition 1.48 (Isomorfismo).

Sean $A$ y $B$ dos anillos y $f\colon A\to B$ una funcion. Decimos que $f$ es un isomorfismo de anillos si $f$ es un homomorfismo biyectivo.

Definition 1.49 (Anillos isomorfos).

Sean $A$ y $B$ dos anillos. Decimos que $A$ y $B$ son anillos isomorfos si existe algun isomorfismo $f\colon A\to B$ .

Proposition 1.50.

Sea $f\colon A\to B$ un homomorfismo de anillos. Se cumple:

1.

$f(0_{A})=0_{B}$
2.

$\forall a\in A\quad f(-a)=-f(a)$

Proof 1.51.

1.

$f(0_{A})=f(0_{A}+0_{A})=f(0_{A})+f(0_{A})\Rightarrow 0_{B}+f(0_{A})=f(0_{A})+f% (0_{A})\Rightarrow 0_{B}=f(0_{A})$
2.

$f(a)+f(-a)=f(a+(-a))=f(0_{A})=0_{B}$ . Por la unicidad del elemento opuesto, llegamos a que $f(-a)=-f(a)$ .

Proposition 1.52.

Sean $f\colon A\to B$ y $g\colon B\to C$ homomorfismos de anillos. Entonces $g\circ f$ es un homomorfismo de anillos.

Proof 1.53.

Sean $a,b\in A$

{}(g\circ f)(a+b)=g(f(a+b))=g(f(a)+f(b))=g(f(a))+g(f(b))=\\ {}=(g\circ f)(a)+(g\circ f)(b)

Esto es analogo para el producto.

Remark 1.54.

En la definicion de homomorfismo, si la quiero “bien escrita”,

f(a+_{A}b)=f(a)+_{B}f(b)

Proposition 1.55.

Sea $f\colon A\to B$ un isomorfismo de anillos. Se cumple:

1.

$f^{-1}$ es isomorfismo de anillos.
2.

$A$ conmutativo $\Rightarrow B$ conmutativo.
3.
$A$ unitario $\Rightarrow B$ unitario. Ademas:
- •
  
  $f(1_{A})=1_{B}$
- •
  
  $a$ invertible $\Rightarrow f(a)$ invertible y $(f(a))^{-1}=f(a^{-1})$
4.

$A$ cuerpo $\Rightarrow B$ cuerpo.

Proof 1.56.

1.

$f$ es isomorfismo. Como $f$ es biyectiva $\Rightarrow\exists f^{-1}\colon B\to A$ otra funcion biyectiva. Tengo que demostrar que $f^{-1}$ es isomorfismo. Falta ver que preserva suma y producto.

Tenemos que demostrar que $\forall b_{1},b_{2}\in B\;f^{-1}(b_{1}+b_{2})=f^{-1}(b_{1})+f^{-1}(b_{2})$ .

Como $f$ es biyectiva, sabemos que $\exists a_{1},a_{2}\in A\mid f(a_{1})=b_{1}$ , $f(a_{2})=b_{2}$ . Luego

${}f^{-1}(b_{1}+b_{2})=f^{-1}(f(a_{1})+f(a_{2}))=f^{-1}(f(a_{1}+a_{2}))=a_{1}+a% _{2}=\\ {}=f^{-1}(b_{1})+f^{-1}(b_{2})$

La demostracion para el producto es analoga.
2.

Supongamos que $A$ es conmutativo.

Sean $b_{1},b_{2}\in B$ cualesquiera. Tenemos que ver si $b_{1}\cdot b_{2}=b_{2}\cdot b_{1}$

Sean $a_{1},a_{2}\in A$ tales que $f(a_{1})=b_{1}$ , $f(a_{2})=b_{2}$ (existen por ser $f$ biyectiva). Entonces

${}b_{1}\cdot b_{2}=f(a_{1})\cdot f(a_{2})=f(a_{1}\cdot a_{2})=f(a_{2}\cdot a_{% 1})=f(a_{2})\cdot f(a_{1})=b_{2}\cdot b_{1}$
3.

Por el enunciado, se que el candidato a neutro del producto en $B$ es $f(1_{A})$ . Voy a comprobar que funciona.

Tengo que ver que $\forall b\in B\;f(1_{A})\cdot b=b$ y $b\cdot f(1_{A})=b$ .

Como $f$ es biyectiva $\Rightarrow\exists a\in A\mid f(a)=b$ . Entonces

$f(1_{A})\cdot b=f(1_{A})\cdot f(a)\overset{fhom}{=}f(1_{A}\cdot a)\overset{% \text{Neutro}}{=}f(a)=b$

Analogamente, $b\cdot f(1_{A})=b$ .

Por tanto $B$ es unitario $1_{B}=f(1_{A})$ .

Remark 1.57.

Es suficiente con que $f$ sea un homomorfismo suprayectivo.

Sea ahora $a\in A$ invertible. Tengo que ver que $f(a)$ es invertible en $B$ . El enunciado me da el candidato $f(a^{-1})$ . Pruebo que funciona.

Multiplico $f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=f(1_{A})=1_{B}$ .

