2 Matrices

Definition 2.1.

Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y sean $m,n\in\mathbb{N}$ . Una matriz $m\times n$ sobre $\mathbb{K}$ es una tabla rectangular formada por $m$ filas y $n$ columnas de elementos de $\mathbb{K}$ :

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{pmatrix}

donde $a_{ij}\in\mathbb{K}$ , $i=1,\ldots,m$ , $j=1,\ldots,n$ .

•

$a_{ij}$ es el elemento $(ij)$ de la matriz $A$ , y se llama coeficiente de la matriz,
•

$i$ es el índice de fila,
•

$j$ es el índice de columna,
•

los elementos $a_{11},a_{22},\ldots,a_{pp}$ (donde $p=min\left\{m,n\right\}$ ) se llaman elementos diagonales y $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{22}&\cdots&a_{pp}\\ \end{pmatrix}$ se llama diagonal principal de $A$ .
•

Notacion: $A=(a_{ij})_{i,j}$

Si $m=n$ , $A$ se llama matriz cuadrada de orden $n$ .

Si $m=1$ , $A$ se llama matriz fila.

Si $n=1$ , $A$ se llama matriz columna.

Si $i_{1},i_{2},\ldots,i_{p}$ son algunos de los indices de fila de $A$ , y $j_{1},j_{2},\ldots,j_{q}$ son algunos de los índices de columna de $A$ , la matriz $p\times q$ formada por las filas y columnas correspondientes a los índices señalados se llama submatriz de $A$ .

Cabe destacar que en una matriz $A$ de tamaño $m\times n$ cada fila de $A$ viene dada por $n$ elementos de $K$ y puede interpretarse como un elemento de $K^{n}:A_{1},\ldots,A_{m}\in K^{n}$ . Del mismo modo, cada columna de $A$ viene dada por $m$ elementos de $K$ y puede interpretarse como un elemento de $K^{m}:A^{1},\ldots,A^{n}\in K^{m}$ .

Definition 2.2.

Dado un cuerpo $\mathbb{K}$ , denotamos

\mathrm{Mat}_{m\times n}(\mathbb{K})=\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})=% \left\{A\mid A\text{ matriz }m\times n\text{ sobre }\mathbb{K}\right\}

\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{K})=\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})=\mathrm{Mat}_{n% \times n}(\mathbb{K})

Definition 2.3 (Tipos de matrices).

1.

Una matriz $A\in\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})$ se llama matriz diagonal si $a_{ij}=0$ para todo $i\neq j$ :

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&&0\\ &\ddots&\\ 0&&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$
2.

Una matriz diagonal $A$ tal que $a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}$ se llama matriz escalar:

$A=\begin{pmatrix}\lambda&&0\\ &\ddots&\\ 0&&\lambda\\ \end{pmatrix}$

Si $\lambda=1$ , la matriz $A$ se llama matriz identidad y se denota $I$ .
3.

La matriz $m\times n$ tal que todos sus elementos son $0_{K}$ se llama matriz nula:

$0_{mn}=\begin{pmatrix}0_{K}&\cdots&0_{K}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0_{K}&\cdots&0_{K}\\ \end{pmatrix}$
4.

Una matriz cuadrada $A\in\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})$ se llama matriz triangular superior si $a_{ij}=0$ para todo $i>j$ :

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0_{K}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0_{K}&\cdots&0_{K}&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$
5.

Una matriz cuadrada $A\in\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})$ se llama matriz triangular inferior si $a_{ij}=0$ para todo $i<j$ .

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&0_{K}&\cdots&0_{K}\\ a_{12}&a_{22}&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&0_{K}\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$
6.

$E_{ij}\in\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ denota la matriz que tiene todos sus elementos nulos, salvo el elemento $(ij)$ (fila $i$ columna $j$ ) que es $1_{K}$ .

Definition 2.4.

Dada $A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ ,

1.

la matriz opuesta de $A$ es $-A=(-a_{ij})_{ij}\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$
2.

la matriz traspuesta de $A$ es $A^{t}=(a_{ji})_{ji}\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$

Example 2.5.

Si $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\\ \end{pmatrix}$ , entonces

-A=\begin{pmatrix}-1&-2&-3\\ -4&-5&-6\\ \end{pmatrix}\text{ y }A^{t}=\begin{pmatrix}1&4\\ 2&5\\ 3&6\\ \end{pmatrix}

Definition 2.6.

Dada una matriz cuadrada $A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ ,

•

se dice que $A$ es simetrica si $A^{t}=A$
•

se dice que $A$ es una matriz antisimetrica si $A^{t}=-A$

Definition 2.7 (Suma de matrices).

