27 Teoremas sobre Integrales

Teorema VII.2 (Regla de Barrow).

Sean ff y FF continuas en [a,b][a,b] y FF derivable en (a,b)(a,b) tal que F′(x)=f(x)∀x∈(a,b)F^{\prime}(x)=f(x)\;\forall x\in(a,b). Entonces,

∫baf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)\int^{b}_{a}f(x)\;\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]^{b}_{a}=F(b)-F(a)
Teorema VII.3 (fundamental del calculo).

Si ff es continua en [a,b][a,b] entonces existe una funcion FF tal que F′(x)=f(x)∀x∈[a,b]F^{\prime}(x)=f(x)\;\forall x\in[a,b].

Demostración.

Sabemos que si ff es continua en [a,b][a,b] entonces es integrable en [a,b][a,b]. Dado x∈[a,b]x\in[a,b], tambien se tiene que ff es integrable en [a,x][a,x].

Definimos F(x)=∫xaf(t)dtF(x)=\int^{x}_{a}f(t)dt. Veamos que F(x)F(x) es derivable en c∈[a,b]c\in[a,b] es decir, F′(c)=lı´mh→0F(c+h)−F(c)h=f(c)⇒∀ε>0∃δ>0F^{\prime}(c)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}\frac{% F(c+h)-F(c)}{h}=f(c)\Rightarrow\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0 t.q. si h∈(−δ,δ),h≠0,h\in(-\delta,\delta),h\neq 0, se cumple |F(c+h)−F(c)h−f(c)|<ε\left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)\right|<\varepsilon.

|F(c+h)−F(c)h−f(c)|\displaystyle\left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)\right|
=|∫c+haf(t)dt−∫caf(t)dth−f(c)|=|∫c+hcf(t)dth−f(c)|\displaystyle{}=\left|\frac{\int^{c+h}_{a}f(t)dt-\int^{c}_{a}f(t)dt}{h}-f(c)% \right|=\left|\frac{\int^{c+h}_{c}f(t)dt}{h}-f(c)\right|
=|∫c+hcf(t)dth−f(c)|=|∫c+hcf(t)dth−f(c)⋅1h∫c+hc1dt⏟=1|\displaystyle{}=\left|\frac{\int^{c+h}_{c}f(t)dt}{h}-f(c)\right|=\left|\frac{% \int^{c+h}_{c}f(t)dt}{h}-f(c)\cdot\underbrace{\frac{1}{h}\int^{c+h}_{c}1dt}_{=% 1}\right|
=|1h⋅[∫c+hcf(t)dt−f(c)⋅∫c+hc1dt]|=|1h⋅∫c+hcf(t)−f(c)dt|\displaystyle{}=\left|\frac{1}{h}\cdot\left[\int^{c+h}_{c}f(t)dt-f(c)\cdot\int% ^{c+h}_{c}1dt\right]\right|=\left|\frac{1}{h}\cdot\int^{c+h}_{c}f(t)-f(c)dt\right|
≤|1h|∫c+hc|f(t)−f(c)|dt=|F(c+h)−F(c)h−f(c)|<?ε\displaystyle{}\leq\left|\frac{1}{h}\right|\int^{c+h}_{c}\left|f(t)-f(c)\right% |dt=\left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)\right|\overset{?}{<}\varepsilon

Sea ε>0\varepsilon>0. Como ff es continua en cc, entonces ∃δ>0\exists\delta>0 tal que ∀t∈(c−δ,c+δ)\forall t\in(c-\delta,c+\delta), t≠ct\neq c, se cumple |f(t)−f(c)|<ε\left|f(t)-f(c)\right|<\varepsilon. Luego ∀h∈(−δ,δ),h≠0\forall h\in(-\delta,\delta),h\neq 0, suponemos que h>0h>0 (similar si h<0h<0) y tenemos que

|F(c+h)−F(c)h−f(c)|\displaystyle\left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)\right|
≤1|h|⋅∫c+hc|f(t)−f(c)|dt<1h⋅∫c+hcεdt\displaystyle{}\leq\frac{1}{\left|h\right|}\cdot\int^{c+h}_{c}\left|f(t)-f(c)% \right|dt<\frac{1}{h}\cdot\int^{c+h}_{c}\varepsilon dt
=1h⋅ε⋅∫c+hc1dt=1h⋅ε⋅h=ε\displaystyle{}=\frac{1}{h}\cdot\varepsilon\cdot\int^{c+h}_{c}1dt=\frac{1}{h}% \cdot\varepsilon\cdot h=\varepsilon

*Borrador, falta reescribirlo* ∎

Integración por partes, cambios de variable.