19 Completitud ‣ Part VI Espacios métricos ‣ Topología

Definition 19.1.

Se dice que una sucesión $\left\{x_{n}\right\}$ de puntos de un espacio métrico $(X,d)$ es de Cauchy si

\forall\epsilon>0\;\exists n_{0}\in\mathbb{N}\text{ tal que }\forall n,m\geq n% _{0}\;\;d(x_{n},x_{m})<\epsilon

Proposition 19.2.

Sea $(X,d)$ espacio métrico, $\left\{x_{n}\right\}$ sucesión de puntos de $(X,d)$ . Si $\exists a\in X$ tal que $\left\{x_{n}\right\}\rightarrow a\Rightarrow\left\{x_{n}\right\}$ es de Cauchy.

Proof 19.3.

Sea $\epsilon>0$ , entonces $\frac{\epsilon}{2}>0$ . Como $\left\{x_{n}\right\}\rightarrow a\;\exists n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n\geq n_{0}\;d(x_{n},a)<\frac{\epsilon}{2}$ . Pero, en ese caso, $\forall n,m\geq n_{0}$ $d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},a)+d(a,x_{m})<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$ .

Example 19.4.

La sucesión $\left\{10^{-n}\right\}=\left\{0.1,0.01,0.001,\ldots\right\}$ es de Cauchy pero no converge a ningún punto en el espacio métrico $((0,1),d_{\left|\right|}|_{(0,1)\times(0,1)})$ .

Definition 19.5.

Se dice que $(X,d)$ es completo si $\forall\left\{x_{n}\right\}$ sucesión de puntos de $(X,d)$ si $\left\{x_{n}\right\}$ es de Cauchy entonces $\exists x\in X$ tal que $\left\{x_{n}\right\}\rightarrow x$ .

Definition 19.6.

Sea $\left\{n_{k}\right\}$ una sucesión de números naturales estrictamente creciente. Si $\left\{x_{n}\right\}$ es una sucesión de puntos de $(X,d)$ se dice que $\left\{x_{n_{k}}\right\}$ es una subsucesión de $\left\{x_{n}\right\}$ .

Proposition 19.7.

Sea $(X,d)$ espacio métrico. Si $\left\{x_{n}\right\}\rightarrow x$ entonces todas las subsucesiones de $\left\{x_{n}\right\}$ convergen hacia $x$ .

Proof 19.8.

Ejercicio.

Remark 19.9.

Sea $(X,d)$ espacio métrico. Entonces

\left\{x_{n}\right\}\overset{(X,d)}{\rightarrow}x\in X\iff\left\{d(x_{n},x)% \right\}\overset{(\mathbb{R},d_{||})}{\rightarrow}0

Remark 19.10.

Una sucesión de números reales $\left\{x_{n}\right\}$ está acotada si el conjunto $\left\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}\subset\mathbb{R}$ está acotado.

Definition 19.11.

Sean $(X,d)$ un espacio métrico y $A\subset X$ , $A\neq\varnothing$ . Se dice que $A$ está acotado si $\exists M>0$ tal que $\forall x,y\in A\;d(x,y)<M$ .

Proposition 19.12.

Sea $(X,d)$ espacio métrico y $\left\{x_{n}\right\}$ sucesión de Cauchy. Entonces $\left\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$ es un conjunto acotado.

Proof 19.13.

Supongamos que $\left\{x_{n}\right\}$ es de Cauchy, entonces dado $\epsilon=1$ $\exists n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n,m\geq n_{0}$ $d(x_{n},x_{m})<1$ .

Sea ahora $K=\max\left\{d(x_{i},x_{j})\mid i,j\in\left\{1,\ldots,n_{0}\right\}\right\}$ . En ese caso, $\forall n\geq n_{0}\;\forall l<n_{0}$ se tiene que $d(x_{n},x_{l})\leq d(x_{n},x_{n_{0}})+d(x_{n_{0}},x_{l})<1+K$ .

Tomando $M=K+1$ , resulta que $\forall n,m\in\mathbb{N}$ se cumple que $d(x_{n},x_{m})<M$ , con lo que $\left\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$ es un conjunto acotado.

Remark 19.14.

1.

