Part II Diferenciación

Definition 5.62.

Sean $U\subset\mathbb{R}^{n}$ abierto, $a\in U$ , $v\in\mathbb{R}^{n}$ , $f\colon U\to\mathbb{R}^{m}$ una funcion. Se llama derivada direccional de $f$ en $a$ segun el vector $v$ a

D_{v}f(a)\coloneqq\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}.

cuando este limite existe.

Example 5.63.

Hallar la derivada de $f(x,y)=x^{2}+y$ en la direccion $v=(1,2)$ y en el punto $a=(1,1)$ .

{}\lim\limits_{t\to 0}\frac{f((1,1)+t(1,2))-f(1,1)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}% \frac{(1+t)^{2}+(1+2t)-2}{t}=\\ {}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{1+2t+t^{2}+1+2t-2}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{4% t+t^{2}}{t}=4

Probar que si una funcion no es continua entonces no es derivable. Probar que si la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha son distintas entonces no puede existir.

Example 5.64.

Derivada de $f(x)=\begin{cases}x^{2}\sin\frac{1}{x}\text{ si }x\neq 0\\ 0\text{ si }x=0\end{cases}$ en $x=0$ .

f^{\prime}(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}

$f^{\prime}(0)$ no existe porque $\cos\frac{1}{x}$ no tiene limite cuando $x=0$ . Sin embargo, la funcion si es derivable en $x=0$ (solo que la derivada no es continua). Por definicion:

\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h^{2}\sin% \frac{1}{h}}{h}=\lim\limits_{h\to 0}h\sin\frac{1}{h}=0

Si $v$ es uno de los vectores de la base canonica $\left\{e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\right\}$ de $\mathbb{R}^{n}$ entonces llamamos $D_{e_{i}}f(a)$ derivada parcial $i$ -esima de $f$ en el punto $a$ , y se denota

\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=(x)|_{x% =a}=D_{e_{i}}f(a)=D_{i}f(a).

Asi,

\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_{1},\ldots,% x_{i-1},x_{i}+t,x_{i+1},\ldots,x_{n})-f(x_{1},\ldots,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},% \ldots,x_{n})}{t}

Por tanto, hallar $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ no es otra cosa que derivar la expresion que define la funcion $f$ respecto de la variable $x_{i}$ solamente, considerando el resto de las $x_{j}$ , $j\neq i$ , como constantes.

Example 5.65.

Derivada parcial con respecto a $x$ en $\mathbb{R}^{2}$ :

\frac{\partial f}{\partial x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f((a_{1},a_{2})+t(1,0)% )-f(a_{1},a_{2})}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(a_{1}+t,a_{2})-f(a_{1},a_{2})% }{t}

Example 5.66.

$f(x,y)=x\sin(xy)-e^{x^{2}+y}$ . Entonces

\frac{\partial f}{\partial x}=\sin(xy)+xy\cos(xy)-2xe^{x^{2}+y}

\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}\cos(xy)-e^{x^{2}+y}

Dada una funcion $f\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ , hay $n\cdot m$ derivadas parciales. Podemos ordenarlas en una matriz, llamada matriz jacobiana:

\begin{pmatrix}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(a)&\cdots&\frac{\partial f% _{1}}{\partial x_{n}}(a)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}(a)&\cdots&\frac{\partial f_{m}}{\partial x% _{n}}(a)\\ \end{pmatrix}

Si las funciones son de la forma $f\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ , la matriz jacobiana solamente tiene una fila y se llama gradiente. Su notacion es $grad(f)$ o $\nabla f$ :

\nabla f(a)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a),\ldots,\frac{\partial f% }{\partial x_{n}}(a)\right)

Example 5.67.

f(x,y)=\begin{cases}0\text{ si }x\neq 0\wedge y\neq 0\\ 1\text{ si }x=0\vee y=0\end{cases}

La funcion en los ejes no es continua porque tomando varias direcciones tiende a $0$ o a $1$ .

