9 Base de una Topología

Proposición II.4.

Un subconjunto $S$ de $\mathbb{R}$ es abierto si, y solo si, es la unión de intervalos abiertos.

Demostración.

$S\in T_{u}\iff\forall x\in S\;\exists\epsilon>0$ tq $(x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x})\subset S\iff S=\cup_{x\in S}(x-\epsilon_{x},x+% \epsilon_{x})$ . ∎

Definición II.2.

Sea $(X,T)$ un espacio topológico. Una colección $\mathcal{{B}}$ de subconjuntos abiertos de $X$ se llama base de $T$ si cada conjunto abierto de $T$ es una unión de miembros de $\mathcal{{B}}$ .

Es decir, $B\subset T$ es base de $T$ si $\forall U\in T\;\exists B_{u}\subset B$ tq $U=\cup B_{u}$ .

Ejemplo II.2.

Sea $\mathcal{{B}}=\left\{(a,b)\colon a,b\in\mathbb{R},a<b\right\}$ . Entonces $\mathcal{{B}}$ es una base de la topología euclidiana sobre $\mathbb{R}$ .

Ejemplo II.3.

Sea $(X,T_{disc})$ , entonces $B_{disc}=\left\{\left\{x\right\}\mid x\in X\right\}$ es una base y $T_{disc}=T(\text{Base})$ .

Ejemplo II.4.

En $(\mathbb{R},T_{u})$ , $U\in T_{u}$ si $\forall x\in U\;\exists(a,b),a<b$ , tal que $x\in(a,b)\subset U$ , o dicho de otra forma, si $\exists\epsilon_{x}>0$ tal que $x\in(x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x})\subset U$ . Por tanto, $U=\cup_{x\in U}(x-\epsilon_{x},x+\epsilon_{x})$ .

En general $(X,T)$ y $\mathcal{{B}}$ es una base de $T$ ( $T=T(B)$ ), $U\in T\iff\forall x\in U\;\exists\mathcal{{B}}_{x}\in\mathcal{{B}}$ tq $x\in\mathcal{{B}}_{x}\subset U\iff U=\cup_{x\in U}\mathcal{{B}}_{x}\in T$ .

Ejemplo II.5.

En $(\mathbb{R},T_{u})$ , $\mathcal{{B}}=\left\{(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset\mathbb{R}\mid x\in R\wedge% \epsilon>0\right\}$ .

Observación II.1.

En general, dada $T$ topología sobre $X$ , existen $\mathcal{{B}},\mathcal{{B}}^{\prime}$ con $\mathcal{{B}}\neq\mathcal{{B}}^{\prime}$ tales que $T=T(\mathcal{{B}})=T(\mathcal{{B}}^{\prime})$ .

Proposición II.5.

Sea $X$ un conjunto no vacío y sea $\mathcal{{B}}$ una colección de subconjuntos de $X$ . Entonces $\mathcal{{B}}$ es una base de una topología sobre $X$ si, y solo si, $\mathcal{{B}}$ tiene las propiedades siguientes:

a)

$X=\cup_{B\in\mathcal{{B}}}B$ , y
b)

para cualesquiera $B_{1},B_{2}\in\mathcal{{B}}$ , el conjunto $B_{1}\cap B_{2}$ es una unión de miembros de $\mathcal{{B}}$ . Es decir, $\forall B_{1},B_{2}\in\mathcal{{B}}$ , $B_{1}\cap B_{2}\in T(B)$ .

Demostración.

Veamos que si $\mathcal{{B}}$ satisface a) y b) entonces es base de una topología (es decir, los conjuntos que obtengo uniendo arbitrariamente elementos de $\mathcal{{B}}$ constituyen una topología).

1.

$\varnothing=\cup\varnothing$ y $\varnothing\subset\mathcal{{B}}$ . Luego $\varnothing\in\mathcal{{B}}$ .
2.

$\forall\mathcal{{B}}^{\prime}\subset\mathcal{{B}}$ , $\cup\mathcal{{B}}^{\prime}\in T(\mathcal{{B}})$ . Por familias, $\forall\left\{U_{i}\right\}_{i\in I}$ familia de elementos de $T(\mathcal{{B}})$ , $\cup_{i\in I}U_{i}\in T(B)$ . Sea $i\in I$ como $U_{i}\in T(\mathcal{{B}})\;\exists\left\{B^{j}_{i}\right\}_{j\in J_{i}}$ familia de elementos de $\mathcal{{B}}$ tal que $U_{i}=\cup_{j\in J_{i}}B^{j}_{i}$ .

