21 Propiedades de las derivadas

Proposición V.1.

Sean $f$ y $g$ derivables en $x_{0}$ y $\lambda\in\mathbb{R}$ , entonces:

$f+g$ es derivable en $x_{0}$ y $(f+g)^{\prime}(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})+g^{\prime}(x_{0})$ .
$\lambda f$ es derivable en $x_{0}$ y $(\lambda f)^{\prime}(x_{0})=\lambda f^{\prime}(x_{0})$ .
$f\cdot g$ es derivable en $x_{0}$ y $(f\cdot g)^{\prime}(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g^{\prime}(x_{0})$
Si $g(x_{0})\neq 0,\frac{f}{g}$ es derivable en $x_{0}$ y $(\frac{f}{g})(x_{0})=\frac{f^{\prime}(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g^{\prime}(x_{0})% }{g^{2}(x_{0})}$ .

Demostración.

$\displaystyle(f+g)^{\prime}(x_{0})$

$\displaystyle{}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}% \frac{(f+g)(x_{0}+h)-(f+g)(x_{0})}{h}$

$\displaystyle{}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}% \frac{f(x_{0}+h)+g(x_{0}+h)-(f(x_{0})+g(x_{0}))}{h}$

$\displaystyle{}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}% \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}+\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{h\to 0}\frac{g(x_{0}+h)-g(h)}{h}$

$\displaystyle{}=f^{\prime}(x_{0})+g^{\prime}(x_{0})$

Como $f,g$ son derivables en $x_{0}\Rightarrow f^{\prime}(x_{0}),g^{\prime}(x_{0})\in\mathbb{R}\Rightarrow(f% +g)^{\prime}(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})+g^{\prime}(x_{0})\in\mathbb{R}$ y $f+g$ es derivable.
$\displaystyle(\lambda f)^{\prime}(x_{0})$

$\displaystyle{}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}% \frac{(\lambda f)(x_{0}+h)-(\lambda f)(x_{0})}{h}=\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}\frac{\lambda f(x_{0}+h)-\lambda f(x_{0})}{h}$

$\displaystyle{}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}% \lambda\cdot\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}\limits_{h\to 0}\lambda\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}% m}\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$

$\displaystyle{}=\lambda f^{\prime}(x_{0})$
${}(f\cdot g)^{\prime}(x_{0})=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits% _{h\to 0}\frac{(f\cdot g)(x_{0}+h)-(f\cdot g)(x_{0})}{h}=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0})g(x_{0}+h)-f(x% _{0})g(x_{0})}{h}=\\ {}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)g% (x_{0}+h)-f(x_{0})\cdot g(x_{0}+h)+f(x_{0})g(x_{0}+h)-f(x_{0})g(x_{0})}{h}=\\ {}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}\frac{g(x_{0}+h)(% f(x_{0}+h)-f(x_{0}))}{h}+\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h% \to 0}\frac{f(x_{0})\cdot(g(x_{0}+h)-g(x_{0}))}{h}=\\ {}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}g(x_{0}+h)\cdot% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x% _{0})}{h}+g(x_{0})\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0% }\frac{g(x_{0}+h)-g(x_{0})}{h}=\\ {}=f^{\prime}(x_{0})\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h% \to 0}g(x_{0}+h)+f(x_{0})\cdot g^{\prime}(x_{0})\overset{g\text{ continua en }% x_{0}}{=}f^{\prime}(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g^{\prime}(x_{0})$
Añadir.

∎

Teorema V.1.

Sea $f\colon I\to\mathbb{R}$ con $I=(a,b)$ . Si $f$ es derivable en $x_{0}$ , entonces $f$ es continua en $x_{0}$ .

Demostración.

Dado $x\in I$ , $x\neq x_{0}$ ,

f(x)-f(x_{0})=\frac{(f(x)-f(x_{0}))}{x-x_{0}}(x-x_{0})

Además, tenemos que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}f(x)-f(x_{0})=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{% 0})}{x-x_{0}}\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0% }}x-x_{0}=f^{\prime}(x_{0})\cdot 0=0

Por tanto, $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))=0$ .

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}f(x)=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}(f(x)-f(x_{0})+f(x_{0}))% =\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))% +\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}f(x_{0})=f(x_{0})

Luego $f$ es continua en $x_{0}$ por definición. ∎

Teorema V.2 (Regla de la cadena).

Si $f$ es derivable en $x_{0}$ y $g$ es derivable en $f(x_{0})$ , entonces $g\circ f$ es derivable en $x_{0}$ y

(g\circ f)^{\prime}(x_{0})=g^{\prime}(f(x_{0}))f^{\prime}(x_{0})

Demostración.

No vista en clase. ∎

Ejemplo V.1.

f(x)=\begin{dcases}x^{2}\sin\frac{1}{x}+2x^{2}\quad x\neq 0\\ 0\quad x=0\end{dcases}

1.

$f$ es continua en $x\neq 0$ :

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})?$ $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}x^{2}\sin\frac{1% }{x}+2x^{2}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}}x^{2% }\sin\frac{1}{x}+\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to x_{0}% }2x^{2}=x^{2}_{0}\sin\frac{1}{x_{0}}+2x^{2}_{0}$

$f$ es continua en $x=0$ ?