Hallamos la derivada parcial en $(0,0)$ :

\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f((0,0)+t(1,0))-f% (0,0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}% \frac{0}{t}=0

Si $v=(v_{1},v_{2})$ con $v_{1},v_{2}\neq 0$ , $D_{v}f(0,0)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(tv_{1},tv_{2})-f(0,0)}{t}$ , que no existe (en el sentido finito). Por tanto, no existe la derivada direccional en cualquier direccion que no sea la de los ejes.

Example 5.68.

f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\text{ si }(x,y)\neq(0,0)\\ 0\text{ si }(x,y)=(0,0)\end{cases}

Es derivable para cualquier punto distinto de $(0,0)$ . Veamos para $(0,0)$ . El limite de la funcion en el $(0,0)$ porque tomando distintos caminos nos da distintos valores.

\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}% =\lim\limits_{t\to 0}\frac{\frac{t\cdot 0}{t^{2}}}{t}=\lim\limits_{t\to 0}% \frac{0}{t}=0

Sabemos que para $y=\lambda x$ , el limite era $\frac{\lambda}{1+\lambda}$ . Por tanto, para $\lambda=0$ la funcion es continua, $y=0$ y $x=0$ . Sin embargo, para otras direcciones no lo es y no existe la derivada direccional.

Example 5.69.

Pueden existir todas las derivadas direccionales en cualquier direccion y, sin embargo, la funcion no ser continua.

f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}\text{ si }(x,y)\neq(0,0)\\ 0\text{ si }(x,y)=(0,0)\end{cases}

Pg 104-105 (ManualCD2019).

Definition 5.70.

Sean $U$ un abierto de $\mathbb{R}^{n}$ , $f\colon U\to\mathbb{R}^{m}$ , $x_{0}\in U$ . Se dice que la funcion $f$ es diferenciable en $x_{0}$ si existe una aplicacion lineal $L\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ tal que

\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{\left\lVert h\right\rVert}(f(x_{0}+h)-f(x_{0})-L(% h))=0

o, de forma alternativa,

\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})-L(x-x_{0})}{\left\lVert x-x_{0}% \right\rVert}=0

Si existe una aplicacion lineal con estas caracteristicas, es unica. De hecho se tiene lo siguiente.

Remark 5.71.

En $\mathbb{R}$ , una funcion es derivable si $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=f^{\prime}(x_{0})$ , que es lo mismo que $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f^{\prime}(x_{0})h}{h}=0$ .

Sabemos que las aplicaciones lineales de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ son $f(x)=ax$ . Por tanto, $f$ cumple la definicion anterior en $x_{0}$ tomando como aplicacion lineal $f^{\prime}(x_{0})h$ (se puede probar que es lo mismo aunque no tenga el valor absoluto).

Remark 5.72.

Supongamos que $f$ es diferenciable en $a$ , siendo $L\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ una aplicacion lineal que satisface la definicion anterior. Entonces:

1.

$L$ es la unica aplicacion lineal con esta propiedad.
2.

Para todo $v\in\mathbb{R}^{n}$ existe la derivada direccional $D_{v}f(a)$ y

$D_{v}f(a)=L(v)=\sum_{i=1}^{n}v_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a).$

Proof 5.73.

Supongamos $v\neq 0$ . Como

\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\left\lVert h\right\rVert}=0,

se deduce en particular, tomando $h=tv$ y haciendo $t\to 0$ , que

\displaystyle 0

\displaystyle{}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(a+tv)-f(a)-tL(v)}{t}=

\displaystyle{}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t\left\lVert v\right% \rVert}-L(v)=

\displaystyle{}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}-L(v)=

\displaystyle{}=D_{v}f(a)-L(v)

luego $L(v)=D_{V}f(a)$ para todo $v\in\mathbb{R}^{n}\setminus\left\{0\right\}$ . Por otro lado, si $v=0$ entonces es inmeadiato que $D_{v}f(a)=0$ y como $L$ es lineal tambien $L(0)=0$ . En todo caso $L(v)=D_{v}f(a)$ , y por la unicidad de $D_{v}f(a)$ (consecuencia a su vez de la unicidad del limite que la define), se deduce que $L$ es unica. Ademas, si $v=(v_{1},\ldots,v_{n})$ se tiene que

L(v)=L\left(\sum_{j=1}^{n}v_{j}e_{j}\right)=\sum_{j=1}^{n}v_{j}L(e_{j})=\sum_{% j=1}^{n}v_{j}D_{e_{j}}f(a)=\sum_{j=1}^{n}v_{j}\frac{\partial f}{\partial x_{j}% }(a).

