10 Extremos locales y puntos críticos

Definición II.9.

Se dice que $f\colon A\subseteq\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ tiene un maximo local (o relativo) en un punto $a\in A$ si existe $r>0$ tal que

f(x)\leq f(a)\text{ para todo }x\in A\cap B(x,r)

Se dice que $f$ tiene un mínimo local en $a$ si existe $r>0$ tal que

f(a)\leq f(x)\text{ para todo }x\in A\cap B(x,r)

Proposición II.11.

Sean $U$ abierto de $\mathbb{R}^{n}$ , y $f\colon U\to\mathbb{R}$ diferenciable en $U$ . Supongamos que $f$ tiene un extremo local en $a\in U$ . Entonces

Df(a)=0

es decir $a$ es un punto crítico de $f$ .

Demostración.

Sea $v\in\mathbb{R}^{n}$ cualquiera con $\left\lVert v\right\rVert=1$ . Definamos $g_{v}\colon(-r,r)\to\mathbb{R}$ por

g_{v}(t)=f(a+tv)

donde $r>0$ es tal que $B(a,r)\subseteq U$ . Como $f$ tiene un extremo local en $a$ , es evidente que $g_{v}$ tambien tiene un extremo local (del mismo tipo) en $t=0$ . Entonces, por el resultado ya conocido para funciones de variable real, se tiene que

0=g^{\prime}(0)=Df(a)(v)\mathchar 46\relax

Esto prueba que $Df(a)(v)=0$ para todo $v$ con $\left\lVert v\right\rVert=1$ , y por tanto, como $Df(a)$ es lineal, ∎

Ejemplo II.16.

El recíproco no se cumple. Un contraejemplo es $f(x)=x^{3}$ .

Ejemplo II.17.

Sea $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ . Para que un punto sea maximo o minimo, debe cumplir que

\frac{\partial f}{\partial x}=2x=0

\frac{\partial f}{\partial y}=2y=0

es decir, $(x,y)=(0,0)$ . En este caso, $(0,0)$ es un minimo ya que $f(0,0)=0$ y $f(x,y)\geq 0\;\forall(x,y)\in\mathbb{R}^{2}$ .

Si consideramos $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$ , se debe cumplir que $2x=0$ y $-2y=0\Rightarrow(x,y)=(0,0)$ . Sin embargo, $(0,0)$ no es maximo ni minimo, pues en cualquier entorno que tome voy a tener puntos en los que la funcion es positiva y otros en los que la funcion es negativa.

Definición II.10.

Sea $f\colon U\subseteq\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ una funcion de clase $C^{2}$ . Se llama hessiana de $f$ en $a$ a la segunda derivada de $f$ en $a$ , y matriz hessiana a la matriz de esta forma cuadratica, es decir,

\begin{pmatrix}\frac{\partial^{2}f}{\partial^{2}x_{1}}(a)&\cdots&\frac{% \partial^{2}}{\partial x_{n}\partial x_{1}}(a)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}&\cdots&\frac{\partial^{2}f}% {\partial x_{n}\partial x_{n}}(a)\\ \end{pmatrix}

Recordemos que, si $Q$ es una forma cuadratica en $\mathbb{R}^{n}$ , se dice que:

1.

$Q$ es definida positiva si $Q(h)>0$ para todo $h\neq 0$
2.

$Q$ es semidefinida positiva si $Q(h)\geq 0$ para todo $h\in\mathbb{R}^{n}$
3.

$Q$ es definida negativa si $Q(h)\geq 0$ para todo $h\neq 0$
4.

$Q$ es semidefinida negativa si $Q(h)<0$ para todo $h\in\mathbb{R}^{n}$
5.

$Q$ es indefinida si no es ni semidefinida positiva ni semidefinida negativa.

Teorema II.14.

Sean $U$ un abierto de $\mathbb{R}^{n}$ , y $f\in C^{1}(U,\mathbb{R})$ . Supongamos que $Df(a)=0$ , es decir, $a\in U$ es un punto critico de $f$ . Entonces

1.

Si $D^{2}f(a)$ es definida positiva, $f$ tiene un minimo local estricto en $a$ .
2.

Si $D^{2}f(a)$ es definida negativa, $f$ tiene un maximo local estricto en $a$ .
3.

Si $D^{2}f(a)$ es indefinida, $f$ tiene un punto de silla en $a$ (es decir, no tiene ni maximo ni minimo local en este punto critico).

Ademas, se tiene un reciproco parcial (no total) de lo anterior.

4.

Si $f$ tiene un minimo local en $a$ entonces $D^{2}f(a)$ es semidefinida positiva.
5.

