8 Convergencia de sucesiones

Definition 8.1 (Convergencia).

Dados {xn}n=1∞⊂ℝ\left\{x_{n}\right\}^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R} y a∈ℝa\in\mathbb{R}, diremos que {xn}n=1∞\left\{x_{n}\right\}^{\infty}_{n=1} converge al numero aa, y lo denotaremos por limn→∞xn=a\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a, si dado ε>0\varepsilon>0 existe n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} con |xn−a|<ε⁢∀n∈ℕ|x_{n}-a|<\varepsilon\;\forall n\in\mathbb{N} con n≥n0n\geq n_{0}.

Remark 8.2.

Aplicando las propiedades del valor absoluto, observamos que |xn−a|<ε|x_{n}-a|<\varepsilon es equivalente a que xn∈(a−ε,a+ε)x_{n}\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon).

Proposition 8.3.

El límite de una sucesión, si existe, es único.

Proof 8.4.

Supongamos, por reduccion al absurdo, que existe {xn}n=1∞\left\{x_{n}\right\}^{\infty}_{n=1} y a,b∈ℝa,b\in\mathbb{R} tales que limn→∞xn=a\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a y limn→∞xn=b\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=b. Supongamos que a<ba<b, siendo análogo para b<ab<a.

Si la sucesion es convergente, para todo entorno de aa a partir de un momento dado todos los elementos de la sucesion están dicho entorno. Lo mismo para un entorno de bb. Cogemos un ε\varepsilon tal que a+ε≤b+ε⇒2⁢ε≤b−a⇒0<ε≤b−a2a+\varepsilon\leq b+\varepsilon\Rightarrow 2\varepsilon\leq b-a\Rightarrow 0<% \varepsilon\leq\frac{b-a}{2}.

Sea ε=b−a2\varepsilon=\frac{b-a}{2}. Como limn→∞xn=a\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a, ∃n1∈ℕ\exists n_{1}\in\mathbb{N} tal que xn∈(a−ε,a+ε)x_{n}\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon) ∀n≥n1∈ℕ\;\forall n\geq n_{1}\in\mathbb{N} y, como limn→∞xn=b\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=b, ∃n2∈ℕ\exists n_{2}\in\mathbb{N} tal que xn∈(b−ε,b+ε)⁢∀n≥n2∈ℕx_{n}\in(b-\varepsilon,b+\varepsilon)\;\forall n\geq n_{2}\in\mathbb{N}.

Definimos n0=max⁡{n1,n2}∈ℕn_{0}=\max\left\{n_{1},n_{2}\right\}\in\mathbb{N}. Entonces, se tiene que xn∈(a−ε,a+ε)x_{n}\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon) y xn∈(b−ε,b+ϵ)⁢∀n≥n0x_{n}\in(b-\varepsilon,b+\epsilon)\;\forall n\geq n_{0}. Esto no es posible puesto que habíamos supuesto que (a−ε,a+ε)∩(b−ε,b+ε)=∅(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\cap(b-\varepsilon,b+\varepsilon)=\varnothing. Luego el límite, si existe, es único.

Proposition 8.5.

Sean {xn}n=1∞\left\{x_{n}\right\}^{\infty}_{n=1} y {yn}n=1∞\left\{y_{n}\right\}^{\infty}_{n=1}, ambas convergentes, y k∈ℝk\in\mathbb{R}. Entonces

  1. 1.
    ​

    limn→∞(xn+yn)=limn→∞xn+limn→∞yn\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n}+y_{n})=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}+\lim% \limits_{n\to\infty}y_{n}.

  2. 2.
    ​

    limn→∞(xn−yn)=limn→∞xn−limn=1→∞yn\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n}-y_{n})=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}-\lim% \limits_{n=1\to\infty}y_{n}

  3. 3.
    ​

    limn→∞xn⁢yn=limn→∞xn⋅limn→∞yn\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}y_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}\cdot\lim% \limits_{n\to\infty}y_{n}

  4. 4.
    ​

    limn→∞xnyn=limn→∞xnlimn→∞yn\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n% }}{\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}} si y0≠0y_{0}\neq 0, limn→∞yn≠0\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}\neq 0.

  5. 5.
    ​

    limn→∞(k⋅xn)=k⋅limn→∞xn\lim\limits_{n\to\infty}(k\cdot x_{n})=k\cdot\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}.

Proof 8.6.

Sean a=limn→∞xna=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}, b=limn→∞yn∈ℝb=\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}\in\mathbb{R}.