Para que sea diferenciable, tienen que existir todas las derivadas direccionales (y por tanto tambien las derivadas parciales) y se va a cumplir esa relacion. Como consecuencia de la observacion, podemos sustituir la formula de la definicion por

\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-\sum_{j=1}^{n}h_{j}\frac{\partial L}{% \partial x_{j}}(a)}{\left\lVert h\right\rVert}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h% )-f(a)-J(a)\cdot h}{\left\lVert h\right\rVert}

donde $J(a)$ es la matriz jacobiana. Si $f\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ , entonces sera lo mismo que

\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-\nabla f(a)\cdot h}{\left\lVert h\right\rVert}

\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-\nabla f(a)(x-a)}{\left\lVert x-a\right\rVert}

Proposition 5.74.

Si $f$ es diferenciable, dado un punto $a$ y un vector $v$

Df(a)(v)=D_{v}f(a)

Example 5.75.

Sea $f(x,y)=x+y$ y $a=(1,2)$ . Veamos si es diferenciable para el punto $a$ :

\lim\limits_{h\to 0}\frac{1+h_{1}+2+h_{2}-3-h_{1}-h_{2}}{\sqrt{h^{2}_{1}+h^{2}% _{2}}}=0.

Podemos calcular la derivada direccional en $(3,2)$ siguiendo lo anterior:

D_{(3,2)}f(1,2)=(\frac{\partial f}{\partial x}(1,2),\frac{\partial f}{\partial y% }(1,2))\cdot(3,2)=(1,1)(3,2)=5

Definition 5.76.

Si $f$ toma valores en $\mathbb{R}$ , es decir, $f\colon U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ , y suponiendo que $f$ sea diferenciable y $a\in U$ , definiremos el plano tangente a la grafica $G_{f}$ de $f$ en el punto $(a,f(a))\in U\times\mathbb{R}$ por

\mathcal{TG}_{f(a,f(a))}=\left\{(x,z)\in\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}\colon z% -f(a)=\sum_{j=1}^{n}(x_{j}-a_{j})\frac{\partial f}{\partial x_{j}}(a)\right\}.

Example 5.77.

Vamos a hallar el plano tangente en $a=(1,2)$ de $f(x,y)=x+y$ .

z=f(1,2)+\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)(x-1)+\frac{\partial f}{\partial y}% (1,2)(y-2)=3+x-1+y-2=x+y

por lo que el plano tangente es la misma funcion.

Para hallar el plano tangente, es necesario que la funcion sea diferenciable.

Example 5.78.

Ejercicio $8.1$ : Sea $f(x,y)=x^{2}+y^{3}+2x-y+5$ , demostrar que $f$ es diferenciable en $(0,0)$ , y hallar la ecuacion del plano tangente a su grafica en el punto $(0,0,5)$ .

Veamos su diferenciabilidad:

\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)h_{1}-% \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)h_{2}}{\sqrt{h^{2}_{1}+h^{2}_{2}}}

y como $\frac{\partial f}{\partial x}=2x+2$ y $\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-1$ ,

\lim\limits_{h\to 0}\frac{h^{2}_{1}+h^{3}_{2}+2h_{1}-h_{2}+5-5-2h_{1}+h_{2}}{% \sqrt{h^{2}_{1}+h^{2}_{2}}}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h^{2}_{1}+h^{3}_{2}}{% \sqrt{h^{2}_{1}+h^{2}_{2}}}

Se tiene que $0\leq\left|\frac{h^{2}_{1}+h^{3}_{2}}{\sqrt{h^{2}_{1}+h^{2}_{2}}}\right|\leq% \left|\frac{h^{2}_{1}}{\sqrt{h^{2}_{1}+h^{2}_{2}}}\right|+\left|\frac{h^{3}_{2% }}{\sqrt{h^{2}_{1}+h^{2}_{2}}}\right|\leq\frac{h^{2}_{1}}{\left|h_{1}\right|}+% \frac{h^{3}_{2}}{\left|h_{2}\right|}\to 0$ . Luego el limite en valor absoluto tiende a 0, por lo que el limite tambien tiende a $0$ y es diferenciable.

