21 Propiedades de las derivadas

Proposition 21.1.

Sean ff y gg derivables en x0x_{0} y λ∈ℝ\lambda\in\mathbb{R}, entonces:

  • •
    ​

    f+gf+g es derivable en x0x_{0} y (f+g)′⁢(x0)=f′⁢(x0)+g′⁢(x0)(f+g)^{\prime}(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})+g^{\prime}(x_{0}).

  • •
    ​

    λ⁢f\lambda f es derivable en x0x_{0} y (λ⁢f)′⁢(x0)=λ⁢f′⁢(x0)(\lambda f)^{\prime}(x_{0})=\lambda f^{\prime}(x_{0}).

  • •
    ​

    f⋅gf\cdot g es derivable en x0x_{0} y (f⋅g)′⁢(x0)=f′⁢(x0)⁢g⁢(x0)+f⁢(x0)⁢g′⁢(x0)(f\cdot g)^{\prime}(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g^{\prime}(x_{0})

  • •
    ​

    Si g⁢(x0)≠0,fgg(x_{0})\neq 0,\frac{f}{g} es derivable en x0x_{0} y (fg)⁢(x0)=f′⁢(x0)⁢g⁢(x0)−f⁢(x0)⁢g′⁢(x0)g2⁢(x0)(\frac{f}{g})(x_{0})=\frac{f^{\prime}(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g^{\prime}(x_{0})% }{g^{2}(x_{0})}.

Proof 21.2.
  • •
    (f+g)′⁢(x0)\displaystyle(f+g)^{\prime}(x_{0})
    =limh→0(f+g)⁢(x0+h)−(f+g)⁢(x0)h\displaystyle=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(f+g)(x_{0}+h)-(f+g)(x_{0})}{h}
    =limh→0f⁢(x0+h)+g⁢(x0+h)−(f⁢(x0)+g⁢(x0))h\displaystyle=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)+g(x_{0}+h)-(f(x_{0})+g(x_{0% }))}{h}
    =limh→0f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h+limh→0g⁢(x0+h)−g⁢(h)h\displaystyle=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}+\lim\limits_{h% \to 0}\frac{g(x_{0}+h)-g(h)}{h}
    =f′⁢(x0)+g′⁢(x0)\displaystyle=f^{\prime}(x_{0})+g^{\prime}(x_{0})
    ​

    Como f,gf,g son derivables en x0⇒f′⁢(x0),g′⁢(x0)∈ℝ⇒(f+g)′⁢(x0)=f′⁢(x0)+g′⁢(x0)∈ℝx_{0}\Rightarrow f^{\prime}(x_{0}),g^{\prime}(x_{0})\in\mathbb{R}\Rightarrow(f% +g)^{\prime}(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})+g^{\prime}(x_{0})\in\mathbb{R} y f+gf+g es derivable.