$\cup_{i\in I}U_{i}=\underbrace{\cup_{j\in J_{i}}B^{j}_{i}}_{\in T(B)}$
3.

$\forall U,U^{\prime}\in T(\mathcal{{B}})$ , $U\cap U^{\prime}\in T(\mathcal{{B}})$ . Si $U\in T$ entonces $\exists B_{u}\subset B$ tal que $U=\cup B_{u}$ y si $U^{\prime}\in T(B)$ , $\exists B^{\prime}_{u}\subset B$ tal que $U^{\prime}=\cup B^{\prime}_{u}$ . Por tanto, $U\cap U^{\prime}=(\cup B_{u})\cap(\cup B^{\prime}_{u})=\cup B^{\prime\prime}$ , donde $B^{\prime\prime}=\left\{B\cap B^{\prime}\mid B\in\mathcal{{B}}_{u}\wedge B^{% \prime}\in B^{\prime}_{u}\right\}$ . Luego pertenece a $T(B)$ .

∎

Ejemplo II.6.

En $(\mathbb{R}^{2},T^{2}_{u})$ , si consideramos $(a,b)\times(c,d)=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid a<x<b\wedge c<y<d\right\}$ , con $a<b$ y $c:d$ , esto forma una base de la topología.

\mathbb{R}^{2}=\bigcup_{\begin{subarray}{c}a,b,c,d\in\mathbb{R}\\ a<b\\ c<d\end{subarray}}(a,b)\times(c,d)

Observación II.2.

En general, en $\mathbb{R}^{n}$ se considera la topología euclídea $T^{n}_{u}$ de manera que $T^{n}_{u}=T(B_{n})$ , donde $B_{n}=\left\{\prod^{n}_{i=1}(a_{i},b_{i})\subset\mathbb{R}^{n}\mid\forall i\in% \left\{1,\ldots,n\right\}\;a_{i}<b_{i}\right\}$ .

Definición II.3.

Se dice que $(X,T)$ es IIAN (satisface el segundo axioma de numerabilidad) si existe $B$ base de $T$ tal que $B$ es numerable.

Ejemplo II.7.

$(\mathbb{R},T_{u})$ satisface el IIAN, pues $T_{u}=T(B)$ siendo $B=\left\{(q,n)\mid q,n\in\mathbb{Q}\wedge q<n\right\}$ y $\left|B\right|-\left|\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\right|=\left|\mathbb{N}\times% \mathbb{N}\right|=\left|\mathbb{N}\right|=\aleph_{0}$ .

Se puede comprobar fácilmente que $B$ es base de una topología con la caracterización anterior. Nos falta ver que $T_{u}=T(B)$ . Se puede demostrar viendo que cualquier abierto de la topología usual se puede expresar como unión de abiertos de $T(B)$ .

Veamos que $\forall(a,b)\in\mathbb{R},a<b,$ $\exists B_{ab}\subset B$ tal que $(a,b)=\cup B_{ab}$ . Se cumple ya que $(a,b)=\bigcup_{\begin{subarray}{c}x\in(a,b)\\ q_{x},n_{x}\in\mathbb{Q}\\ (q_{x},n_{x})\subset(a,b)\end{subarray}}(q_{x},n_{x})$ . Por tanto, $T_{u}\subset T(B)$ . Como $B\subset T_{u}\Rightarrow T(B)\subset T_{u}$ , con lo que $T(B)=T_{u}$ .

Proposición II.6.

Sea $(X,T)$ un espacio topológico. Una colección $B\subset T$ es una base de $T$ si y solo si $\forall U\in T\;\forall x\in U\;\exists B_{x}\in B$ tal que $x\in B_{x}\subset U$ .

Demostración.

$\Rightarrow)$

Supongamos que $T=T(B)$ . Sea $U\in T$ y $x\in U$ . Tenemos que ver que $\exists B_{x}\in B$ tal que $x\in B_{x}\subset U$ .

Si $U\in T=T(B)$ , entonces $\exists B_{u}\subset B$ tal que $U=\cup B_{u}$ y $x\in U$ , con lo que $\exists B_{x}\in B_{u}$ tal que $x\in B_{x}\overset{U=\cup B_{u}}{\subset}U$ .

$\Leftarrow)$

Veamos si $T=T(B)$ .

