27 Teoremas sobre Integrales

Theorem 27.1 (Regla de Barrow).

Sean ff y FF continuas en [a,b][a,b] y FF derivable en (a,b)(a,b) tal que F′⁢(x)=f⁢(x)⁢∀x∈(a,b)F^{\prime}(x)=f(x)\;\forall x\in(a,b). Entonces,

∫abf⁢(x)⁢dx=[F⁢(x)]ab=F⁢(b)−F⁢(a)\int^{b}_{a}f(x)\;\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]^{b}_{a}=F(b)-F(a)
Theorem 27.2 (fundamental del calculo).

Si ff es continua en [a,b][a,b] entonces existe una funcion FF tal que F′⁢(x)=f⁢(x)⁢∀x∈[a,b]F^{\prime}(x)=f(x)\;\forall x\in[a,b].

Proof 27.3.

Sabemos que si ff es continua en [a,b][a,b] entonces es integrable en [a,b][a,b]. Dado x∈[a,b]x\in[a,b], tambien se tiene que ff es integrable en [a,x][a,x].

Definimos F⁢(x)=∫axf⁢(t)⁢𝑑tF(x)=\int^{x}_{a}f(t)dt. Veamos que F⁢(x)F(x) es derivable en c∈[a,b]c\in[a,b] es decir, F′⁢(c)=limh→0F⁢(c+h)−F⁢(c)h=f⁢(c)⇒∀ε>0⁢∃δ>0F^{\prime}(c)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=f(c)\Rightarrow\forall% \varepsilon>0\;\exists\delta>0 t.q. si h∈(−δ,δ),h≠0,h\in(-\delta,\delta),h\neq 0, se cumple |F⁢(c+h)−F⁢(c)h−f⁢(c)|<ε\left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)\right|<\varepsilon.

|F⁢(c+h)−F⁢(c)h−f⁢(c)|\displaystyle\left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)\right|
=|∫ac+hf⁢(t)⁢𝑑t−∫acf⁢(t)⁢𝑑th−f⁢(c)|=|∫cc+hf⁢(t)⁢𝑑th−f⁢(c)|\displaystyle=\left|\frac{\int^{c+h}_{a}f(t)dt-\int^{c}_{a}f(t)dt}{h}-f(c)% \right|=\left|\frac{\int^{c+h}_{c}f(t)dt}{h}-f(c)\right|
=|∫cc+hf⁢(t)⁢𝑑th−f⁢(c)|=|∫cc+hf⁢(t)⁢𝑑th−f⁢(c)⋅1h⁢∫cc+h1⁢𝑑t⏟=1|\displaystyle=\left|\frac{\int^{c+h}_{c}f(t)dt}{h}-f(c)\right|=\left|\frac{% \int^{c+h}_{c}f(t)dt}{h}-f(c)\cdot\underbrace{\frac{1}{h}\int^{c+h}_{c}1dt}_{=% 1}\right|
=|1h⋅[∫cc+hf⁢(t)⁢𝑑t−f⁢(c)⋅∫cc+h1⁢𝑑t]|=|1h⋅∫cc+hf⁢(t)−f⁢(c)⁢d⁢t|\displaystyle=\left|\frac{1}{h}\cdot\left[\int^{c+h}_{c}f(t)dt-f(c)\cdot\int^{% c+h}_{c}1dt\right]\right|=\left|\frac{1}{h}\cdot\int^{c+h}_{c}f(t)-f(c)dt\right|
≤|1h|⁢∫cc+h|f⁢(t)−f⁢(c)|⁢𝑑t=|F⁢(c+h)−F⁢(c)h−f⁢(c)|⁢<?⁢ε\displaystyle\leq\left|\frac{1}{h}\right|\int^{c+h}_{c}\left|f(t)-f(c)\right|% dt=\left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)\right|\overset{?}{<}\varepsilon

Sea ε>0\varepsilon>0. Como ff es continua en cc, entonces ∃δ>0\exists\delta>0 tal que ∀t∈(c−δ,c+δ)\forall t\in(c-\delta,c+\delta), t≠ct\neq c, se cumple |f⁢(t)−f⁢(c)|<ε\left|f(t)-f(c)\right|<\varepsilon. Luego ∀h∈(−δ,δ),h≠0\forall h\in(-\delta,\delta),h\neq 0, suponemos que h>0h>0 (similar si h<0h<0) y tenemos que

|F⁢(c+h)−F⁢(c)h−f⁢(c)|\displaystyle\left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)\right|
≤1|h|⋅∫cc+h|f⁢(t)−f⁢(c)|⁢𝑑t<1h⋅∫cc+hε⁢𝑑t\displaystyle\leq\frac{1}{\left|h\right|}\cdot\int^{c+h}_{c}\left|f(t)-f(c)% \right|dt<\frac{1}{h}\cdot\int^{c+h}_{c}\varepsilon dt
=1h⋅ε⋅∫cc+h1⁢𝑑t=1h⋅ε⋅h=ε\displaystyle=\frac{1}{h}\cdot\varepsilon\cdot\int^{c+h}_{c}1dt=\frac{1}{h}% \cdot\varepsilon\cdot h=\varepsilon

*Borrador, falta reescribirlo*

Integración por partes, cambios de variable.