  • •
    (λ⁢f)′⁢(x0)\displaystyle(\lambda f)^{\prime}(x_{0})
    =limh→0(λ⁢f)⁢(x0+h)−(λ⁢f)⁢(x0)h=limh→0λ⁢f⁢(x0+h)−λ⁢f⁢(x0)h\displaystyle=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(\lambda f)(x_{0}+h)-(\lambda f)(x_{0}% )}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\lambda f(x_{0}+h)-\lambda f(x_{0})}{h}
    =limh→0λ⋅f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h=limh→0λ⋅limh→0f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h\displaystyle=\lim\limits_{h\to 0}\lambda\cdot\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=% \lim\limits_{h\to 0}\lambda\cdot\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}% {h}
    =λ⁢f′⁢(x0)\displaystyle=\lambda f^{\prime}(x_{0})
  • •
    (f⋅g)′⁢(x0)=limh→0(f⋅g)⁢(x0+h)−(f⋅g)⁢(x0)h=limh→0f⁢(x0)⁢g⁢(x0+h)−f⁢(x0)⁢g⁢(x0)h==limh→0f⁢(x0+h)⁢g⁢(x0+h)−f⁢(x0)⋅g⁢(x0+h)+f⁢(x0)⁢g⁢(x0+h)−f⁢(x0)⁢g⁢(x0)h==limh→0g⁢(x0+h)⁢(f⁢(x0+h)−f⁢(x0))h+limh→0f⁢(x0)⋅(g⁢(x0+h)−g⁢(x0))h==limh→0g⁢(x0+h)⋅limh→0f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h+g⁢(x0)⋅limh→0g⁢(x0+h)−g⁢(x0)h==f′⁢(x0)⋅limh→0g⁢(x0+h)+f⁢(x0)⋅g′⁢(x0)⁢=g⁢ continua en ⁢x0⁢f′⁢(x0)⁢g⁢(x0)+f⁢(x0)⁢g′⁢(x0)(f\cdot g)^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(f\cdot g)(x_{0}+h)-(f% \cdot g)(x_{0})}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0})g(x_{0}+h)-f(x_{0})g(x_{% 0})}{h}=\\ =\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)g(x_{0}+h)-f(x_{0})\cdot g(x_{0}+h)+f(x_{% 0})g(x_{0}+h)-f(x_{0})g(x_{0})}{h}=\\ =\lim\limits_{h\to 0}\frac{g(x_{0}+h)(f(x_{0}+h)-f(x_{0}))}{h}+\lim\limits_{h% \to 0}\frac{f(x_{0})\cdot(g(x_{0}+h)-g(x_{0}))}{h}=\\ =\lim\limits_{h\to 0}g(x_{0}+h)\cdot\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{% 0})}{h}+g(x_{0})\cdot\lim\limits_{h\to 0}\frac{g(x_{0}+h)-g(x_{0})}{h}=\\ =f^{\prime}(x_{0})\cdot\lim\limits_{h\to 0}g(x_{0}+h)+f(x_{0})\cdot g^{\prime}% (x_{0})\overset{g\text{ continua en }x_{0}}{=}f^{\prime}(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0% })g^{\prime}(x_{0})
  • •
    ​

    Añadir.

Theorem 21.3.

Sea f:I→ℝf\colon I\to\mathbb{R} con I=(a,b)I=(a,b). Si ff es derivable en x0x_{0}, entonces ff es continua en x0x_{0}.

Proof 21.4.

Dado x∈Ix\in I, x≠x0x\neq x_{0},

f⁢(x)−f⁢(x0)=(f⁢(x)−f⁢(x0))x−x0⁢(x−x0)f(x)-f(x_{0})=\frac{(f(x)-f(x_{0}))}{x-x_{0}}(x-x_{0})

Además, tenemos que

limx→x0f⁢(x)−f⁢(x0)=limx→x0f⁢(x)−f⁢(x0)x−x0⋅limx→x0x−x0=f′⁢(x0)⋅0=0\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)-f(x_{0})=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{% 0})}{x-x_{0}}\cdot\lim\limits_{x\to x_{0}}x-x_{0}=f^{\prime}(x_{0})\cdot 0=0

Por tanto, limx→x0(f⁢(x)−f⁢(x0))=0\lim\limits_{x\to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))=0.

limx→x0f⁢(x)=limx→x0(f⁢(x)−f⁢(x0)+f⁢(x0))=limx→x0(f⁢(x)−f⁢(x0))+limx→x0f⁢(x0)=f⁢(x0)\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=\lim\limits_{x\to x_{0}}(f(x)-f(x_{0})+f(x_{0}))=% \lim\limits_{x\to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))+\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x_{0})=f(x_{% 0})

Luego ff es continua en x0x_{0} por definición.

Theorem 21.5 (Regla de la cadena).

Si ff es derivable en x0x_{0} y gg es derivable en f⁢(x0)f(x_{0}), entonces g∘fg\circ f es derivable en x0x_{0} y

(g∘f)′⁢(x0)=g′⁢(f⁢(x0))⁢f′⁢(x0)(g\circ f)^{\prime}(x_{0})=g^{\prime}(f(x_{0}))f^{\prime}(x_{0})
Proof 21.6.

No vista en clase.