Las únicas sucesiones de Cauchy en un espacio métrico discreto son aquellas que, a partir de un cierto $n_{0}\in\mathbb{N}$ toman un valor constante. Los espacios métricos discretos son completos.
2.

$\left\{\frac{1}{n}\right\}$ es de Cauchy en $(\mathbb{R},d_{||})$ y en $((0,1),d_{||}\mid_{(0,1)\times(0,1)})$ .

Proposition 19.15.

Sea $(X,d)$ espacio métrico. Si $\left\{x_{n}\right\}$ es de Cauchy y $\exists\left\{x_{n_{k}}\right\}<\left\{x_{n}\right\}$ tal que $\left\{x_{n_{k}}\right\}\rightarrow x$ . Entonces $\left\{x_{n}\right\}\rightarrow x$ .

Proof 19.16.

Sea $\epsilon>0\Rightarrow\frac{\epsilon}{2}>0$ . Como $\left\{x_{n}\right\}$ es de Cauchy, $\exists n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n,m\geq n_{0}\;d(x_{n},x_{m})<\frac{\epsilon}{2}$ . Como $\left\{x_{n_{k}}\right\}\rightarrow x\Rightarrow\exists n_{1}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n_{k}\geq n_{1}\;d(x_{n_{k}},x)<\frac{\epsilon}{2}$ .

Sea $n_{2}=\max\left\{n_{0},n_{1}\right\}$ . Tomando $k$ tal que $n_{k}\geq n_{2}$ , para todo $n\geq n_{2}$ se tiene $d(x_{n},x)\leq d(x_{n},x_{n_{k}})+d(x_{n_{k}},x)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{% \epsilon}{2}=\epsilon$ . Es decir, $\left\{x_{n}\right\}\rightarrow x$ .

Corollary 19.17.

$(X,d)$ es completo $\iff$ toda sucesión de Cauchy posee una subsucesión convergente.

Proposition 19.18.

Sea $(X,d)$ espacio métrico. Si $(X,T_{d})$ es compacto y $\left\{x_{n}\right\}$ es una sucesión de elementos de $X$ , $\exists\left\{x_{n_{k}}\right\}<\left\{x_{n}\right\}$ tal que $\left\{x_{n_{k}}\right\}$ es convergente.

Proof 19.19.

Caben dos posibilidades:

1.

Si $\left\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$ es finito es obvio que se puede construir una subsucesión constante que, por tanto, será convergente.
2.

Si $\left\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$ es infinito entonces, según vimos, al ser $(X,T_{d})$ compacto, $\left\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$ tiene al menos un punto de acumulación $x\in X$ y, en consecuencia $\forall\epsilon>0$ $(B_{\epsilon}(x)\setminus\left\{x\right\})\cap\left\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}% \right\}\neq\varnothing$ . Es decir, tomando $\epsilon=1\;\exists n_{1}\in\mathbb{N}$ tal que $d(x_{n_{1}},x)<1$ . Tomando $\epsilon=\frac{1}{2}$ y considerando el conjunto $\mathbb{N}_{1}=\left\{n\in\mathbb{N}\mid n>n_{1}\right\}$ es obvio que $B_{\frac{1}{2}}(x)\cap\left\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}\neq\varnothing$ . Luego $\exists n_{2}\in\mathbb{N}_{1}$ (y, por tanto, $n_{2}>n_{1}$ ) tal que $d(x_{n_{2}},x)<\frac{1}{2}$ . Razonando como en el caso anterior, siendo $\mathbb{N}_{2}=\left\{n\in\mathbb{N}\mid n>n_{2}\right\}$ , se tiene que $B_{\frac{1}{3}}(x)\cap\left\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}\neq\varnothing$ , luego $\exists n_{3}\in\mathbb{N}_{2}$ tal que $d(x_{n_{3}},x)<\frac{1}{3}$ .

En general, razonando análogamente a los casos anteriores, dado $\epsilon=\frac{1}{k}$ $\exists n_{k}\in\mathbb{N}_{k-1}$ , $n_{k}>n_{k-1}>\cdots>n_{1}$ tal que $d(x_{n_{k}},x)<\frac{1}{k}$ .