En $\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ se define la suma de matrices del siguiente modo:

A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{ij}\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})

para toda $A=(a_{ij})_{ij}$ , $B=(b_{ij})_{ij}$ en $\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ . Es decir, para sumar dos matrices, ambas han de tener el mismo tamaño (mismo número de filas y mismo número de columnas) y la suma se realiza componente a componente (en cada una de las posiciones $(ij)$ de la matriz $A+B$ escribiremos $a_{ij}+b_{ij}$ ).

Proposition 2.8.

$(\mathfrak{{M}}_{m\times n},+)$ es un grupo conmutativo.

Proof 2.9.

Claramente, la suma de matrices satisface la propiedad asociativa y la propiedad conmutativa (porque son propiedades que se cumplen en $\mathbb{K}$ ). Además, $\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ tiene por elemento neutro de la suma a la matriz nula $0_{m\times n}$ , y todo elemento $A$ de $\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ tiene por opuesto a su matriz opuesta $-A$ .

Definition 2.10 (Producto de una matriz por un escalar).

Dada una matriz $A\in\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ y un escalar $t\in\mathbb{K}$ , definimos el producto de $t$ por $A=(a_{ij})_{ij}$ como la matriz de $\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ cuyo elemento en la posicion $(ij)$ es $ta_{ij}$ . Lo denotamos por $tA$ .

Definition 2.11 (Producto de matrices).

Dadas $A=(a_{ij})_{ij}\in\mathfrak{{M}}_{m\times n}(\mathbb{K})$ y $B=(b_{ij})_{ij}\in\mathfrak{{M}}_{n\times p}(\mathbb{K})$ , definimos el producto de $A$ por $B$ como la matriz $C=(c_{ij})_{ij}\in\mathfrak{{M}}_{m\times p}(\mathbb{K})$ cuyos elementos $c_{ij}$ son

c_{ij}=\begin{pmatrix}a_{i1}&\cdots&a_{in}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1j}\\ \vdots\\ b_{nj}\\ \end{pmatrix}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}

Notemos que solo se pueden multiplicar dos matrices $A$ y $B$ cuando el número de columnas de $A$ coincide con el número de filas de $B$ .

Proposition 2.12 (Propiedades del producto de matrices).

Las propiedades del producto de matrices son las siguientes:

1.

El producto no es conmutativo en general.
2.

$I_{m}A=A=AI_{n}$ para todo $A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ .
3.

En general, $AB=0\not\Rightarrow A=0\text{ o }B=0$
4.

El producto es asociativo: $(AB)C=A(BC)$
5.

$A(B_{1}+B_{2})=AB_{1}+AB_{2}$
6.

$(A_{1}+A_{2})B=A_{1}B+AB_{2}$
7.

$(tA)B=t(AB)=A(tB)$

Proof 2.13.

1.

Por ejemplo,

$AB=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix}$

$BA=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\ 1&1\\ \end{pmatrix}$
2.

Es trivial.
3.

Tomar por ejemplo $A=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\\ \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\\ \end{pmatrix}$ , que cumplen $AB=0$ .

Las propiedades 4,5,6 y 7 se deducen de las correspondientes propiedades en el cuerpo $\mathbb{K}$ .

Proposition 2.14.

1.

Dados $A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ y $E_{ij}\in\mathfrak{M}_{n\times p}(\mathbb{K})$ , $AE_{ij}$ es la matriz que en la columna $j$ tiene la columna $i$ de $A$ , y en el resto ceros. Caso particular, $p=1$ .
2.

Dados $A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ y $E_{ij}\in\mathfrak{M}_{p\times m}(\mathbb{K})$ , $E_{ij}A$ es la matriz que en la fila $i$ tiene la fila $j$ de $A$ , y en el resto ceros. Caso particular, $p=1$ .
3.

Si $A\in\mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$ es tal que $AX=0$ para toda $X\in\mathfrak{M}_{n\times p}(\mathbb{K})$ , entonces $A=0$ . Análogamente, si $YA=0$ para toda $Y\in\mathfrak{M}_{p\times m}(\mathbb{K})$ , entonces $A=0$

Proof 2.15.

1.

$AE_{ij}=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\\ \end{pmatrix}\cdot E_{ij}=\begin{pmatrix}0&\cdots&a_{1i}&\cdots&0\\ 0&\cdots&a_{2i}&\cdots&0\\ \vdots&&\vdots&&\\ 0&\cdots&a_{mi}&\cdots&0\\ \end{pmatrix}$
2.

$E_{ij}A=E_{ij}\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\cdots&0\\ \vdots&&\vdots\\ a_{j1}&\cdots&a_{jn}\\ \vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&0\\ \end{pmatrix}$
3.

