4 Determinantes de matrices cuadradas

Por induccion en el orden $n$ de la matriz identidad.

• •
  ​

  Si $n=1$, $\det(I_{1})=\det(1)=1$.

• •
  ​

  Supongamos que $\det(I_{n-1})=1$ y veamos que $\det(I_{n})=1$.

  Por una parte, el adjunto $(11)$-esimo de $I_{n}$ es $\alpha_{11}=(-1)^{1+1}\det(I_{n-1})$, asi que por la hipotesis de induccion, $\alpha_{11}=1$.

  Ademas, las entradas $(21),(31),\ldots,(n1)$ de la matriz identidad son todas iguales a cero, asi que no hace falta calcular $\alpha_{21},\ldots,\alpha_{n1}$. Sustituyendo en la formula del desarrollo del determinante por adjuntos de la primera columna

  $$\det(I_{n})=1\alpha_{11}+0\alpha_{21}+\cdots+0\alpha_{n1}=1.$$

Las propiedades 1), 2) y 4) se demuestran por inducción. Veamos la demostración del resto de propiedades:

1. 3.
   ​

   Veamos que esta propiedad se deduce de 1) y 2). Expresamos $A$ por filas:

   $$A=\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)$$

   y construimos la matriz auxiliar

   $$A^{\prime}=\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}+A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}+A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)$$

   Entonces, por 1) y 2),

   $$0=_{1)}\det(A^{\prime})=_{2)}\underbrace{\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)}_{=_{1)}0}+\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)+\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)+\underbrace{\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)}_{=_{1)}0}$$

   de donde

   $$\det(A)=\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)=-\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)$$
2. 5.
   ​

   Si expresamos $A$ por filas

   $$A=\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right),$$

   tomamos $\lambda\in\mathbb{K}$ y vamos a calcular el determinante de la matriz que en la fila $i$ tiene la fila $i$ de $A$ mas $\lambda$ por la fila $j$:

   $$\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}+\lambda A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)=_{1),4)}\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)+\lambda\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)=_{2)}\det\left(\begin{array}[]{c}\vdots\\ \hline\cr A_{i}\\ \hline\cr\vdots\\ \hline\cr A_{j}\\ \hline\cr\vdots\\ \end{array}\right)$$
3. 6.
   ​

   Utilizando las propiedades anteriores y que $\det(I_{n})=1$, vamos a calcular cuánto valen los determinantes de las matrices elementales $P_{ij},P_{ij}(t)(i\neq j)$ y $Q_{i}(s)$:

   • •
     ​

     Como $P_{ij}$, $i\neq j$, multiplicada por delante de la matriz identidad, intercambia las filas $i$ y $j$ de la matriz identidad,

     $$-1=_{3)}\det(P_{ij}I_{n})=\det(P_{ij}).$$
   • •
     ​

     Como $P_{ij}(\lambda)$, multiplicada por delante de la matriz identidad, suma a la fila $i$ la fila $j$ de la matriz identidad multiplicada por $\lambda$, y eso no afecta al valor del determinante,

     $$1=_{4)}\det(P_{ij}(\lambda)I_{n})=\det(P_{ij}(\lambda)).$$
   • •
     ​

     Como $Q_{i}(s)$, multiplicada por delante de la matriz identidad, multiplica la fila $i$ de la matriz identidad por $s$, el determinante de la matriz resultante es $s\det(I_{n})$, asi que

     $$s=_{5)}\det(Q_{i}(s)I_{n})=\det(Q_{i}(s)).$$

   Las propiedades 3), 4) y 5) se pueden escribir usando matrices elementales. Si $A$ es una matriz cualquiera, $i\neq j$,

   • •
     ​

     $\det(P_{ij}A)=_{3)}-\det(A)=\det(P_{ij})\det(A)$

   • •
     ​

     $\det(P_{ij}A)=_{4)}\det(A)=\det(P_{ij}(\lambda))\det(A)$

   • •
     ​

     $\det(Q_{i}(s)A)=_{5)}s\det(A)=\det(Q_{i}(s))\det(A)$

   y llegamos a la concluson de que si $E$ denota cualquiera de las matrices elementales y $A$ es una matriz en general

   $$\det(EA)=\det(E)\det(A)$$

   Vamos a usar esta propiedad para probar que $A$ es invertible si y solo si el determinante de $A$ es no nulo.