Así pues, tenemos una subsucesión $\left\{x_{n_{k}}\right\}$ de $\left\{x_{n}\right\}$ tal que $\forall x\in\mathbb{N}$ $d(x_{n_{k}},x)<\frac{1}{k}$ , con lo que $\left\{x_{n_{k}}\right\}\rightarrow x$ .

Theorem 19.20.

$\mathbb{R}^{n}$ con cualquiera de las tres distancias equivalentes consideradas $d_{0},d_{1},d_{2}$ es un espacio métrico completo. En otras palabras, $(\mathbb{R}^{n},d_{0}),(\mathbb{R}^{n},d_{1}),(\mathbb{R}^{n},d_{2})$ son espacios métricos completos.

Proof 19.21.

Veamos, por ejemplo, que $(\mathbb{R}^{n},d_{0})$ es completo. Sea $\left\{x_{n}\right\}$ una sucesión de Cauchy en $(\mathbb{R}^{n},d_{0})\Rightarrow\left\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$ es un conjunto acotado de $(\mathbb{R}^{n},d_{0})$ . De hecho, dado $\epsilon=1\;\exists n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n,m\geq n_{0}$ se tiene que $d_{0}(x_{n},x_{m})\leq 1$ ya que $\left\{x_{n}\right\}$ es de Cauchy. Llamando $K=\max\left\{d_{0}(x_{1},0),\ldots,d_{0}(x_{n_{0}-1},0),d_{0}(x_{n_{0}},0)+1\right\}$ resulta que $\forall n\in\mathbb{N}$ $d_{0}(x_{n},0)\leq K$ (si $n\leq n_{0}$ es evidente, y si $n>n_{0}$ $d(x_{n},0)\leq d(x_{n},x_{n_{0}})+d(x_{n_{0}},0)<1+d(x_{n_{0}},0)\leq K$ ).

Luego $\left\{x_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}\subset[-K,K]\times\cdots\times[-K,K]=[% -K,K]^{n}$ . Ahora bien, como $[-K,K]^{n}$ es compacto, por la proposición anterior $\left\{x_{n}\right\}$ tiene una subsucesión convergente y, en consecuencia, $(\mathbb{R}^{n},d_{0})$ es un espacio métrico compacto.

Proposition 19.22.

Sea $(X,d)$ espacio métrico, $Y\subset X$ con $Y\neq\varnothing$ . Entonces

(Y,d|_{Y\times Y})\text{ completo}\Rightarrow Y\text{ es un cerrado de }(X,T_{% d})

Proof 19.23.

Si $Y\subset X$ , $d|_{Y\times Y}\colon Y\times Y\to\mathbb{R}$ es una métrica en $Y$ . Supongamos que $(Y,d|_{Y\times Y})$ es completo. Veamos que $Y=\overline{Y}$ . Sabemos que $Y\subset\overline{Y}$ . Sea $y\in\overline{Y}\Rightarrow\exists\left\{y_{n}\right\}$ sucesión de elementos de $Y$ tal que $\left\{y_{n}\right\}\rightarrow y$ . Además, $\left\{y_{n}\right\}$ es de Cauchy, $\left\{y_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}\subset Y$ y $(Y,d|_{Y\times Y})$ es completo. Por tanto, $y\in Y$ .

Luego $\overline{Y}=Y$ y, por consiguiente, $y\in\mathcal{{C}}_{T_{d}}$ .

Corollary 19.24.

Sea $(X,d)$ espacio métrico completo, $Y\subset X$ .

(Y,d|_{Y\times Y})\text{ es completo}\iff Y\in\mathcal{{C}}_{Td}

Proof 19.25.

Ejercicio.

Proposition 19.26.

Sea $(X,d)$ es un espacio métrico.

(X,T_{d})\text{ compacto}\Rightarrow(X,d)\text{ completo}

Proof 19.27.

Supongamos que $(X,d)$ es un espacio métrico compacto. Si $\left\{x_{n}\right\}$ es una sucesión de Cauchy en $(X,d)$ , por la proposición 2 $\exists\left\{x_{n_{k}}\right\}$ subsucesión de $\left\{x_{n}\right\}$ tal que $\left\{x_{n_{k}}\right\}$ es convergente y, por el corolario 1, $(X,d)$ es completo.