$\supset)$: Sea $B\subset T\Rightarrow T(B)\subset T$ .
$\subset)$: Sea $U\in T$ . Por hipótesis $\forall x\in U\;\exists B_{x}\in B$ tal que $x\in B_{x}\subset U$ . Luego $\bigcup_{\begin{subarray}{c}x\in U\\ (B_{x}\subset U)\end{subarray}}B_{x}=U\Rightarrow U\in T(B)$ .

∎

Proposición II.7.

Si $T=T(B)$ , se tiene que $U\in T\iff\forall x\in U\;\exists B_{x}\in B$ tal que $x\in B_{x}\subset U$ .

Proposición II.8.

Sea $X\neq\varnothing$ y $\mathcal{{B}},\mathcal{{B}}^{\prime}$ bases de las topologías $T(\mathcal{{B}})$ y $T(\mathcal{{B}}^{\prime})$ . Entonces $T(\mathcal{{B}}^{\prime})\subset T(\mathcal{{B}})$ si $\forall B^{\prime}\in\mathcal{{B}}^{\prime}\;\forall x\in B^{\prime}\;\exists B% \in\mathcal{{B}}$ tal que $x\in B\subset B^{\prime}$ .

Demostración.

Nota: Si $T_{1}\subset T_{2}$ se dice que $T_{2}$ es más fina $T_{1}$ .

Será suficiente con demostrar que $\forall B^{\prime}\in\mathcal{{B}}^{\prime}\;\exists\mathcal{{A}}\subset% \mathcal{{B}}$ tal que $B^{\prime}=\cup\mathcal{{A}}$ .

Sea $B^{\prime}\in\mathcal{{B}}^{\prime}$ , y sea $x\in B^{\prime}$ . Por hipótesis $\exists B_{x}\in\mathcal{{B}}$ tal que $x\in B_{x}\subset\mathcal{{B}}^{\prime}$ .

\begin{cases}\cup_{x\in\mathcal{{B}}^{\prime}}B^{x}\subset\mathcal{{B}}^{% \prime}\\ B^{\prime}\subset\cup_{x\in\mathcal{{B}}^{\prime}}B^{x}\end{cases}\Rightarrow B% ^{\prime}=\cup_{x\in\mathcal{{B}}^{\prime}}\underbrace{B^{x}}_{\in\mathcal{{B}% }}\Rightarrow B^{\prime}\in T(\mathcal{{B}})

Es decir, $\forall B^{\prime}\in\mathcal{{B}}^{\prime}$ , $B^{\prime}\in T(B)\Rightarrow T(\mathcal{{B}}^{\prime})\subset T(\mathcal{{B}})$ . ∎

Corolario II.1.

Sea $X\neq\varnothing$ , $\mathcal{{B}}$ y $\mathcal{{B}}^{\prime}$ bases de topología sobre $X$ .

T(\mathcal{{B}})=T(\mathcal{{B}}^{\prime})\iff\begin{cases}\forall B\in% \mathcal{{B}}\;\forall x\in B\;\exists B^{\prime}\in\mathcal{{B}}^{\prime}% \text{ tq }x\in B^{\prime}\subset\mathcal{{B}}\\ \forall B^{\prime}\in\mathcal{{B}}^{\prime}\;\forall x\in B^{\prime}\;\exists B% \in\mathcal{{B}}\text{ tq }x\in B\subset\mathcal{{B}}^{\prime}\end{cases}

Ejemplo II.8.

Sea $(\mathbb{R}^{2},T^{2}_{u})$ , con $T^{2}_{u}=T(B_{2})$ con $B_{2}=\left\{(a,b)\times(c,d)\mid a,b,c,d\in\mathbb{R}\wedge a<b\wedge c<d\right\}$ . Podemos considerar también la base $B_{3}$ formada por triángulos abiertos en lugar de rectángulos abiertos. Se tiene que $T(B_{3})\subset T(B_{2})$ y $T(B_{2})\subset T(B_{3})$ , por lo que $T(B_{3})=T(B_{2})=T^{2}_{u}$ .

Definimos $B_{r}(x_{0},y_{0})=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2% }<r^{2}\right\}$ . Si $B=\left\{B_{r}(x_{0},y_{0})\mid r\geq 0\wedge(x_{0},y_{0})\in\mathbb{R}\right\}$ , $T(B)=T^{2}_{u}$ (ya que ambas están contenidas en la otra, se puede ver gráficamente).

Ejemplo II.9.

Sea $\mathbb{R}$ y $T_{u}=T(\mathcal{{B}}_{u})$ , $\mathcal{{B}}_{u}=\left\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\wedge a<b\right\}$ . (Foto).