Si $f$ tiene un maximo local en $a$ , entonces $D^{2}f(a)$ es semidefinida positiva.

Demostración.

1.

Por el teorema de Taylor, y puesto que $Df(a)=0$ , sabemos que

$f(a+h)=f(a)+\frac{1}{2}D^{2}f(a)(h)+R(h)$

donde $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}R(h)/\left\lVert h% \right\rVert^{2}=0$ . Sea

$m\coloneqq\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}\left\{D^{2}f(a)(v)\colon% \left\lVert v\right\rVert=1\right\}$

Como $D^{2}f(a)$ es continua y la esfera unidad $S=\left\{h\colon\left\lVert h\right\rVert=1\right\}$ es compacta, este infimo es en realidad un minimo y puesto que $D^{2}f(a)$ es definida positiva, debe ser $m>0$ . Asi, para todo $h\in\mathbb{R}^{n}$ , $h\neq 0$ , tenemos

$D^{2}f(a)(\frac{h}{\left\lVert h\right\rVert})\geq m>0$

luego, puesto que $D^{2}f(a)$ es $2$ -homogenea (al ser forma cuadratica, cualquier constante sale elevada al cuadrado, $(\lambda x)^{t}H(\lambda x)\Rightarrow\lambda^{2}P(x)=P(\lambda x)$ ),

$D^{2}f(a)(h)\geq m\left\lVert h\right\rVert^{2}$

para todo $h\in\mathbb{R}^{n}$ . Sea $\epsilon\in(0,m)$ . Como $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{h\to 0}\frac{R(h)}{\left% \lVert h\right\rVert^{2}}=0$ , existe $\delta>0$ tal que si $\left\lVert h\right\rVert\leq\delta$ entonces $\left|R(h)\right|\leq\epsilon\left\lVert h\right\rVert^{2}$ , y por tanto

$\left|f(a+h)-f(a)-D^{2}f(a)(h)\right|\leq\epsilon\left\lVert h\right\rVert^{2}$

luego

$f(a+h)-f(a)\geq D^{2}f(a)(h)-\epsilon\left\lVert h\right\rVert^{2}\geq(m-% \epsilon)\left\lVert h\right\rVert^{2}>0$

para todo $h$ con $\left\lVert h\right\rVert\leq\delta$ . Esto significa que

$f(x)\geq f(a)\text{ si }x\in B(a,\delta)$

y que la desigualdad es estricta cuando $x\neq a$ (si $f(a+h)-f(a)=0$ , entonces $\left\lVert h\right\rVert=0$ y $a+h=a$ ), es decir, $f$ tiene un minimo local estricto en $a$ .
2.

Analogo al apartado 1 (o se puede aplicar el apartado 1 a la funcion $-f$ )
4.

Sea $v\in\mathbb{R}^{n}$ con $\left\lVert v\right\rVert=1$ . Por el teorema de Taylor, y teniendo en cuenta que $f$ tiene un minimo local en $a$ , podemos escribir

$0\leq f(a+tv)-f(a)=\frac{1}{2}D^{2}f(a)(tv)+R(tv)$

si $t$ es suficientemente pequeño, donde $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{t\to 0}R(tv)/\left\lVert tv% \right\rVert^{2}=0$ . Entonces, tomando limites,

${}0\leq\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{t\to 0}\frac{f(a+tv)% -f(a)}{t^{2}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{t\to 0}\frac{% 1}{t^{2}}\left(\frac{1}{2}D^{2}f(a)(tv)+R(tv)\right)=\\ {}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{t\to 0}\left(\frac{1}{2}% D^{2}f(a)(v)+\frac{R(tv)}{\left\lVert tv\right\rVert^{2}}\right)=\frac{1}{2}D^% {2}f(a)(v)+0$

es decir, $D^{2}f(a)(v)\geq 0$ para todo $v$ con $\left\lVert v\right\rVert=1$ , lo que significa que $f$ es semidefinida positiva.
5.

Analogo al apartado 4 o aplicar el apartado 4 a $-f$ .
3.

Consecuencia inmediata de 4) y 5) por contrarreciproco. Si es indefinida, no puede ser semidefinida positiva, por lo que por 4) no puede ser minimo local. Ademas, por ser indefinida tampoco es semidefinida negativa, por lo que por 5) no puede ser un maximo local.

∎

Observación II.9.

El reciproco no es total (semidefinido en lugar de definido) porque no podemos asegurar que el limite en la demostracion de 4) sea mayor estricto que $0$ .

Proposición II.12.

