Sean (xn)n=1∞(x_{n})^{\infty}_{n=1} y (yn)n=1∞⊂ℝ(y_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}.
Sea (xn)n=1∞⊂ℝ(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R} y limn→∞xn=a\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a. Entonces
Basta con tomar yn=1,n∈ℕy_{n}=1,n\in\mathbb{N}, y utilizar el resultado anterior.
Sean (xn)n=1∞(x_{n})^{\infty}_{n=1} y (yn)n=1∞⊂ℝ(y_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}. Si se cumple:
(yn)(y_{n}) es estrictamente creciente, limyn=+∞\lim\limits y_{n}=+\infty y yn>0y_{n}>0.
limn→∞xn−xn−1yn−yn−1=a∈ℝ¯\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}=a\in\overline{% \mathbb{R}}
entonces también sucede que limn→∞xnyn=a\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=a.
Dadas las sucesiones (xn)n=1∞(x_{n})^{\infty}_{n=1} e (yn)n=1∞(y_{n})^{\infty}_{n=1}, consideramos las sucesiones {Xn}\left\{X_{n}\right\} e {Yn}\left\{Y_{n}\right\} definidas por
En primer lugar, es evidente que limn→∞{Xn}=limn→∞{xn−xn−1yn−yn−1}=a\lim\limits_{n\to\infty}\left\{X_{n}\right\}=\lim\limits_{n\to\infty}\left\{% \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}\right\}=a. Por otra parte, como {yn}\left\{y_{n}\right\} es estrictamente creciente, ∀n≥2Yn>0\forall n\geq 2\;Y_{n}>0, y como limn→∞{yn}=+∞\lim\limits_{n\to\infty}\left\{y_{n}\right\}=+\infty, se verifica que
En consecuencia, estamos bajo las hipotesis de la proposición 10.1 y