25 Qué es la integral?

Dados a,b∈ℝa,b\in\mathbb{R}, con a<ba<b, y una función acotada f(x)f(x), estamos interesados en calcular:

∫baf(x)dx= Área Azul − Área Roja\int^{b}_{a}f(x)\;\mathrm{d}x=\text{ Área Azul }-\text{ Área Roja}

Para ello, definimos una particion del intervalo [a,b][a,b]:

a=x0<x1<⋯<xn=ba=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b

y las cantidades Mi=sup{f(x)∣x∈[xi−1,xi]}M_{i}=\sup\left\{f(x)\mid x\in[x_{i-1},x_{i}]\right\} y mi=ı´nf{f(x)∣x∈[xi−1,xi]}m_{i}=\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}\left\{f(x)\mid x\in[x_{i-1},x_% {i}]\right\}.

aabbf(x)f(x)

.

aabbf(x)f(x)x1x_{1}x2x_{2}x3x_{3}x4x_{4}x5x_{5}x6x_{6}x7x_{7}x0x_{0}

Ahora, definimos la suma superior e inferior asociada a la particion:

U=∑i=1nMi(xi−xi−1) y L=∑i=1nmi(xi−xi−1) (áreas rectangulos)U=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})\text{ y }L=\sum_{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i% -1})\text{ (áreas rectangulos)}

Observamos que L≤UL\leq U para cualquier particion.

De hecho, si cogemos todas las particiones posibles y nos quedamos con el supremo de LL y el infimo de UU, seguimos manteniendo la desigualdad:

supL≤ı´nfU\sup L\leq\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}U

En el caso de que ambas cantidades sean iguales, diremos que ff es integrable en [a,b][a,b] y definimos la integral como

∫baf=∫baf(x)dx=supL=ı´nfU\int^{b}_{a}f=\int^{b}_{a}f(x)\;\mathrm{d}x=\sup L=\mathop{\operator@font% \acute{{\imath}}nf}U

Además, definimos ∫abf=−∫baf\int^{a}_{b}f=-\int^{b}_{a}f y ∫aaf=0\int^{a}_{a}f=0.