Analogamente $f(a^{-1})\cdot f(a)=1_{B}\Rightarrow$ los dos elementos son inversos uno de otro, es decir, el inverso de $(f(a))^{-1}=f(a^{-1})$ .
4.

Si $A$ es cuerpo,

$\begin{dcases}A\text{ conmutativo}\overset{2}{\Rightarrow}B\text{ conmutativo}% \\ A\text{ unitario}\overset{3}{\Rightarrow}B\text{ unitario}\end{dcases}$

Sea $b\in B,b\neq 0_{B}$ , tengo que ver que $b$ es invertible.

Como $f$ es biyectiva, existe $a\in A$ tal que $f(a)=b$ . Como $f(0_{A})=f(0_{B})$ , $b\neq 0_{B}$ y $f$ es biyectiva, $a\neq 0_{A}\Rightarrow a$ es invertible. Por la propiedad 3 y que $b=f(a)$ , $b$ es invertible.

Remark 1.58.

Si $\exists f\colon A\to B$ isomorfismo, decimos que $A$ es isomorfo a $B$ y lo denotamos

A\cong B

Proposition 1.59.

La relacion de isomorfia de anillos es una relacion de equivalencia.

Proof 1.60.

1.

Reflexiva: $id\colon A\to A$ es obviamente biyectiva y homomorfismo $\Rightarrow A\cong A$
2.

Simetrica:

Si $A\cong B\Rightarrow\exists f\colon A\to B$ isomorfismo $\Rightarrow f^{-1}\colon B\to A$ isomorfismo (prop 11) $\Rightarrow B\cong A$
3.

Transitiva:

Supongamos que $A\cong B$ y $B\cong C$ $\Rightarrow\exists f\colon A\to B$ y $\exists g\colon B\to C$ isomorfismos $\Rightarrow g\circ f$ homomorfismo.

Veamos que la composicion de funciones biyectivas es biyectiva

$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

porque

$(g\circ f)(f^{-1}\circ g^{-1})=g\circ id_{B}\circ g^{-1}=g\circ g^{-1}=id_{C}$

$(f^{-1}\circ g^{-1})(g\circ f)=f^{-1}\circ id_{B}\circ f=f^{-1}\circ f=id_{A}$

Luego $g\circ f\colon A\to C$ isomorfismo $\Rightarrow A\cong C$

Definition 1.61.

Sea $f\colon A\to B$ un isomorfismo de anillos. Se definen el nucleo y la imagen de $f$ como:

•

$Kerf\coloneqq\left\{x\in A\mid f(x)=0_{B}\right\}$
•

$Imf\coloneqq\left\{y\in B\mid\exists x\in A\mid f(x)=y\right\}$

Proposition 1.62.

1.

$Kerf$ es un subanillo de $A$
2.

$f$ es inyectiva $\iff Kerf=\left\{0_{A}\right\}$
3.

$Imf$ es un subanillo de $B$
4.

$f$ es suprayectiva $\iff Imf=B$

Proof 1.63.

1.

Veamos que $Kerf$ es subanillo de $A$
- •
  
  $0_{A}\in Kerf$ porque $f(0_{A})=0_{B}$
- •
  
  Cerrado para la resta: Sean $a,b\in Kerf$ ,
  
  $f(a-b)=f(a+(-b))=f(a)+f(-b)=f(a)-f(b)=0_{B}-0_{B}=0_{B}$
  
  Luego $a-b\in Kerf$ .
- •
  
  Cerrado para el producto: Sean $a,b\in A$
  
  $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)=0_{B}\cdot 0_{B}=0_{B}\Rightarrow a\cdot b\in Kerf$
2.

$f$ inyectiva $\iff Kerf=\left\{0_{A}\right\}$

“ $\Rightarrow$ ” Se que $0_{A}\in Kerf$ .

Sea $a\neq 0_{A}\Rightarrow f(a)\neq f(0_{A})=0_{B}\Rightarrow Kerf=\left\{0_{A}\right\}$

“ $\Leftarrow$ ” Voy a ver que $f$ es inyectiva.

Sea $a,b\in A$ . Supongamos que $f(a)=f(b)$ . Entonces

$f(a)-f(b)=0_{B}\Rightarrow f(a-b)=0_{B}\Rightarrow a-b\in Kerf\Rightarrow a-b=% 0_{A}\Rightarrow a=b$
3.

Veamos que $Imf$ es subanillo de $B$ .
- •
  
  $0_{B}\in Imf$ porque $f(0_{A})=0_{B}$
- •
  
  Sean $b_{1},b_{2}\in Imf\Rightarrow\exists a_{1},a_{2}\in A\mid f(a_{1})=b_{1}$ y $f(a_{2})=b_{2}$ .
  
  $b_{1}-b_{2}=f(a_{1})-f(a_{2})=f(a_{1}-a_{2})\Rightarrow b_{1}-b_{2}\in Imf$
- •
  
  $b_{1}\cdot b_{2}=f(a_{1})\cdot f(a_{2})=f(a_{1}\cdot a_{2})\Rightarrow b_{1}% \cdot b_{2}\in Imf$
4.

Es la definicion de suprayectiva.