Example 21.7.
f⁢(x)={x2⁢sin⁡1x+2⁢x2x≠00x=0f(x)=\begin{dcases}x^{2}\sin\frac{1}{x}+2x^{2}\quad x\neq 0\\ 0\quad x=0\end{dcases}
  1. 1.
    ​

    ff es continua en x≠0x\neq 0:

    limx→x0f⁢(x)=f⁢(x0)⁢?\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})? limx→x0x2⁢sin⁡1x+2⁢x2=limx→x0x2⁢sin⁡1x+limx→x02⁢x2=x02⁢sin⁡1x0+2⁢x02\lim\limits_{x\to x_{0}}x^{2}\sin\frac{1}{x}+2x^{2}=\lim\limits_{x\to x_{0}}x^% {2}\sin\frac{1}{x}+\lim\limits_{x\to x_{0}}2x^{2}=x^{2}_{0}\sin\frac{1}{x_{0}}% +2x^{2}_{0}

    ff es continua en x=0x=0?

    limx→0x2⁢sin⁡1x+2⁢x2⁢=?⁢limx→0x2⁢sin⁡1x+limx→02⁢x2⏟=0=limx→0x2⁢sin⁡1x=0+0=0\lim\limits_{x\to 0}x^{2}\sin\frac{1}{x}+2x^{2}\overset{?}{=}\lim\limits_{x\to 0% }x^{2}\sin\frac{1}{x}+\underbrace{\lim\limits_{x\to 0}2x^{2}}_{=0}=\lim\limits% _{x\to 0}x^{2}\sin\frac{1}{x}=0+0=0.

    |x2⁢sin⁡1x|=|x2|⁢|sin⁡1x|=x2⋅|sin⁡1x|≤x2⁢⟶x→0⁢limx→0|x2⁢sin⁡1x|=0\left|x^{2}\sin\frac{1}{x}\right|=\left|x^{2}\right|\left|\sin\frac{1}{x}% \right|=x^{2}\cdot\left|\sin\frac{1}{x}\right|\leq x^{2}\overset{x\rightarrow 0% }{\longrightarrow}\lim\limits_{x\to 0}\left|x^{2}\sin\frac{1}{x}\right|=0.

    ff es derivable en x=x0≠0⁢?x=x_{0}\neq 0?

    f⁢(x)=x2⁢sin⁡1x+2⁢x2f(x)=x^{2}\sin\frac{1}{x}+2x^{2}

    1x\frac{1}{x} es derivable en x0≠0x_{0}\neq 0, sin⁡(y)\sin(y) es derivable en y=1x0⁢⇒R.C.⁢sin⁡1xy=\frac{1}{x_{0}}\overset{R.C.}{\Rightarrow}\sin\frac{1}{x} es derivable en x0x_{0}. Por tanto, ff es derivable en ℝ∖{0}\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}.

    ff es derivable en x=0x=0?

    f′⁢(x)={2xsin1x+x2cos1x⋅−1x2+4xx≠0?⁢?x=0f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x\sin\frac{1}{x}+x^{2}\cos\frac{1}{x}\cdot-\frac{1% }{x^{2}}+4x\qquad x\neq 0\\ ??\qquad x=0\end{cases}

    limx→0f′⁢(x)=limx→02⁢x⁢sin⁡1x−cos⁡1x+4⁢x\lim\limits_{x\to 0}f^{\prime}(x)=\lim\limits_{x\to 0}2x\sin\frac{1}{x}-\cos% \frac{1}{x}+4x.

    Veamos que ∃⁢limx→0cos⁡1x\cancel{\exists}\lim\limits_{x\to 0}\cos\frac{1}{x}. Consideramos xn=12⁢π⁢n⇒cos⁡112⁢π⁢n=cos⁡2⁢π⁢n⁢n=1x_{n}=\frac{1}{2\pi n}\Rightarrow\cos\frac{1}{\frac{1}{2\pi n}}=\cos 2\pi nn=1. Tambien yn=12⁢π⁢n+π⁢⟶n→∞⁢0y_{n}=\frac{1}{2\pi n+\pi}\overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0. cos⁡1yn=cos⁡112⁢π⁢n+π=cos⁡2⁢π⁢n+π=−1\cos\frac{1}{y_{n}}=\cos\frac{1}{\frac{1}{2\pi n+\pi}}=\cos 2\pi n+\pi=-1.