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}x^{2}\sin\frac{1}{x}% +2x^{2}\overset{?}{=}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0% }x^{2}\sin\frac{1}{x}+\underbrace{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{x\to 0}2x^{2}}_{=0}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits% _{x\to 0}x^{2}\sin\frac{1}{x}=0+0=0$ .

$\left|x^{2}\sin\frac{1}{x}\right|=\left|x^{2}\right|\left|\sin\frac{1}{x}% \right|=x^{2}\cdot\left|\sin\frac{1}{x}\right|\leq x^{2}\overset{x\rightarrow 0% }{\longrightarrow}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}% \left|x^{2}\sin\frac{1}{x}\right|=0$ .

$f$ es derivable en $x=x_{0}\neq 0?$

$f(x)=x^{2}\sin\frac{1}{x}+2x^{2}$

$\frac{1}{x}$ es derivable en $x_{0}\neq 0$ , $\sin(y)$ es derivable en $y=\frac{1}{x_{0}}\overset{R\mathchar 46\relax C\mathchar 46\relax}{\Rightarrow% }\sin\frac{1}{x}$ es derivable en $x_{0}$ . Por tanto, $f$ es derivable en $\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}$ .

$f$ es derivable en $x=0$ ?

$f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x\sin\frac{1}{x}+x^{2}\cos\frac{1}{x}\cdot-\frac{1% }{x^{2}}+4x\qquad x\neq 0\\ ??\qquad x=0\end{cases}$

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}f^{\prime}(x)=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}2x\sin\frac{1}{x}-% \cos\frac{1}{x}+4x$ .

Veamos que $\cancel{\exists}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}\cos% \frac{1}{x}$ . Consideramos $x_{n}=\frac{1}{2\pi n}\Rightarrow\cos\frac{1}{\frac{1}{2\pi n}}=\cos 2\pi nn=1$ . Tambien $y_{n}=\frac{1}{2\pi n+\pi}\overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0$ . $\cos\frac{1}{y_{n}}=\cos\frac{1}{\frac{1}{2\pi n+\pi}}=\cos 2\pi n+\pi=-1$ .

Luego

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}2x_{n}\sin\frac{% 1}{x_{n}}-\cos\frac{1}{x_{n}}+4x_{n}=-1$

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}2y_{n}\sin\frac{% 1}{y_{n}}-\cos\frac{1}{y_{n}}+4y_{n}=1$

Como $1\neq-1$ , $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}f^{\prime}(x)$ no existe $\Rightarrow$ $f$ es derivable en $x=0$ ? No sabemos nada.

$f^{\prime}(0)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}\frac{% f(0+h)-f(0)}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}% \frac{h^{2}\cdot\sin\frac{1}{h}+2h^{2}}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}\limits_{h\to 0}h\sin\frac{1}{h}+2h=0$ (por sandwich). Por tanto, $f$ es derivable en $x=0$ .

$f$ es derivable en $\mathbb{R}$ .
$f^{\prime}$ es continua en $\mathbb{R}$ :
- $x\neq 0\Rightarrow f^{\prime}$ es continua
- $x=0:$ $\underbrace{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}f^{% \prime}(x)}_{\text{No existe}}\overset{?}{=}f^{\prime}(0)=0\Rightarrow f^{\prime}$ no es continua en $x=0$ .
Su derivada no es continua.

Podemos distinguir varios tipos de funciones según su continuidad y la continuidad de sus derivadas:

Continuas: por ejemplo, $f(x)=\left|x\right|$ . Se dice que $f(x)\in\mathscr{C}^{0},\mathscr{C}$ .
Derivada no continua: por ejemplo, la de V.1: $f(x)$ es continua y derivable pero $f^{\prime}(x)$ no es continua.
Derivada continua: $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0}f^{\prime}(x)=2=f^{% \prime}(0)$ . Se dice que $f(x)\in\mathscr{C}^{1}$ . Si la segunda derivada es continua, $f(x)\in\mathscr{C}^{2}$ , etc.

Teorema V.3 (Teorema del extremo interior).

Sea $c$ un punto interior del intervalo $I$ en el que $f\colon I\to\mathbb{R}$ tiene un extremo relativo. Si la derivada de $f$ en $c$ existe, entonces $f^{\prime}(c)=0$ .

Demostración.

Supongamos que $f$ tiene un máximo relativo en $c\in I$ . La demostración del caso de un mínimo relativo es similar.

Si $f^{\prime}(c)>0$ , entonces por el teorema IV.7 existe $\delta>0$ tal que

\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0\text{ para }x\in(c-\delta,c+\delta),x\neq c\mathchar 46\relax

Si $x\in V$ y $x>c$ , se tiene entonces

f(x)-f(c)=(x-c)\cdot\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0

Pero esto contradice la hipótesis de que $f$ tiene un máximo relativo en $c$ . Por tanto, no se puede tener $f^{\prime}(c)>0$ . De manera similar, no se puede tener $f^{\prime}(c)<0$ . Por lo tanto, se debe tener $f^{\prime}(c)=0$ . ∎