Si $AX=0$ para todo $X\in\mathfrak{M}_{n\times p}(\mathbb{K})$ entonces $AE_{ij}=0$ para todo elemento $E_{ij}$ de $\mathfrak{{M}}_{n\times p}(\mathbb{K})$ . Por tanto, todas las columnas de $A$ son cero, de donde $A$ es cero. De modo similar, si $YA=0$ para toda $Y\in\mathfrak{{M}}_{p\times m}(\mathbb{K})$ entonces $E_{ij}A=0$ para todo $i,j$ , de donde se deduce que todas las filas de $A$ son cero.

Proposition 2.16.

$(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K}),+,\cdot)$ es un anillo con identidad, no conmutativo en general.

Definition 2.17 (Inversa de una matriz).

Decimos que una matriz cuadrada $A$ es invertible o regular si tiene inverso en el anillo de las matrices, es decir, si existe una matriz $B$ del mismo tamaño tal que $AB=BA=I_{n}$ . La matriz $B$ se dice inversa de $A$ .

Si $A$ no es invertible, se dice singular.

Proposition 2.18.

1.

Si $A\in\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})$ es invertible, entonces la inversa de $A$ es unica y se denota $A^{-1}$ .
2.

Si $A$ es invertible y $B$ es tal que $AB=I_{n}$ , entonces $B=A^{-1}$
3.

Si $A$ es invertible y $C$ es tal que $CA=I_{n}$ , entonces $C=A^{-1}$ .
4.

Si $A$ es invertible entonces $A^{-1}$ tambien es invertible y su inversa es $A$ .
5.

Si $A,B\in\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})$ son matrices inversibles, entonces $AB$ tambien es invertible, y su inversa es $B^{-1}A^{-1}$ .

Proof 2.19.

1.

Si $B_{1},B_{2}$ son inversas de $A$ entonces $B_{1}=B_{1}I_{n}=B_{1}(AB_{2})=(B_{1}A)B_{2}=I_{N}B_{2}=B_{2}$
2.

Si $AB=I_{n}$ , entonces $A^{-1}=A^{-1}\cdot I_{n}=A^{-1}\cdot(AB)=(A^{-1}A)B=I_{n}B\Rightarrow A^{-1}=B$
3.

Analogo a la propiedad 2.
4.

Trivial.
5.

$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AI_{n}A^{-1}=AA^{-1}=I_{n}$ .

Definition 2.20 (Matrices elementales).

Se llama matriz elemental a toda matriz cuadrada de orden $n$ de uno de los siguientes tipos:

1.

$P_{ij}=I_{n}-E_{ii}+E_{ii}+E_{ji}$
2.

$P_{ij}(t)=I_{n}+tE_{ij},$ con $t\in\mathbb{K}$
3.

$Q_{i}(s)=I_{n}+(s-1)E_{ii}$ , con $0\neq s\in\mathbb{K}$

donde $E_{ij}$ es la matriz cuadrada de orden $n$ que tiene todas sus entradas nulas salvo la entrada de la posicion $(ij)$ que es $1_{K}$ .

Example 2.21.

P_{12}=\begin{pmatrix}0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix},\quad P_{31}(t)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ t&0&1\\ \end{pmatrix},\quad Q_{3}(s)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&s\\ \end{pmatrix}

Proposition 2.22.

1.

Para toda $A$ si $P_{ij},P_{ij}(t),Q_{i}(s)$ ,

$AP_{ij}$ se obtiene intercambiando las columnas $i,j$ de A.

$AP_{ij}(t)$ se obtiene sumando a la columna $j$ de $A$ , la columna $i$ de $A$ multiplicada por $t$ .

$AQ_{i}(s)$ se obtiene multiplicando la columna $i$ de $A$ por $s$ .
2.

Para toda $A$ si $P_{ij},P_{ij}(t),Q_{i}(s)$ ,

$P_{ij}A$ se obtiene intercambiando las filas $i,j$ de A.

$P_{ij}(t)A$ se obtiene sumando a la fila $j$ de $A$ , la fila $i$ de $A$ multiplicada por $t$ .

$Q_{i}(s)A$ se obtiene multiplicando la fila $i$ de $A$ por $s$ .
3.

Las matrices elementales son inversibles: $P_{ij}^{-1}=P_{ij}$ , $P_{ij}(t)^{-1}=P_{ij}(-t)$ y $Q_{i}(s)^{-1}=Q_{i}(s^{-1})$

Proposition 2.23 (Propiedades de la trasposicion de matrices).

Las propiedades de las trasposiciones de matrices son las siguientes:

1.

$(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}$
2.

$(sA)^{t}=sA^{t}$
3.

$(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$
4.

$A$ es una matriz invertible si y solo si $A^{t}$ tambien es invertible (y su inversa es $(A^{-1})^{t}$ )
5.

$E^{t}_{ij}=E_{ji},P^{t}_{ij}=P_{ij},Q_{i}(s)^{t}=Q_{i}(s)$