8 La Topología Euclidiana sobre $\mathbb{R}$

Por tanto, $T_{u}=\left\{A\subset\mathbb{R}\mid\forall x\in A\;\exists\epsilon>0\mathchar 46\relax\mathchar 46\relax(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset A\right\}$.

Veamos que $(\mathbb{R},T_{u})$ es un espacio topológico.

1. 1.
   ​

   $\varnothing,\mathbb{R}\in T_{u}$.

2. 2.
   ​

   Sea $\left\{U_{i}\right\}_{i\in I}$ familia de abiertos de $T_{u}$. Sea $x\in\cup_{i\in I}U_{i}\Rightarrow\exists i_{0}\in I$ tal que $x\in U_{i_{0}}$ y $U_{i_{0}}\in T_{u}$, luego $\exists\epsilon>0$ tal que $x\in(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset U_{i_{0}}\subset\cup_{i\in I}U_{i}$.

3. 3.
   ​

   Sean $U_{1},U_{2}\in T_{u}$, queremos ver si $U_{1}\cap U_{2}\in T_{u}$. Sea $x\in U_{1}\cap U_{2}$, entonces

   $$\begin{cases}x\in U_{1}\text{ y }U_{1}\in T_{u}\Rightarrow\exists\epsilon_{1}>0\text{ tq }x\in(x-\epsilon_{1},x+\epsilon_{1})\subset U_{1}\\ x\in U_{2}\text{ y }U_{2}\in T_{u}\Rightarrow\exists\epsilon_{2}>0\text{ tq }x\in(x-\epsilon_{2},x+\epsilon_{2})\subset U_{2}\end{cases}$$

   Tomando $\epsilon=\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\left\{\epsilon_{1},\epsilon_{2}\right\}$, $x\in(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset U_{1}\cap U_{2}$.

Por tanto $T_{u}$ es una topología sobre $\mathbb{R}$.

Dados $a,b\in\mathbb{R}$, $a<b$, se cumple que $(a,b)\in T_{u}$? Sí, puesto que $\forall x\in(a,b)$, siendo $\epsilon=\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\left\{x-a,b-x\right\}$ se tiene que $(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset(a,b)$. También se tiene que $\forall a\in\mathbb{R}$, $(-\infty,a)\in T_{u}$, $(a,\infty)\in T_{u}$, $(-\infty,+\infty)\in T_{u}$.