20 Fórmulas de las derivadas

Todas las formulas que nos han enseñado en bachillerato son demostradas utilizando la definición de límite. Por ejemplo,

f⁢(x)=x⇒f′⁢(x)=12⁢xf(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Proof 20.1.

Si x0>0x_{0}>0,

limh→0f⁢(x0+h)−f⁢(x0)h\displaystyle\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
=limh→0x0+h−x0h=limh→0x0+h−x0h⁢(x0+h+x0)\displaystyle=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sqrt{x_{0}+h}-\sqrt{x_{0}}}{h}=\lim% \limits_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_{0}}{h(\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}})}
=limh→01x0+h+x0=12⁢x0\displaystyle=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}}}=\frac{% 1}{2\sqrt{x_{0}}}

Y en x0=0x_{0}=0? f′⁢(0)f^{\prime}(0) no tiene sentido porque ff no esta definida en un entorno de 0. Y habrá fórmula para la derivada por la derecha en x0=0x_{0}=0?

limh→0+f⁢(0+h)−f⁢(0)h=limh→0+hh=limh→0+1h=∞⇒ No es derivable por la derecha en ⁢0.\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{% \sqrt{h}}{h}=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{1}{\sqrt{h}}=\infty\Rightarrow\text% { No es derivable por la derecha en }0.

Cuándo puedo utilizar las fórmulas de las derivadas en x0x_{0}?

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    x0∈D⁢o⁢m⁢fx_{0}\in Domf.

    f⁢(x)=ln⁡x⇒f′⁢(x)=1xf(x)=\ln x\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{x} solamente es valida en (0,∞)(0,\infty).

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    La fórmula tiene que tener sentido.

    f⁢(x)=a⁢r⁢c⁢s⁢e⁢n⁢(x)⇒f′⁢(x)=11−x2⁢ solamente es valida en ⁢(−1,1).f(x)=arcsen(x)\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\text{ % solamente es valida en }(-1,1).
    f⁢(x)=x3⇒f′⁢(x)=13⁢x23⁢ solamente es valida en ⁢ℝ∖{0}f(x)=\sqrt[3]{x}\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}\text{ % solamente es valida en }\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}
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    f⁢(x)f(x) tiene que tener la misma expresión en un entorno de x0x_{0}.

    f⁢(x)={x2⁢ si ⁢x≤2x⁢ si ⁢x>2⇒f′⁢(x)={2⁢x⁢ si ⁢x<2?⁢ si ⁢x=21⁢ si ⁢x<2f(x)=\begin{cases}x^{2}\text{ si }x\leq 2\\ x\text{ si }x>2\end{cases}\Rightarrow f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x\text{ si }% x<2\\ ?\text{ si }x=2\\ 1\text{ si }x<2\end{cases}

    Sin embargo, para calcular f′⁢(2)f^{\prime}(2) habría que calcularlo de otra forma.

    f′⁢(2)=limh→0f⁢(2+h)−f⁢(2)h=limh→0f⁢(2+h)−4hf^{\prime}(2)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}% \frac{f(2+h)-4}{h}

    .

    Calculamos los límites laterales:

    {limh→0−(2+h)2−4h=limh→0−4+h2−4⁢h−4h=limh→0−4+h2+4⁢h−4h=limh→0−h+4=4limh→0+2+h−4h=limh→0+h−2h=−20+=−∞\begin{dcases}\lim\limits_{h\to 0^{-}}\frac{(2+h)^{2}-4}{h}=\lim\limits_{h\to 0% ^{-}}\frac{4+h^{2}-4h-4}{h}=\lim\limits_{h\to 0^{-}}\frac{4+h^{2}+4h-4}{h}=% \lim\limits_{h\to 0^{-}}h+4=4\\ \lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{2+h-4}{h}=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{h-2}{h}=% \frac{-2}{0^{+}}=-\infty\end{dcases}

    Como no coinciden, la funcion no es derivable en 22.