20 Fórmulas de las derivadas

Todas las formulas que nos han enseñado en bachillerato son demostradas utilizando la definición de límite. Por ejemplo,

f(x)=x⇒f′(x)=12xf(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Demostración.

Si x0>0x_{0}>0,

lı´mh→0f(x0+h)−f(x0)h\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}\frac{f% (x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
=lı´mh→0x0+h−x0h=lı´mh→0x0+h−x0h(x0+h+x0)\displaystyle{}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}% \frac{\sqrt{x_{0}+h}-\sqrt{x_{0}}}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}% m}\limits_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_{0}}{h(\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}})}
=lı´mh→01x0+h+x0=12x0\displaystyle{}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}% \frac{1}{\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}}}=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}

∎

Y en x0=0x_{0}=0? f′(0)f^{\prime}(0) no tiene sentido porque ff no esta definida en un entorno de 0. Y habrá fórmula para la derivada por la derecha en x0=0x_{0}=0?

lı´mh→0+f(0+h)−f(0)h=lı´mh→0+hh=lı´mh→0+1h=∞⇒ No es derivable por la derecha en 0.\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0% )}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0^{+}}\frac{% \sqrt{h}}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0^{+}}% \frac{1}{\sqrt{h}}=\infty\Rightarrow\text{ No es derivable por la derecha en }% 0\mathchar 46\relax

Cuándo puedo utilizar las fórmulas de las derivadas en x0x_{0}?

  • ​

    x0∈Domfx_{0}\in Domf.

    f(x)=lnx⇒f′(x)=1xf(x)=\ln x\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{x} solamente es valida en (0,∞)(0,\infty).

  • ​

    La fórmula tiene que tener sentido.

    f(x)=arcsen(x)⇒f′(x)=11−x2 solamente es valida en (−1,1).f(x)=arcsen(x)\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\text{ % solamente es valida en }(-1,1)\mathchar 46\relax
    f(x)=x3⇒f′(x)=13x23 solamente es valida en ℝ∖{0}f(x)=\sqrt[3]{x}\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}\text{ % solamente es valida en }\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}
  • ​

    f(x)f(x) tiene que tener la misma expresión en un entorno de x0x_{0}.

    f(x)={x2 si x≤2x si x>2⇒f′(x)={2x si x<2? si x=21 si x<2f(x)=\begin{cases}x^{2}\text{ si }x\leq 2\\ x\text{ si }x>2\end{cases}\Rightarrow f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x\text{ si }% x<2\\ ?\text{ si }x=2\\ 1\text{ si }x<2\end{cases}

    Sin embargo, para calcular f′(2)f^{\prime}(2) habría que calcularlo de otra forma.

    f′(2)=lı´mh→0f(2+h)−f(2)h=lı´mh→0f(2+h)−4hf^{\prime}(2)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}\frac{% f(2+h)-f(2)}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}% \frac{f(2+h)-4}{h}

    .

    Calculamos los límites laterales:

    {lı´mh→0−(2+h)2−4h=lı´mh→0−4+h2−4h−4h=lı´mh→0−4+h2+4h−4h=lı´mh→0−h+4=4lı´mh→0+2+h−4h=lı´mh→0+h−2h=−20+=−∞\begin{dcases}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0^{-}}% \frac{(2+h)^{2}-4}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0% ^{-}}\frac{4+h^{2}-4h-4}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_% {h\to 0^{-}}\frac{4+h^{2}+4h-4}{h}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{h\to 0^{-}}h+4=4\\ \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0^{+}}\frac{2+h-4}{h}=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0^{+}}\frac{h-2}{h}=% \frac{-2}{0^{+}}=-\infty\end{dcases}

    Como no coinciden, la funcion no es derivable en 22.