Hallamos el plano tangente:

z=5+\frac{\partial x}{\partial x}(0,0)(x-0)+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)% (y-0)=5+2x-y

Proposition 5.79.

Sea $f\colon U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ . La funcion $f=(f_{1},\ldots,f_{m})$ es diferenciable en $a\in U$ si y solo si $f_{j}$ es diferenciable en $a$ para cada $j=1,2,\ldots,n$ , y en este caso

Df(a)(v)=(Df_{1}(a)(v),\ldots,Df_{m}(a)(v))

para cada $v\in\mathbb{R}^{n}$ .

Proof 5.80.

Facil.

Proposition 5.81.

Sea $f\colon U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ una funcion diferenciable en $a\in U$ . Entonces existen $r,K>0$ tales que

\left\lVert f(x)-f(a)\right\rVert\leq K\left\lVert x-a\right\rVert

para todo $x\in B(a,r)$ . En particular $f$ es continua en $a$ .

Proof 5.82.

Si $f$ es diferenciable en $a$ , $\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{\left\lVert x-a\right\rVert}$ . Por tanto, $\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0$ tal que si $0\leq\left\lVert x-a\right\rVert<\delta$ , entonces $\left\lVert\frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{\left\lVert x-a\right\rVert}\right\rVert<\epsilon$ . Fijamos $\epsilon=1$ , entonces $\left\lVert\frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{\left\lVert x-a\right\rVert}\right\rVert<1% \Rightarrow\left\lVert f(x)-f(a)-L(x-a)\right\rVert<\left\lVert x-a\right\rVert$ . Ademas, $\left|\left\lVert f(x-f(a))\right\rVert-\left\lVert L(x-a)\right\rVert\right|=% \left\lVert f(x)-f(a)\right\rVert-\left\lVert L(x-a)\right\rVert\leq\left% \lVert f(x)-f(a)-L(x-a)\right\rVert<\left\lVert x-a\right\rVert$ . Entonces $\left\lVert f(x)-f(a)\right\rVert<\left\lVert L(x-a)\right\rVert+\left\lVert x% -a\right\rVert$ .

Como $L$ es continua por ser aplicacion lineal en dimension finita, aplicando la implicacion 3 de la proposicion 5.60,

\left\lVert f(x)-f(a)\right\rVert\leq\underbrace{(M+1)}_{K}\left\lVert x-a\right\rVert

En $f\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ , $Df(a)=J(a)$ . En $f\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ , $Df(a)=\nabla f(a)$ .

Proposition 5.83.

Sean $f,g\colon U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ funciones diferenciables en un punto $a\in U$ . Entonces

1.

$f+g$ es diferenciable en $a$ , y $D(f+g)(a)=Df(a)+Dg(a)$ .
2.

Para cada $\lambda\in\mathbb{R}$ , $\lambda f$ es diferenciable en $a$ , con $D(\lambda f)(a)=\lambda Df(a)$ .

Theorem 5.84 (Regla de la cadena).

Sean $U$ y $V$ abiertos de $\mathbb{R}^{n}$ y $\mathbb{R}^{m}$ respectivamente, y $f\colon U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ , $g\colon V\to\mathbb{R}^{p}$ aplicaciones, con $f(U)\subset V$ . Supongamos que $f$ es diferenciable en $a$ , y que $g$ es diferenciable en $b=f(a)$ . Entonces $g\circ f\colon U\to\mathbb{R}^{p}$ es diferenciable en $a$ , y ademas

D(g\circ f)(a)=Dg(f(a))\circ Df(a)

Proof 5.85.