Remark 19.28.

El recíproco no es cierto: $(\mathbb{R},d_{||})$ es completo y, sin embargo, $(\mathbb{R},T_{d_{||}})=(\mathbb{R},T_{u})$ no es compacto.

Theorem 19.29 (del encaje de Cantor).

Sea $(X,d)$ un espacio métrico completo y $\left\{C_{n}\right\}$ una sucesión de cerrados de $(X,d)$ tal que $\forall n\in\mathbb{N}C_{n}\supset C_{n+1}$ y $\lim\limits_{n\to\infty}\sup\left\{d(x,y)\mid x,y\in C_{n}\right\}=0$ .

En estas condiciones, $\exists x\in\cap_{n\in\mathbb{N}}C_{n}$ y además si $y\in\cap_{n\in\mathbb{N}}C_{n}\Rightarrow y=x$ .

Proof 19.30.

Nota: denotamos $\sup\left\{d(x,y)\mid x,y\in C_{n}\right\}=d(C_{n})$ (diámetro de $C_{n}$ ).

Sea $\left\{x_{n}\right\}$ tal que $\forall n\in\mathbb{N}\;x_{n}\in C_{n}$ . Veamos que $\left\{x_{n}\right\}$ es de Cauchy. Como $\lim\limits_{n\to\infty}d(C_{n})=0$ , dado $\epsilon>0\;\exists n_{0}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n\geq n_{0}\;d(C_{n})<\epsilon$ y si $n,m\geq n_{0}$ , si $m\geq n$ se tiene que $x_{m}\in C_{m}\subset C_{n}\subset C_{n_{0}}$ con lo que $x_{n},x_{m}\in C_{n_{0}}$ y $d(x_{n},x_{m})<\epsilon$ . Como $\left\{x_{n}\right\}$ es de Cauchy y $(X,d)$ es completo, $\exists x\in X$ tal que $\left\{x_{n}\right\}\rightarrow x$ . Obviamente $x\in\cap_{n\in\mathbb{N}}C_{n}$ , pues en caso contrario $\exists k\in\mathbb{N}$ tal que $x\notin C_{k}=\overline{C_{k}}\Rightarrow\exists r>0$ tal que $B_{r}(x)\cap C_{k}=\varnothing$ pero entonces $\left\{x_{n}\right\}\cancel{\rightarrow}x$ , ya que si $n\geq k\;x_{n}\in C_{k}$ y, por tanto, $d(x_{n},x)>r$ . Contradicción. Luego $x\in\cap_{n\in\mathbb{N}}C_{n}$ .

Por otra parte, si $y\in\cap_{n\in\mathbb{N}}C_{n}$ , $y\neq x$ , como $\lim\limits_{n\to\infty}d(C_{n})=0$ y $d(x,y)\leq d(C_{n})\;\forall n\in\mathbb{N}$ . Puesto que $d(x,y)\leq 0$ y $d(x,y)\geq 0$ , $d(x,y)=0\Rightarrow x=y$ .

Definition 19.31.

Sean $(X,d)$ e $(Y,d^{\prime})$ espacios métricos. Se dice que una función biyectiva $f\colon X\to Y$ es una isometría si conserva la distancia, es decir, si $\forall x,y\in X$ $d^{\prime}(f(x),f(y))=d(x,y)$ .

Remark 19.32.

Si $(X,d)$ y $(Y,d^{\prime})$ son isométricos, entonces $(X,T_{d})$ y $(Y,T_{d^{\prime}})$ son homeomorfos. De hecho, toda isometría es un homeomorfismo.

Sin embargo, el recíproco no es cierto. Consideramos $(\mathbb{R},d_{dis})$ y $(\mathbb{R},D)$ siendo $D(x,y)=\begin{cases}2\text{ si }x\neq y\\ 0\text{ si }x=y\end{cases}$ . Entonces

\displaystyle Id\colon(\mathbb{R},d_{dis})

\displaystyle{}\longrightarrow(\mathbb{R},D)

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto Id(x)=x

es un homeomorfismo, pero no es una isometría ya que si $x\neq y$ , $d_{dis}(x,y)=1$ mientras que $D(Id(x),Id(y))=D(x,y)=2\neq 1$ .