1 Producto escalar y norma euclideos

Definition 1.1.

Dados dos vectores x=(x1⋯xn)x=\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots&x_{n}\\ \end{pmatrix}, y=(y1⋯yn)y=\begin{pmatrix}y_{1}&\cdots&y_{n}\\ \end{pmatrix} se define el producto escalar por:

⟨x,y⟩=∑k=1nxk⁢yk=x1⁢y1+⋯+xn⁢yn\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}=x_{1}y_{1}+\cdots+x_{n}y_{n}

Este producto escalar se llama producto escalar euclideo.

Proposition 1.2 (Propiedades del producto escalar).
  1. 1.
    ​

    ⟨x,x⟩≥0\langle x,x\rangle\geq 0 y ⟨x,x⟩=0\langle x,x\rangle=0 si y solo si x=0x=0.

  2. 2.
    ​

    Simetria: ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle para todos x,y∈ℝnx,y\in\mathbb{R}^{n}.

  3. 3.
    ​

    Linealidad: ⟨αx+βy,z=α⟨x,z⟩+β⟨y,z⟩\langle\alpha x+\beta y,z=\alpha\langle x,z\rangle+\beta\langle y,z\rangle para todos α,β∈ℝ\alpha,\beta\in\mathbb{R} y para todos x,y,z∈ℝnx,y,z\in\mathbb{R}^{n}.

Definition 1.3 (Norma).

La norma euclidea de un vector x=(x1⋯xn)x=\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots&x_{n}\\ \end{pmatrix} se define por

∥x∥=⟨x,x⟩=∑k=1nxk2\left\lVert x\right\rVert=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x^{2}_% {k}}
Proposition 1.4 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz).

Para todos x,y∈ℝnx,y\in\mathbb{R}^{n} se verifica que

|⟨x,y|≤∥x∥∥y∥\left|\langle x,y\right|\leq\left\lVert x\right\rVert\left\lVert y\right\rVert

Ademas, supuesto que xx e yy no son nulos, la igualdad |⟨x,y|=∥x∥∥y∥\left|\langle x,y\right|=\left\lVert x\right\rVert\left\lVert y\right\rVert equivale a que exista un numero λ∈ℝ\lambda\in\mathbb{R} tal que x=λ⁢yx=\lambda y (es decir, los vectores xx e yy estan en una misma recta que pasa por el origen).

Proposition 1.5.

Las propiedades de la norma euclidea son:

  1. 1.
    ​

    ∥x∥≥0\left\lVert x\right\rVert\geq 0 y ∥x∥=0\left\lVert x\right\rVert=0 si y solo si x=0x=0.

  2. 2.
    ​

    Homogeneidad: ∥λ⁢x∥=|λ|⁢∥x∥\left\lVert\lambda x\right\rVert=\left|\lambda\right|\left\lVert x\right\rVert para todo x∈ℝnx\in\mathbb{R}^{n} y todo λ∈ℝ\lambda\in\mathbb{R}.

  3. 3.
    ​

    Desigualdad triangular. Para todos x,y∈ℝnx,y\in\mathbb{R}^{n} se verifica que

    ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\left\lVert x+y\right\rVert\leq\left\lVert x\right\rVert+\left\lVert y\right\rVert
Definition 1.6.

Se dice que los vectores xx e yy son ortogonales, y escribimos x⟂yx\perp y, cuando su producto escalar es cero. Se dice que un vector xx es ortogonal a un conjunto de vectores E⊂ℝnE\subset\mathbb{R}^{n} cuando xx es ortogonal a todo vector de EE. Un conjunto de vectores no nulos que son mutuamente ortogonales se dice que es un conjunto ortogonal de vectores. Una base vectorial que tambien es conjunto ortogonal u ortonormal se llama base ortogonal u ortonormal.

Definition 1.7 (Distancia).

La distancia euclidea en ℝn\mathbb{R}^{n} es la aplicacion d2:ℝn×ℝn→ℝo+\mathrm{d}_{2}\colon\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{+}_{o} definida por:

d2⁢(x,y)=∥x−y∥\mathrm{d}_{2}(x,y)=\left\lVert x-y\right\rVert

La distancia euclidea entre los vectores xx e yy es el numero d2⁢(x,y)\mathrm{d}_{2}(x,y).

Proposition 1.8.

Las propiedades de la distancia euclidea es:

  1. 1.
    ​

    d2⁢(x,y)≥0\mathrm{d}_{2}(x,y)\geq 0 y d2=0\mathrm{d}_{2}=0 si y solo si x=yx=y.

  2. 2.
    ​

    Simetria: d2⁢(x,y)=d2⁢(y,x)\mathrm{d}_{2}(x,y)=\mathrm{d}_{2}(y,x) para todos x,y∈ℝnx,y\in\mathbb{R}^{n}.

  3. 3.
    ​

    Homogeneidad: d2⁢(λ⁢x,λ⁢y)=|λ|⁢d2⁢(x,y)\mathrm{d}_{2}(\lambda x,\lambda y)=\left|\lambda\right|\mathrm{d}_{2}(x,y) para todos x,y∈ℝnx,y\in\mathbb{R}^{n} y todo λ∈ℝ\lambda\in\mathbb{R}.

  4. 4.
    ​

    Desigualdad triangular: d2⁢(x,y)≤d2⁢(x,z)+d2⁢(z,y)\mathrm{d}_{2}(x,y)\leq\mathrm{d}_{2}(x,z)+\mathrm{d}_{2}(z,y) para todos x,y,z∈ℝnx,y,z\in\mathbb{R}^{n}.