No entra.

Remark 5.86.

Teniendo en cuenta que la operacion de conposicion de aplicaciones lineales se traduce en multiplicacion de sus matrices, la igualdad $D(g\circ f)(a)=Dg(f(a))\circ Df(a)$ significa que

(g\circ f)^{\prime}(a)=g^{\prime}(f(a))f^{\prime}(a)

es decir

\displaystyle\begin{pmatrix}\frac{\partial(g\circ f)_{1}}{\partial x_{1}}(a)&% \cdots&\frac{\partial(g\circ f)_{1}}{\partial x_{n}}(a)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial(g\circ f)_{p}}{\partial x_{1}}(a)&\cdots&\frac{\partial(g\circ f% )_{p}}{\partial x_{n}}(a)\\ \end{pmatrix}=...

Primer caso especial de la regla de la cadena: Suponer que $c\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{3}$ y $f\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ . Sea $h(t)=f(c(t))=f(x(t),y(t),z(t))$ , donde $c(t)=(x(t),y(t),z(t))$ . Entonces

\displaystyle h^{\prime}(t)

\displaystyle{}=\frac{\partial f}{\partial x}(c(t))\cdot c^{\prime}_{1}(t)+% \frac{\partial f}{\partial y}(c(t))\cdot c^{\prime}_{2}(t)+\frac{\partial f}{% \partial z}(c,t)\cdot c^{\prime}_{3}(t)=

\displaystyle{}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{% \partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}

Esto es,

\frac{dh}{dt}=\nabla f(c(t))\cdot c^{\prime}(t).

Lo mismo podemos hacer para $\mathbb{R}^{n}$ en lugar de $\mathbb{R}^{3}$ .

Example 5.87.

Sea $f(x,y)=x^{2}\cos(xy)$ y $c\begin{cases}x=t^{2}\\ y=2t+1\end{cases}$ . Definimos $f(x(t),y(t))=h(t)$ .

\displaystyle h^{\prime}(t)

\displaystyle{}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{% \partial y}\frac{dy}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}x^{\prime}+\frac{% \partial f}{\partial y}y^{\prime}=

\displaystyle{}=[2x\cos(xy)-x^{2}y\sin(xy)](2t)-x^{3}\sin(xy)\cdot 2=

\displaystyle{}=4t^{3}\cos(t^{2}(2t+1))-2t^{5}(2t+1)\sin(t^{2}(2t+1))-2t^{6}% \sin(t^{2}(2t+1))=

\displaystyle{}=4t^{3}\cos(t^{2}(2t+1))-3t^{5}(2t+1)\sin(t^{2}(2t+1))

Segundo caso especial de la regla de la cadena: sean $f\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ y $g\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ . Escribir $g(x,y,z)=(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))$ y definir $h\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ mediante $h(x,y,z)=f(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))$ . Entonces

\begin{pmatrix}\frac{\partial h}{\partial x}&\frac{\partial h}{\partial y}&% \frac{\partial h}{\partial z}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial u}&\frac{\partial f}{% \partial v}&\frac{\partial f}{\partial w}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{% \partial y}&\frac{\partial u}{\partial z}\\ \frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}&\frac{\partial v}{% \partial z}\\ \frac{\partial w}{\partial x}&\frac{\partial w}{\partial y}&\frac{\partial w}{% \partial z}\\ \end{pmatrix}

entonces

\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{% \partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{% \partial f}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}

y lo mismo para $\frac{\partial h}{\partial y}$ , etc.

Example 5.88.

Sea $f\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ . Usamos las variables $x=\rho\cos\theta$ e $y=\rho\sin\theta$ (funcion $g\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ , pues lo podemos expresar como $(x(\rho,\theta),y(\rho,\theta))$ ). Entonces

\frac{\partial f}{\partial\rho}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}% {\partial\rho}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\rho}=% \frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial f}{\partial y}\sin\theta

\frac{\partial f}{\partial\theta}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x% }{\partial\theta}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial% \theta}=-\frac{\partial f}{\partial x}\rho\sin\theta+\frac{\partial f}{% \partial y}\rho\cos\theta

Proposition 5.89.

