25 Qué es la integral?

Dados $a,b\in\mathbb{R}$ , con $a<b$ , y una función acotada $f(x)$ , estamos interesados en calcular:

\int^{b}_{a}f(x)\;\mathrm{d}x=\text{ Área Azul }-\text{ Área Roja}

Para ello, definimos una particion del intervalo $[a,b]$ :

a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b

y las cantidades $M_{i}=\sup\left\{f(x)\mid x\in[x_{i-1},x_{i}]\right\}$ y $m_{i}=\inf\left\{f(x)\mid x\in[x_{i-1},x_{i}]\right\}$ .

Ahora, definimos la suma superior e inferior asociada a la particion:

U=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})\text{ y }L=\sum_{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i% -1})\text{ (áreas rectangulos)}

Observamos que $L\leq U$ para cualquier particion.

De hecho, si cogemos todas las particiones posibles y nos quedamos con el supremo de $L$ y el infimo de $U$ , seguimos manteniendo la desigualdad:

\sup L\leq\inf U

En el caso de que ambas cantidades sean iguales, diremos que $f$ es integrable en $[a,b]$ y definimos la integral como

\int^{b}_{a}f=\int^{b}_{a}f(x)\;\mathrm{d}x=\sup L=\inf U

Además, definimos $\int^{a}_{b}f=-\int^{b}_{a}f$ y $\int^{a}_{a}f=0$ .