  1. 1.
    ​

    Sea ε>0\varepsilon>0. Como ϵ2>0\frac{\epsilon}{2}>0, existe un n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} tal que |xn−a|<ε2⁢∀n≥n0|x_{n}-a|<\frac{\varepsilon}{2}\;\forall n\geq n_{0} y |yn−b|<ε2⁢∀n≥n0|y_{n}-b|<\frac{\varepsilon}{2}\;\forall n\geq n_{0}. Entonces

    |(xn+yn)−(a+b)|=|(xn−a)+(yn−b)|≤|xn−a|+|yn−b|≤ε2+ε2=ε⁢∀n≥n0|(x_{n}+y_{n})-(a+b)|=|(x_{n}-a)+(y_{n}-b)|\leq|x_{n}-a|+|y_{n}-b|\leq\frac{% \varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}

    Luego, efectivamente, limn→∞(xn+yn)=a+b\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n}+y_{n})=a+b.

  2. 2.
    ​

    Análogo al apartado anterior.

    |(xn−yn)−(a−b)|=|(xn−a)+[−(yn−b)]|≤|xn−a|+|−(yn−b)|≤ε2+ε2=ε⁢∀n≥n0|(x_{n}-y_{n})-(a-b)|=|(x_{n}-a)+[-(y_{n}-b)]|\leq|x_{n}-a|+|-(y_{n}-b)|\leq% \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}
  3. 3.
    ​

    Sea ε>0\varepsilon>0. Sea n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} con |xn−a|<ε⁢∀n≥n0|x_{n}-a|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}, |yn−b|<ε⁢∀n≥n0|y_{n}-b|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}. Sea M∈ℝM\in\mathbb{R} con |yn|≤M⁢∀n∈ℕ|y_{n}|\leq M\;\forall n\in\mathbb{N}.

    |xn⋅yn−a⋅b|=|(xn⋅yn−a⋅yn)+(a⋅yn−a⋅b)|≤|xn⋅yn−a⋅yn|+|a⋅yn−a⁢b|==|yn|⋅|xn−a|−|a|⋅|yn−b|<M⁢ε+|a|⋅ε=ε⁢(M+|a|)⁢∀n≥n0|x_{n}\cdot y_{n}-a\cdot b|=|(x_{n}\cdot y_{n}-a\cdot y_{n})+(a\cdot y_{n}-a% \cdot b)|\leq|x_{n}\cdot y_{n}-a\cdot y_{n}|+|a\cdot y_{n}-ab|=\\ =|y_{n}|\cdot|x_{n}-a|-|a|\cdot|y_{n}-b|<M\varepsilon+|a|\cdot\varepsilon=% \varepsilon(M+|a|)\;\forall n\geq n_{0}

    Luego limn→∞(xn⋅yn)=limn→∞xn⋅limn→∞yn\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n}\cdot y_{n})=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}\cdot% \lim\limits_{n\to\infty}y_{n}.

  4. 4,5.
    ​

    No vistas en clase.

Proposition 8.7.

Toda sucesión convergente es acotada.

Proof 8.8.

Sea {xn}n=1∞⊂ℝ\left\{x_{n}\right\}^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R} convergente con limn→∞xn=a\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a y fijamos ε=1\varepsilon=1. Entonces existe n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} con |xn−a|<1⁢∀n≥n0|x_{n}-a|<1\;\forall n\geq n_{0}. Si se aplica la desigualdad del triángulo para n≥n0n\geq n_{0}, se obtiene

|xn|=|xn−x+x|≤|xn−x|+|x|<1+|x|\left|x_{n}\right|=\left|x_{n}-x+x\right|\leq\left|x_{n}-x\right|+\left|x% \right|<1+\left|x\right|

Definimos M≔sup{|x1|,|x2|,…,|xn0−1|,1+|x|}M\coloneqq\sup\left\{\left|x_{1}\right|,\left|x_{2}\right|,\ldots,\left|x_{n_{% 0}-1}\right|,1+\left|x\right|\right\}, de lo que se sigue que |xn|≤M\left|x_{n}\right|\leq M para todo n∈ℕn\in\mathbb{N}. Luego {xn}\left\{x_{n}\right\} está acotada.

Proposition 8.9.

Toda sucesión monótona acotada es convergente.

Proof 8.10.

Sea {xn}n=1∞\left\{x_{n}\right\}^{\infty}_{n=1} una sucesión monótona acotada. Supongamos que es monótona creciente, siendo análogo si fuese monótona decreciente.

Por el axioma del supremo, existe a=sup{xn∣n∈ℕ}a=\sup\left\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}. Como aa es el supremo de {xn}\left\{x_{n}\right\}, dado ε>0\varepsilon>0 existe xn0x_{n_{0}} con n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} tal que a−ε<xn0≤aa-\varepsilon<x_{n_{0}}\leq a. Puesto que la sucesión es creciente, se tiene para todo n∈ℕ,n≥n0n\in\mathbb{N},n\geq n_{0}, con lo que, en efecto, limn→∞xn=a\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a.

Theorem 8.11 (Teorema de Bolzano-Weierstrass).

Toda sucesión acotada contiene una subsucesión convergente.

Proof 8.12.

Toda sucesión contiene una subsucesión monotona por 7.4. El resultado se sigue de aplicar que toda sucesión monótona acotada es convergente (8.9).