Sean $f,g\colon U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ funciones diferenciables en $a\in U$ , Entonces su producto $fg$ es tambien diferenciable en $a$ , y

D(fg)(a)=f(a)Dg(a)+g(a)Df(a)

Proof 5.90.

Veamos que $S(u,v)=u\cdot v$ es diferenciable en cualquier punto. Por definicion,

{}\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-\frac{\partial f}{\partial u}(a)h_{1}-% \frac{\partial f}{\partial v}(a)h_{2}}{\left\lVert u\right\rVert}=\lim\limits_% {h\to 0}\frac{(a_{1}+h_{1})(a_{2}+h_{2})-a_{1}a_{2}-a_{2}h_{1}-a_{1}h_{2}}{% \sqrt{h^{2}_{1}+h^{2}_{2}}}=\\ {}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h_{1}h_{2}}{\sqrt{h^{2}_{1}+h^{2}_{2}}}=\lim% \limits_{\rho\to 0}\frac{\rho^{2}\cos\theta\sin\theta}{\rho}=\lim\limits_{\rho% \to 0}\rho\cos 0\sin 0=0

por ser funcion acotada por otra que tiende a $0$ .

Supongamos que estamos en $\mathbb{R}^{2}$ y $\vec{x}=(x,y)$ . Sea $h(\vec{x})=(f(\vec{x}),g(\vec{x}))$ (diferenciable por estar compuesta por funciones diferenciables) y $S(h(x))=f(x)\times g(x)$ . Aplicando la regla de la cadena

DS(h(x))=\begin{pmatrix}\underbrace{v}_{g}&\underbrace{u}_{f}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}&\frac{\partial f}{% \partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x}&\frac{\partial g}{\partial y}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g\frac{\partial f}{\partial x}+f\frac{\partial g}% {\partial x}&g\frac{\partial f}{\partial y}+f\frac{\partial g}{\partial y}\\ \end{pmatrix}

Esto es lo mismo que $f\cdot(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y})+g(\frac{% \partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})=(f\frac{\partial g}{% \partial x}+g\frac{\partial f}{\partial y},f\frac{\partial g}{\partial y}+y% \frac{\partial f}{\partial y})$ .

Proposition 5.91.

Si $f$ y $g$ toman valores vectoriales en $\mathbb{R}^{m}$ entonces su producto escalar $\langle f,g\rangle$ es diferenciable en $a$ , y

D(\langle f,g\rangle)(a)(a)(\cdot)=\langle f(a),Dg(a)(\cdot)\rangle+\langle g(% a),Df(a)(\cdot)\rangle

Proof 5.92.

Hacer.

Proposition 5.93.

Sean $f,g\colon U\subseteq\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ diferenciables en $a\in U$ , y supongamos que $g(a)\neq 0$ . Entonces $f/g$ es diferenciable en $a$ , y

D(\frac{f}{g})(a)=\frac{1}{g(a)^{2}}\left(g(a)Df(a)-f(a)Dg(a)\right).

Theorem 5.94.

Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^{n}$ , y $f\colon U\to\mathbb{R}^{m}$ . Supongamos que todas las derivadas parciales $\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{i}}$ existen en un entorno de un punto $a$ , y que son continuas en $a$ . Entonces $f$ es diferenciable en $a$ .

Proof 5.95.