   $\Rightarrow)$ Sabemos que $A$ es invertible si y solo si $A=E_{1}\cdot E_{2}\cdots E_{k}$ para ciertas matrices elementales $E_{1},\ldots,E_{k}$. Por tanto,

   $$\det(A)=\det(E_{1}\cdot E_{2}\cdots E_{k})=\det(E_{1})\det(E_{2}\cdots E_{k})=\underbrace{\det(E_{1})}_{\neq 0}\underbrace{\det(E_{2})}_{\neq 0}\cdots\underbrace{\det(E_{k})}_{\neq 0}\neq 0$$

   $\Leftarrow)$ Veamos que si $A$ no es invertible, entonces el determinante de $A$ es cero: si $A$ no es invertible, cuando apliquemos el método de Gauss-Jordan, que consiste en ir multiplicando $A$ por delante por matrices elementales hasta encontrar una matriz escalonada reducida, nos encontraremos con una matriz escalonada reducida $R$ que tiene toda una fila de ceros. Por la propiedad 4), si una matriz tiene toda una fila de ceros, su determinante es cero. Así

   $$0=_{4)}\det(R)=\det(E_{1}\cdots E_{k}A)=\underbrace{\det(E_{1})}_{\neq 0}\cdots\underbrace{\det(E_{k})}_{\neq 0}\det(A)$$

   de donde se obtiene que $\det(A)=0$.

4. 7.
   ​

   Hasta ahora hemos probado que $\det(EA)=\det(E)\det(A)$, para $E$ una matriz elemental. Veamos que en general $\det(AB)=\det(A)\det(B)$, para $A$ y $B$ dos matrices cualquiera. Distinguimos dos casos:

   1. (a)
      ​

      Si $\det(A)=0$ o $\det(B)=0$, entonces, por 6) $A$ o $B$ no son invertibles, con lo que $AB$ no es invertible y, de nuevo, por $6)$, $0=\det(AB)=\det(A)\det(B)$

   2. (b)
      ​

      Si $\det(A)\neq 0$ y $\det(B)\neq 0$, entonces, por $6)$, tanto $A$ como $B$ son invertibles (producto cada una de ellas por matrices elementales). Supongamos que $A=E_{1}\cdots E_{k}$, $B=E^{\prime}_{1}\cdots E^{\prime}_{s}$. Así, por la conclusión anterior,

      $\displaystyle\det(AB)$

      $\displaystyle{}=\det(E_{1}\cdots E_{k}E^{\prime}_{1}\cdots E^{\prime}_{s})$

      $\displaystyle{}=\det(E_{1})\cdots\det(E_{k})\det(E^{\prime}_{1})\cdots\det(E^{\prime}_{s})$

      $\displaystyle{}=\det(A)\det(B).$
5. 8.
   ​

   Distinguimos dos casos:

   1. (a)
      ​

      Si $\det(A)=0$, entonces, por $6),$ $A$ no es invertible, con lo que $A^{t}$ tampoco es invertible y, por $6)$, $\det(A^{t})=0$.

   2. (b)
      ​

      Si $\det(A)\neq 0$, entonces, por $6)$, $A$ es invertible ($A$ es producto de matrices elementales $A=E_{1}\cdots E_{k}$). Para cada matriz elemental, es fácil comprobar que $\det(E)=\det(E^{t})$, así que

      $\displaystyle\det(A^{t})$

      $\displaystyle{}=\det((E_{1}\cdots E_{k})^{t})=\det(E^{t}_{k}\cdots E^{t}_{1})$

      $\displaystyle{}=\det(E^{t}_{k})\cdots\det(E^{t}_{1})=\det(E_{k})\cdots\det(E_{1})$

      $\displaystyle{}=\det(E_{1})\cdots\det(E_{k})=\det(E_{1}\cdots E_{k})$

      $\displaystyle{}=\det(A)$
6. 9.
   ​

   Se sigue de 3) y 8).