Theorem 8.13.

Si (xn)n=1∞(x_{n})^{\infty}_{n=1} es una sucesión acotada y limn→∞yn=0\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=0, entonces la sucesión (xn⁢yn)(x_{n}y_{n}) es convergente y limn→∞xn⁢yn=0\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}y_{n}=0.

Proof 8.14.

Como (xn)(x_{n}) es una sucesión acotada, necesariamente existe K∈ℝK\in\mathbb{R} tal que |xn|<K⁢∀n∈ℕ\left|x_{n}\right|<K\;\forall n\in\mathbb{N}.

Por otra parte, como limn→∞yn=0\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=0, dado ε>0\varepsilon>0, existe n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} tal que |yn−0|<εK⁢∀n≥n0\left|y_{n}-0\right|<\frac{\varepsilon}{K}\;\forall n\geq n_{0}.

Así, obtenemos

|xn⁢yn−0|=|xn⁢yn|=|xn|⋅|yn|<K⋅εK=ε\left|x_{n}y_{n}-0\right|=\left|x_{n}y_{n}\right|=\left|x_{n}\right|\cdot\left% |y_{n}\right|<K\cdot\frac{\varepsilon}{K}=\varepsilon

Por lo tanto, limn→∞xn⁢yn=0\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}y_{n}=0.

Proposition 8.15.

Sea (xn)n=1∞⊂ℝ(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}. Entonces

limn→∞xn=a⇒limn→∞|xn|=|a|\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}|x_{n}|=|a|
Proof 8.16.

Supongamos que limn→∞xn=a\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a. Sea ε>0\varepsilon>0, entonces existe n0∈ℕn_{0}\in\mathbb{N} con |xn−a|<ε⁢∀n≥n0|x_{n}-a|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}.

Tenemos que ver que ||xn|−|a||≤|xn−a|<ε⁢∀n≥n0||x_{n}|-|a||\leq\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{0}, con lo que se tendría el resultado.

Usando las propiedades del valor absoluto vistas en el tema anterior,

|xn|=|(xn−a)+a|≤|xn−a|+|a|⇒|xn|−|a|≤|xn−a|.|x_{n}|=\left|(x_{n}-a)+a\right|\leq\left|x_{n}-a\right|+\left|a\right|% \Rightarrow\left|x_{n}\right|-\left|a\right|\leq\left|x_{n}-a\right|.

Análogamente, |a|−|xn|≤|a−xn|=|−(xn−a)|=|xn−a|\left|a\right|-\left|x_{n}\right|\leq\left|a-x_{n}\right|=\left|-(x_{n}-a)% \right|=\left|x_{n}-a\right|.

Por tanto, ||xn|−|a||≤|xn−a|\left|\left|x_{n}\right|-\left|a\right|\right|\leq\left|x_{n}-a\right| y limn→∞|xn|=|a|\lim\limits_{n\to\infty}\left|x_{n}\right|=\left|a\right|.

Proposition 8.17 (Regla del sandwich).

Sean (xn)n=1∞(x_{n})^{\infty}_{n=1}, (yn)n=1∞(y_{n})^{\infty}_{n=1} y (zn)n=1∞⊂ℝ(z_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R} tales que xn≤zn≤yn⁢∀n∈ℕx_{n}\leq z_{n}\leq y_{n}\;\forall n\in\mathbb{N} y limn→∞xn=limn→∞yn=a\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=a. Entonces, limn→∞zn=a\lim\limits_{n\to\infty}z_{n}=a.

Proof 8.18.

Sea ε>0\varepsilon>0, entonces existe n1∈ℕn_{1}\in\mathbb{N} tal que |xn−a|<ε⁢∀n≥n1\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{1} y n2∈ℕn_{2}\in\mathbb{N} tal que |yn−a|<ε⁢∀n≥n2\left|y_{n}-a\right|<\varepsilon\;\forall n\geq n_{2}. Definimos n0=m⁢a⁢x⁢{n1,n2}n_{0}=max\left\{n_{1},n_{2}\right\}. Entonces |xn−a|⁢∀n≥n0\left|x_{n}-a\right|\;\forall n\geq n_{0} y |yn−a|⁢∀n≥n0\left|y_{n}-a\right|\;\forall n\geq n_{0}.

Como xn≤zn≤ynx_{n}\leq z_{n}\leq y_{n},

a−ε<xn≤zn≤yn<a+ε⁢∀n∈ℕ⇒zn∈(a−ε,a+ε)⁢∀n≥n0⇒|zn−a|≤εa-\varepsilon<x_{n}\leq z_{n}\leq y_{n}<a+\varepsilon\;\forall n\in\mathbb{N}% \Rightarrow z_{n}\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\;\forall n\geq n_{0}% \Rightarrow|z_{n}-a|\leq\varepsilon

y se tiene que limn→∞zn=a\lim\limits_{n\to\infty}z_{n}=a.