Podemos suponer $m=1$ por la Proposicion 5.79. Escribamos

{}f(x)-f(a)=f(x_{1},\ldots,x_{n})-f(a_{1},x_{2},\ldots,x_{n})+f(a_{1},x_{2},% \ldots,x_{n})-\\ {}-f(a_{1},a_{2},x_{3},\ldots,x_{n})+f(a_{1},a_{2},x_{3},\ldots,x_{n})-f(a_{1}% ,a_{2},a_{3},x_{4},\ldots,x_{n})+\cdots+\\ {}+f(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n-1},x_{n})-f(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})

Por el teorema del valor medio para funciones de una variable, se tiene que

\frac{f(x_{1},\ldots,x_{n})-f(a_{1},x_{2},\ldots,x_{n})}{x_{1}-a_{1}}=\frac{% \partial f}{\partial x_{1}}(u_{1},x_{2},\ldots,x_{n})

para cierto $u_{1}=u_{1}(x)\in[a_{1},x_{1}]$ o $[x_{1},a_{1}]$ . Aplicando el teorema del valor medio de la misma manera al resto de las expresiones en cada linea de la igualdad de arriba para $f(x)-f(a)$ , obtenemos que

{}f(x)-f(a)=\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(u_{1},x_{2},\ldots,x_{n})(x_{1}-% a_{1})+\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(a_{1},u_{2},x_{3},\ldots,x_{n})(x_{2}% -a_{2})+\cdots+\\ {}+\frac{\partial f}{\partial x_{n}}(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n-1},u_{n})(x_{n}-a% _{n})

Puesto que $Df(a)(x-a)=\sum_{i=1}^{n}(\partial f/\partial x_{i})(a_{1},\ldots,a_{n})(x_{i}% -a_{i})$ , se obtiene que

{}\left|f(x)-f(a)-Df(a)(x-a)\right|\leq(\left|\frac{\partial f}{\partial x_{1}% }(u_{1},x_{2},\ldots,x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(a_{1},a_{2},% \ldots,a_{n})\right|+\cdots+\\ {}+\left|\frac{\partial f}{\partial x_{n}}(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n-1},u_{n})-% \frac{\partial f}{\partial x_{n}}(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\right|)\left\lVert x% -a\right\rVert

(usando la desigualdad triangular y el hecho de que $\left|x_{i}-a_{i}\right|\leq\left\lVert x-a\right\rVert$ ). Como las $n$ derivadas parciales $\partial f/\partial x_{i}$ son continuas y $u_{i}$ esta entre $x_{i}$ y $a_{i}$ , para cada $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que el termino entre llaves en la expresion anterior es menor que $\epsilon$ para todo $x$ con $\left\lVert x-a\right\rVert<\delta$ .

Asi se ha visto que para todo $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ de modo que si $\left\lVert x-a\right\rVert<\delta$ entonces

\left|f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)\right|<\epsilon\left\lVert x-a\right\rVert,

lo cual quiere decir que $f$ es diferenciable en $a$ .

Por tanto, sabemos que una funcion es diferenciable en un punto si todas sus derivadas parciales son continuas en ese punto.

Remark 5.96.

Si las derivadas parciales no son continuas, no podemos asegurar nada y debemos recurrir a la definicion de diferenciabilidad. (demostrarlo).

Remark 5.97.

Un analisis cuidadoso de la demostracion anterior indica que basta con que todas las derivadas parciales, salvo quizas $\frac{\partial f}{\partial x_{n}}$ (y por tanto salvo quizas una cualquiera de ellas, si reordenamos las variables) sean continuas en $a$ . En efecto, en el ultimo termino de la suma telescopica en la que se descompone $f(x)-f(a)$ , no hace falta aplicar el teorema del valor medio y la continuidad de la ultima derivada parcial, basta con usar la definicion de derivada parcial en este caso para que todo cuadre.

En $\mathbb{R}^{2}$ , solo tengo que ver la continuidad de 1. En $\mathbb{R}^{3}$ , tengo que ver la continuidad de 2.

Corollary 5.98.

Sea $f\colon U\subseteq\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ . Consideremos las siguientes condiciones:

1.

$f$ tiene derivadas parciales en todos los puntos de $U$ y son todas ellas continuas en $U$ .
2.

$f$ es diferenciable en $U$ .
3.

$f$ tiene derivadas parciales en todos los puntos de $U$ .

Entonces se tiene que $1)\Rightarrow 2)\Rightarrow 3)$ . Los conversos son en general falsos.

