1 Nociones basicas

Definition 1.1.

Un conjunto (denotado con letras mayusculas
$A,B,C,$ etc.) es una coleccion de elementos, usualmente denotados con letras minusculas (a,b,c,etc.). En los conjuntos no importa el orden de los elementos.

Si queremos indicar todos los elementos que pertenecen a un conjunto, los indicaremos entre llaves. Por ejemplo, $A=\left\{a,b,c\right\}$

Para indicar que un elemento $x$ pertenece a un conjunto $A$ escribiremos $x\in A$ . El conjunto que no contiene ningun elemento se llama conjunto vacio y se escribe $\varnothing$ .

Example 1.2.

$\mathbb{N}$ es el conjunto de los numeros naturales.

$\mathbb{Z}$ es el conjunto de los numeros enteros.

$\mathbb{Q}$ es el conjunto de los numeros racionales.

$\mathbb{R}$ es el conjunto de los numeros reales.

$\mathbb{C}$ es el conjunto de los numeros complejos. $\mathbb{C}=\left\{a+bi\colon a,b\in\mathbb{R}\right\}$ .

Definition 1.3.

El producto cartesiano de dos conjuntos $A$ y $B$ se denota como $A\times B$ y se define por

A\times B=\left\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\right\}

Es decir, es el conjunto de todas las posibles parejas donde el primer numero pertenece al conjunto $A$ y el segundo pertenece al conjunto $B$ .

El producto cartesiano $A\times A$ se escribe $A^{2}$ . En caso general, se define $A^{n}$ como

A^{n}=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\mid x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in A\right\}

Definition 1.4.

Una operacion binaria interna $*$ de un conjunto $X$ es una aplicacion

\displaystyle*\colon X\times X

\displaystyle{}\longrightarrow X

\displaystyle(x,y)

\displaystyle{}\longmapsto x*y

que a cada elemento $(x,y)\in X\times X$ le asigna un unico elemento de $X$ , denotado por $x*y$ . Para indicar que $X$ tiene una operacion binaria interna $*$ habitualmente escribiremos $(X,*)$ .

Example 1.5.

En el conjunto de los numeros naturales, se pueden definir dos operaciones binarias internas:

+\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N},(a,b)\longmapsto a+b

\cdot\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}

Decimos que $e\in X$ es elemento neutro de $(X,*)$ si $e*x=x*e=x$ para todo $x\in X$ .

La operación interna en $X$ es asociativa si $x*(y*z)=(x*y)*z\;\forall x,y,z\in X$ . La operación interna $*$ en $X$ es conmutativa si $x*y=y*x\;\forall x,y\in X$ .

El inverso de un elemento $x\in X$ respecto de la operación interna $*$ , si existe, es otro elemento $y\in X$ tal que $x*y=y*x=e$ . El inverso de cada elemento es único cuando $*$ es asociativa.

Proof 1.6.

Supongamos que existe $y_{1},y_{2}$ tal que $y_{1}*x=e$ y $y_{2}*x=e$ , con $*$ asociativa.

y_{1}=e*y_{1}=(y_{2}*x)*y_{1}=y_{2}*(x*y_{1})=y_{2}*e=y_{2}

El inverso de $x$ respecto de $*$ se suele denotar $x^{-1}$ .

Caso particular: si la operacion interna en $X$ es la suma $+$ , el elemento neutro se denota como $0$ y el inverso, si existe, de un elemento $x$ se suele llamar opuesto y se denota como $-x$ .

Definition 1.7 (Grupo).

Un conjunto $G$ con una operacion binaria interna $*$ es un grupo si tiene elemento neutro, si $*$ es asociativa y si todo elemento de $G$ tiene inverso. Si ademas $*$ es conmutativa, $(G,*)$ es un grupo conmutativo o abeliano.

Definition 1.8 (Anillo).

Un conjunto $A$ con dos operaciones internas, denotadas $+$ y $\cdot$ , es un anillo si cumple:

•

$(A,+)$ es un grupo abeliano.
•

$\cdot$ es asociativa.
•

Distributividad: $x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z\quad\forall x,y,z\in A$

Si, ademas, existe elemento neutro respecto de la operación $\cdot$ , será un anillo unitario. Si $\cdot$ es conmutativa, $A$ es un anillo conmutativo.

Definition 1.9 (Cuerpo).

Un cuerpo es un anillo conmutativo unitario $(X,+,\cdot)$ en el que, además, todo elemento distinto del elemento neutro de la suma tiene inverso respecto de $\cdot$ .