8 Convergencia de sucesiones

Supongamos, por reduccion al absurdo, que existe $\left\{x_{n}\right\}^{\infty}_{n=1}$ y $a,b\in\mathbb{R}$ tales que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a$ y $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=b$. Supongamos que $a<b$, siendo análogo para $b<a$.

Si la sucesion es convergente, para todo entorno de $a$ a partir de un momento dado todos los elementos de la sucesion están dicho entorno. Lo mismo para un entorno de $b$. Cogemos un $\varepsilon$ tal que $a+\varepsilon\leq b+\varepsilon\Rightarrow 2\varepsilon\leq b-a\Rightarrow 0<\varepsilon\leq\frac{b-a}{2}$.

Sea $\varepsilon=\frac{b-a}{2}$. Como $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a$, $\exists n_{1}\in\mathbb{N}$ tal que $x_{n}\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ $\;\forall n\geq n_{1}\in\mathbb{N}$ y, como $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=b$, $\exists n_{2}\in\mathbb{N}$ tal que $x_{n}\in(b-\varepsilon,b+\varepsilon)\;\forall n\geq n_{2}\in\mathbb{N}$.

Definimos $n_{0}=\mathop{\operator@font m\acute{a}x}\left\{n_{1},n_{2}\right\}\in\mathbb{N}$. Entonces, se tiene que $x_{n}\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ y $x_{n}\in(b-\varepsilon,b+\epsilon)\;\forall n\geq n_{0}$. Esto no es posible puesto que habíamos supuesto que $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\cap(b-\varepsilon,b+\varepsilon)=\varnothing$. Luego el límite, si existe, es único. ∎

Sean $a=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}$, $b=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}y_{n}\in\mathbb{R}$.

1. 1.
   ​

   Sea $\varepsilon>0$. Como $\frac{\epsilon}{2}>0$, existe un $n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $|x_{n}-a|<\frac{\varepsilon}{2}\;\forall n\geq n_{0}$ y $|y_{n}-b|<\frac{\varepsilon}{2}\;\forall n\geq n_{0}$. Entonces

   $$|(x_{n}+y_{n})-(a+b)|=|(x_{n}-a)+(y_{n}-b)|\leq|x_{n}-a|+|y_{n}-b|\leq\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$$

   Luego, efectivamente, $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}(x_{n}+y_{n})=a+b$.

2. 2.
   ​

   Análogo al apartado anterior.

   $$|(x_{n}-y_{n})-(a-b)|=|(x_{n}-a)+[-(y_{n}-b)]|\leq|x_{n}-a|+|-(y_{n}-b)|\leq\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$$
3. 3.
   ​

   Sea $\varepsilon>0$. Sea $n_{0}\in\mathbb{N}$ con $|x_{n}-a|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$, $|y_{n}-b|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$. Sea $M\in\mathbb{R}$ con $|y_{n}|\leq M\;\forall n\in\mathbb{N}$.

   $${}|x_{n}\cdot y_{n}-a\cdot b|=|(x_{n}\cdot y_{n}-a\cdot y_{n})+(a\cdot y_{n}-a\cdot b)|\leq|x_{n}\cdot y_{n}-a\cdot y_{n}|+|a\cdot y_{n}-ab|=\\ {}=|y_{n}|\cdot|x_{n}-a|-|a|\cdot|y_{n}-b|<M\varepsilon+|a|\cdot\varepsilon=\varepsilon(M+|a|)\;\forall n\geq n_{0}$$

   Luego $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}(x_{n}\cdot y_{n})=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}y_{n}$.

4. 4,5.
   ​

   No vistas en clase.

∎

Sea $\left\{x_{n}\right\}^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}$ convergente con $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a$ y fijamos $\varepsilon=1$. Entonces existe $n_{0}\in\mathbb{N}$ con $|x_{n}-a|<1\;\forall n\geq n_{0}$. Si se aplica la desigualdad del triángulo para $n\geq n_{0}$, se obtiene

Definimos $M\coloneqq\sup\left\{\left|x_{1}\right|,\left|x_{2}\right|,\ldots,\left|x_{n_{0}-1}\right|,1+\left|x\right|\right\}$, de lo que se sigue que $\left|x_{n}\right|\leq M$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Luego $\left\{x_{n}\right\}$ está acotada. ∎

Sea $\left\{x_{n}\right\}^{\infty}_{n=1}$ una sucesión monótona acotada. Supongamos que es monótona creciente, siendo análogo si fuese monótona decreciente.

Por el axioma del supremo, existe $a=\sup\left\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$. Como $a$ es el supremo de $\left\{x_{n}\right\}$, dado $\varepsilon>0$ existe $x_{n_{0}}$ con $n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $a-\varepsilon<x_{n_{0}}\leq a$. Puesto que la sucesión es creciente, se tiene para todo $n\in\mathbb{N},n\geq n_{0}$, con lo que, en efecto, $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a$. ∎

Toda sucesión contiene una subsucesión monotona por II.2. El resultado se sigue de aplicar que toda sucesión monótona acotada es convergente (II.6). ∎

Como $(x_{n})$ es una sucesión acotada, necesariamente existe $K\in\mathbb{R}$ tal que $\left|x_{n}\right|<K\;\forall n\in\mathbb{N}$.

Por otra parte, como $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}y_{n}=0$, dado $\varepsilon>0$, existe $n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\left|y_{n}-0\right|<\frac{\varepsilon}{K}\;\forall n\geq n_{0}$.

Así, obtenemos

Por lo tanto, $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}y_{n}=0$. ∎

Supongamos que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{n}=a$. Sea $\varepsilon>0$, entonces existe $n_{0}\in\mathbb{N}$ con $|x_{n}-a|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$.

Tenemos que ver que $||x_{n}|-|a||\leq\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}$, con lo que se tendría el resultado.

Usando las propiedades del valor absoluto vistas en el tema anterior,

Análogamente, $\left|a\right|-\left|x_{n}\right|\leq\left|a-x_{n}\right|=\left|-(x_{n}-a)\right|=\left|x_{n}-a\right|$.

Por tanto, $\left|\left|x_{n}\right|-\left|a\right|\right|\leq\left|x_{n}-a\right|$ y $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\left|x_{n}\right|=\left|a\right|$. ∎

Sea $\varepsilon>0$, entonces existe $n_{1}\in\mathbb{N}$ tal que $\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{1}$ y $n_{2}\in\mathbb{N}$ tal que $\left|y_{n}-a\right|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{2}$. Definimos $n_{0}=max\left\{n_{1},n_{2}\right\}$. Entonces $\left|x_{n}-a\right|\;\forall n\geq n_{0}$ y $\left|y_{n}-a\right|\;\forall n\geq n_{0}$.

Como $x_{n}\leq z_{n}\leq y_{n}$,

y se tiene que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}z_{n}=a$. ∎