Ejercicio: si las derivadas parciales son continuas, entonces todas las derivadas direccionales son continuas?

Remark 5.99.

En $\mathbb{R}^{2}$ , cogiendo dos direcciones cualesquiera linealmente independientes, tales que las derivadas direccionales son continuas, entonces es diferenciable (tambien es suficiente con ver una sola direccion al igual que en la observacion anterior).

Definition 5.100.

Se dice que $f\colon U\subseteq\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ es de clase $\mathcal{{C}}^{1}$ en $U$ si todas las derivadas parciales de $f$ existen y son continuas en $U$ .

Theorem 5.101.

Sean $U$ un abierto de $\mathbb{R}^{n}$ , $F\colon U\to\mathbb{R}$ diferenciable en $U$ , $r\in\mathbb{R}$ , $p\in S_{r}$ (una superficie de nivel de orden $r$ ). Sea $\gamma\colon I=(\alpha,\beta)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n}$ una curva diferenciable, y $t_{0}\in I$ tales que $\gamma(t_{0})=p$ y $\gamma(I)\subset S_{r}$ . Entonces

\gamma^{\prime}(t_{0})\perp F(p).

Es decir, el vector gradiente $\nabla F(p)$ es perpendicular a cualquier vector tangente a la superficie $S_{r}$ , por lo que se dice que $\nabla F(p)$ es perpendicular a $S_{r}$ en $p$ .

Definition 5.102.

Si $F\colon U\subseteq\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ es una funcion diferenciable, se define el hiperplano tangente $\mathcal{{T}}S_{rp}$ a la superficie de nivel $S_{r}$ en un punto $p\in S_{r}$ , tal que $\nabla F(p)\neq 0$ como el hiperplano de ecuacion

\frac{\partial F}{\partial x_{1}}(p)(x_{1}-p_{1})+\cdots+\frac{\partial F}{% \partial x_{n}}(p)(x_{n}-p_{n})=0

Del vector gradiente $\nabla F(p)$ se dice que es un vector normal a la superficie $S_{r}$ .

Example 5.103.

Sea $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ . Esto es una superficie de nivel de orden $1$ de la funcion $F(x)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ . Se tiene que $\nabla F=(2x,2y,2z)$ y, en el punto $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}})$ , $\nabla F=1,1,\frac{2}{\sqrt{2}}$ . Por tanto, el plano tangente a ese punto es

1\cdot(x-\frac{1}{2})+1\cdot(y-\frac{1}{2})+\frac{2}{\sqrt{2}}(z-\frac{1}{% \sqrt{2}})=0\Rightarrow\boxed{x+y-\sqrt{2}-2=0}

Theorem 5.104.

Sea $F\colon U\subseteq\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ una funcion diferenciable en $a\in U$ tal que $\nabla F(a)\neq 0$ . Entonces

\max\left\{D_{v}F(a)\colon\left\lVert v\right\rVert=1\right\}=D_{v0}F(a)

donde

v_{0}=\frac{\nabla F(a)}{\left\lVert\nabla F(a)\right\rVert}

y la norma considerada es la euclidea.

Proof 5.105.

Usando la desigualdad de Cauchy-Schwartz, tenemos que

D_{v}F(a)=\langle\nabla F(a),v\rangle\leq\left\lVert\nabla F(a)\right\rVert% \left\lVert v\right\rVert

y sabemos que la igualdad se da si y solo si $v$ es un multiplo escalar de $\nabla F(a)$ . Por tanto, para todo $v\in\mathbb{R}^{n}$ con $\left\lVert v\right\rVert=1$ , tenemos

D_{v}F(a)=\langle\nabla F(a),v\rangle\leq\left\lVert\nabla F(a)\right\rVert% \left\lVert v\right\rVert=\left\lVert\nabla F(a)\right\rVert=\langle\nabla F(a% ),v_{0}\rangle=D_{v_{0}}F(a)

Analogamente, la direccion de maximo decrecimiento de $F$ vendra dada por $w_{0}=-\nabla F(a)/\left\lVert\nabla F(a)\right\rVert$ .