26 Propiedades de las integrales ‣ Part VII Integrales ‣ Cálculo

Theorem 26.1.

Sea $f\colon I\to\mathbb{R}$ , con $I\subseteq\mathbb{R}$ .

\text{Si }f\text{ es continua en }[a,b]\Rightarrow f\text{ es integrable en }[% a,b].

Además, el área comprendida entre la gráfica de una función continua positiva, el eje $X$ y las rectas $x=a$ y $x=b$ , es igual a

\int^{b}_{a}f.

Proof 26.2.

Tampoco se ha visto en clase.

Example 26.3.

$f(x)=c$ , con $c\in\mathbb{R}$ .

Sean $a,b\in\mathbb{R}$ y consideramos el intervalo $[b,a]$ . Sea $P=\left\{x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\right\}\subset[a,b]$ .

L(f,P)=\sum_{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})=\sum_{i=1}^{n}c(x_{i}-x_{i-1})=c\sum% _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})=c(x_{n}-x_{0})=c(b-a)

U(f,P)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})=c\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})=c(b-a)

Por tanto, $U(f,P)=L(f,P)=c(b-a)\;\forall P$ . Es decir, $f$ es integrable y $\int^{b}_{a}f(x)dx=\int^{b}_{a}cdx=c(b-a)$ .

Example 26.4.

$\int^{1}_{0}xdx=?$ . Consideramos una particion $P=\left\{0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n}\right\}$ . Esta particion es equiespacial ya que la diferencia entre cada elemento es siempre $\frac{1}{n}$ . Por ejemplo, si $n=4$ la particion seria $P_{4}=\left\{0,\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4}\right\}$ . En este caso,

U(x,P_{4})=M_{1}(x_{1}-x_{0})+M_{2}(x_{2}-x_{1})+M_{3}(x_{3}-x_{2})+M_{4}(x_{4% }-x_{3})=\\ =x_{1}\cdot\frac{1}{4}+x_{2}\cdot\frac{1}{4}+x_{3}\cdot\frac{1}{4}+x_{4}\cdot% \frac{1}{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{3}{4% }\cdot\frac{1}{4}+1\cdot\frac{1}{4}

L(x,P_{4})=m_{1}(x_{1}-x_{0})+m_{2}(x_{2}-x_{1})+m_{3}(x_{3}-x_{2})+m_{4}(x_{4% }-x_{3})=\\ =x_{0}\cdot\frac{1}{4}+x_{1}\cdot\frac{1}{4}+x_{2}\cdot\frac{1}{4}+x_{3}\cdot% \frac{1}{4}=0\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot% \frac{1}{4}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}

Ahora vemos el caso general. Para $P_{n}$ ,

U(x,P_{n})=\sum_{j=1}^{n}M_{j}\cdot(x_{j}-x_{j-1})=\sum_{j=1}^{n}x_{j}\cdot% \frac{1}{n}=\sum_{j=1}^{n}\frac{j}{n}\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n^{2}}\sum_{j=1% }^{n}j

L(x,P_{n})=\sum_{j=1}^{n}m_{j}\cdot(x_{j}-x_{j-1})=\sum_{j=1}^{n}x_{j-1}\cdot% \frac{1}{n}=\sum_{j=1}^{n}\frac{j-1}{n}\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n^{2}}\sum_{j% =1}^{n}(j-1)

Por tanto, nos queda que $U(x,P_{n})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{j=1}^{n}j$ y $L(x,P_{n})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{j=1}^{n}(j-1)$ .

Sea $U(f)=\inf(U(f,P))$ y $L(f)=\sup(L(f,P))$ . Es obvio que $L(f)\leq U(f)$ . En particular,

\frac{1}{n^{2}}\sum_{j=1}^{n}(j-1)=L(f,P_{n})\leq L(f)\leq U(f)\leq U(f,P_{n})% =\frac{1}{n^{2}}\sum_{j=1}^{n}j

Ademas, $\sum_{j=1}^{n}j=\frac{n(n+1)}{2}$ y $\sum_{j=1}^{n}(j-1)=\sum_{j=1}^{n}j-\sum_{j=1}^{n}1=\frac{n(n-1)}{2}-n$ .

Por tanto, $L(f,P_{n})=\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)}{2}-n=\frac{n^{2}+n}{2n^{2}}-\frac% {n}{n^{2}}\overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{2}$ y $U(f,P_{n})=\frac{1}{n^{2}}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^{2}+n}{2n^{2}}\overset{n% \rightarrow\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{2}$ .

Entonces, $L(f)=U(f)=\frac{1}{2}$ y $f$ es integrable $\Rightarrow\int^{1}_{0}xdx=\frac{1}{2}$ .

Proposition 26.5.

Sean $f$ y $g$ integrables en $[a,b]$ , entonces:

•

$f+g$ es integrable en $[a,b]$ y $\int^{b}_{a}(f+g)=\int^{b}_{a}f+\int^{b}_{a}g$ .
•

$\lambda f$ es integrable en $[a,b]$ y $\int^{b}_{a}\lambda f=\lambda\int^{b}_{a}f$ .
•

$\left|f\right|$ es integrable en $[a,b]$ y $\int^{b}_{a}f\leq\int^{b}_{a}\left|f\right|.$
•

$f\cdot g$ es integrable en $[a,b]$ pero, en general, $\int^{b}_{a}f\cdot g\neq\int^{b}_{a}f\cdot\int^{b}_{a}g$ .

Proposition 26.6.

Sea $f\colon I\to\mathbb{R}$ , $I\subset\mathbb{R}$ y $a,b,c\in\mathbb{R}$ con $a\leq b\leq c$ . Entonces

f\text{ es integrable en }[a,c]\iff f\text{ es integrable en }[a,b]\text{ y }[% b,c].

Además, $\int^{c}_{a}f=\int^{b}_{a}f+\int^{c}_{b}f$ .

Proposition 26.7.

Sean $f$ y $g$ integrables en $[a,b]$ :

•

Si $f(x)\geq 0\quad\forall x\in[a,b]$ , entonces $\int^{b}_{a}f\geq 0$ .
•

Si $f(x)\geq g(x)\quad\forall x\in[a,b]$ , entonces $\int^{b}_{a}f\geq\int^{b}_{a}g$ .