Sea $Q$ una forma cuadratica simetrica en $\mathbb{R}^{n}$ . Entonces

1.

$Q$ es definida positiva si y solo si todos sus autovalores son estrictamente positivos
2.

$Q$ es definida negativa si y solo si todos sus autovalores son estrictamente negativos
3.

$Q$ es indefinida si y solo si tiene autovalores positivos y negativos (estrictamente)
4.

$Q$ es semidefinida positiva si y solo si todos sus autovalores son mayores o iguales que cero
5.

$Q$ es semidefinida negativa si y solo si todos sus autovalores son menores o iguales que cero.

Proposición II.13 (Criterio de Silvester).

Sea $Q$ una forma cuadratica simetrica en $\mathbb{R}^{n}$ , con matriz $A=(a_{ij})$ . Consideremos los menores angulares de $A$ ,

A_{j}=\det\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{12}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{j1}&\cdots&a_{jj}\\ \end{pmatrix}

Entonces:

1.

$Q$ es definida positiva si y solo si $A_{j}>0$ para todo $j=1,\ldots,n$
2.

$Q$ es definida negativa si y solo si $(-1)^{j}A_{j}>0$ para todo $j=1,\ldots,n$ .
3.

Si $Q$ es semidefinida positiva entonces $A_{j}\geq 0$ para todo $j=1,\ldots,n$
4.

Si $Q$ es semidefinida negativa entonces $(-1)^{j}A_{j}\geq 0$ para todo $j=1,\ldots,n$

Si algun $A_{j}$ con $j$ par es negativo, entonces $Q$ es indefinida.

Ejemplo II.18.

Sea $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ . Sabemos que el punto critico es $(0,0)$ . La matriz hessiana es

H(0,0)=\begin{pmatrix}2&0\\ 0&2\\ \end{pmatrix}

que es definida positiva y por tanto $(0,0)$ es minimo.

Sea $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$ . En este caso,

H(0,0)=\begin{pmatrix}2&0\\ 0&-2\\ \end{pmatrix}

Se tiene que $A_{1}=2>0$ y $A_{2}=-4<0$ . Por tanto, es indefinida y $(0,0)$ es punto de silla.

Ejemplo II.19.

Consideramos $f(x,y)=e^{xy}$ . Se tiene que $\frac{\partial f}{\partial x}=ye^{xy}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}=xe^{xy}$ .

\begin{cases}ye^{xy}=0\\ xe^{xy}=0\end{cases}\Rightarrow(x,y)=(0,0)

La matriz hessiana es

H(x,y)=\begin{pmatrix}y^{2}e^{xy}&e^{xy}+xye^{xy}\\ e^{xy}+xye^{xy}&x^{2}e^{xy}\\ \end{pmatrix}

y en $(0,0)$ ,

H(x,y)=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix}

se tiene que $A_{2}=-1<0$ y por tanto es indefinida. $(0,0)$ es punto de silla.

Otra forma seria ver que en el segundo y cuarto cuadrante, $f(x,y)<1$ y en el primero y tercero $f(x,y)>1$ .

Teorema II.15.

Sean $f,g\colon U\subseteq\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ funciones de clase $C^{1}$ . Sean $x_{0}\in U$ , $r=g(x_{0})$ , $S_{r}=g^{-1}(r)$ el conjunto de nivel $r$ de $g$ . Supongamos que $\nabla g(x_{0})\neq 0$ , y que la restriccion de $f$ a $S_{r}$ , denotada $f|_{S_{r}}$ , tiene un maximo o un minimo en $x_{0}$ . Entonces existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que

\nabla f(x_{0})=\lambda\nabla g(x_{0})

Es decir, los extremos de $f|_{S_{r}}$ se alcanzan en puntos en los que el gradiente de $f$ es perpendicular a la superficie de nivel $S_{r}$ de $g$ .

Corolario II.4.

Sean $F=(F_{1},\ldots,F_{k})\colon U\subseteq\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{k}$ una funcion de clase $C^{1}$ , y supongamos que $0$ es un valor regular de $F$ (es decir, $rango(DF(x))=k$ para todo $x\in\mathbb{R}^{n}$ con $F(x)=0$ ). Sea $f\colon U\to\mathbb{R}$ diferenciable en $U$ . Si $a$ es un punto de maximo o minimo de $f(x)$ sujeta a las restricciones $F_{1}(x)=\cdots=F_{k}(x)=0$ , entonces

\nabla f(a)=\lambda_{1}\nabla F_{1}(a)+\cdots+\lambda_{k}\nabla F_{k}(a)

para ciertos numeros $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k}\in\mathbb{R}$ .