    Luego

    limn→∞2⁢xn⁢sin⁡1xn−cos⁡1xn+4⁢xn=−1\lim\limits_{n\to\infty}2x_{n}\sin\frac{1}{x_{n}}-\cos\frac{1}{x_{n}}+4x_{n}=-1
    limn→∞2⁢yn⁢sin⁡1yn−cos⁡1yn+4⁢yn=1\lim\limits_{n\to\infty}2y_{n}\sin\frac{1}{y_{n}}-\cos\frac{1}{y_{n}}+4y_{n}=1

    Como 1≠−11\neq-1, limx→0f′⁢(x)\lim\limits_{x\to 0}f^{\prime}(x) no existe ⇒\Rightarrow ff es derivable en x=0x=0? No sabemos nada.

    f′⁢(0)=limh→0f⁢(0+h)−f⁢(0)h=limh→0h2⋅sin⁡1h+2⁢h2h=limh→0h⁢sin⁡1h+2⁢h=0f^{\prime}(0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}% \frac{h^{2}\cdot\sin\frac{1}{h}+2h^{2}}{h}=\lim\limits_{h\to 0}h\sin\frac{1}{h% }+2h=0 (por sandwich). Por tanto, ff es derivable en x=0x=0.

    ff es derivable en ℝ\mathbb{R}.

    f′f^{\prime} es continua en ℝ\mathbb{R}:

    • •
      ​

      x≠0⇒f′x\neq 0\Rightarrow f^{\prime} es continua

    • •
      ​

      x=0:x=0: limx→0f′⁢(x)⏟No existe⁢=?⁢f′⁢(0)=0⇒f′\underbrace{\lim\limits_{x\to 0}f^{\prime}(x)}_{\text{No existe}}\overset{?}{=% }f^{\prime}(0)=0\Rightarrow f^{\prime} no es continua en x=0x=0.

    Su derivada no es continua.

Podemos distinguir varios tipos de funciones según su continuidad y la continuidad de sus derivadas:

  • •
    ​

    Continuas: por ejemplo, f⁢(x)=|x|f(x)=\left|x\right|. Se dice que f⁢(x)∈𝒞︁0,𝒞︁f(x)\in\mathscr{C}^{0},\mathscr{C}.

  • •
    ​

    Derivada no continua: por ejemplo, la de 21.7: f⁢(x)f(x) es continua y derivable pero f′⁢(x)f^{\prime}(x) no es continua.

  • •
    ​

    Derivada continua: limx→0f′⁢(x)=2=f′⁢(0)\lim\limits_{x\to 0}f^{\prime}(x)=2=f^{\prime}(0). Se dice que f⁢(x)∈𝒞︁1f(x)\in\mathscr{C}^{1}. Si la segunda derivada es continua, f⁢(x)∈𝒞︁2f(x)\in\mathscr{C}^{2}, etc.

Theorem 21.8 (Teorema del extremo interior).

Sea cc un punto interior del intervalo II en el que f:I→ℝf\colon I\to\mathbb{R} tiene un extremo relativo. Si la derivada de ff en cc existe, entonces f′⁢(c)=0f^{\prime}(c)=0.

Proof 21.9.

Supongamos que ff tiene un máximo relativo en c∈Ic\in I. La demostración del caso de un mínimo relativo es similar.

Si f′⁢(c)>0f^{\prime}(c)>0, entonces por el teorema 16.16 existe δ>0\delta>0 tal que

f⁢(x)−f⁢(c)x−c>0⁢ para ⁢x∈(c−δ,c+δ),x≠c.\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0\text{ para }x\in(c-\delta,c+\delta),x\neq c.

Si x∈Vx\in V y x>cx>c, se tiene entonces

f⁢(x)−f⁢(c)=(x−c)⋅f⁢(x)−f⁢(c)x−c>0f(x)-f(c)=(x-c)\cdot\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0

Pero esto contradice la hipótesis de que ff tiene un máximo relativo en cc. Por tanto, no se puede tener f′⁢(c)>0f^{\prime}(c)>0. De manera similar, no se puede tener f′⁢(c)<0f^{\prime}(c)<0. Por lo tanto, se debe tener f′⁢(c)=0f^{\prime}(c)=0.