20 Contracciones

Definición VI.16.

Sea ff una función de un conjunto XX en el mismo. Entonces un punto x∈Xx\in X se dice que es un punto fijo de ff si f(x)=xf(x)=x.

Definición VI.17.

Sean (X,d)(X,d) un espacio métrico y ff una función de XX en el mismo. Entonces ff se dice que es una contracción si existe un r∈(0,1)r\in(0,1) tal que

d(f(x1),f(x2))≤r⋅d(x1,x2) para toda x1,x2∈X.d(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq r\cdot d(x_{1},x_{2})\;\text{ para toda }x_{1},x_{2}% \in X\mathchar 46\relax
Proposición VI.16.

Sea ff una contracción del espacio métrico (X,d)(X,d). Entonces ff es una función continua.

Demostración.

Sea ϵ>0\epsilon>0 y x0∈Xx_{0}\in X. Siendo δ=ϵ\delta=\epsilon, se tiene que

d(f(x),f(x0))≤r⋅d(x,x0)<d(x,x0)=δ=ϵd(f(x),f(x_{0}))\leq r\cdot d(x,x_{0})<d(x,x_{0})=\delta=\epsilon

∎

Teorema VI.3 (de la contracción o teorema del punto fijo de Banach).

Sean (X,d)(X,d) un espacio métrico completo y ff una contracción de (X,d)(X,d) en el mismo. Entonces ff tiene exactamente un punto fijo.

Demostración.

Sea xx un punto cualquiera en XX, y considera la secuencia

x,f(x),f2(x)=f(f(x)),f3(x)=f(f(f(x))),…,fn(x),…x,f(x),f^{2}(x)=f(f(x)),f^{3}(x)=f(f(f(x))),\ldots,f^{n}(x),\ldots

Mostraremos que esta es una sucesión de Cauchy. Sea a=d(x,f(x))a=d(x,f(x)). Como ff es una contracción, existe r∈(0,1)r\in(0,1) tal que d(f(x1),f(x2))≤r⋅d(x1,x2)d(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq r\cdot d(x_{1},x_{2}), para toda x1,x2∈Xx_{1},x_{2}\in X.

Claramente, d(f(x),f2(x))≤r⋅d(x,f(x))=r⋅ad(f(x),f^{2}(x))\leq r\cdot d(x,f(x))=r\cdot a, d(f2(x),f3(x))≤r2⋅d(x,f(x))=r2ad(f^{2}(x),f^{3}(x))\leq r^{2}\cdot d(x,f(x))=r^{2}a, y por inducción obtenemos que ∀k∈ℕ\forall k\in\mathbb{N} d(fk(x),fk+1(x))≤rk⋅ad(f^{k}(x),f^{k+1}(x))\leq r^{k}\cdot a.

Sean mm y nn enteros positivos cualesquiera, con n>mn>m. Entonces

d(fm(x),fn(x))=d(fm(x),fm(fn−m(x)))≤rmd(x,fn−m(x))≤≤rm[d(x,f(x))+d(f(x),f2(x))+⋯+d(fn−m−1(x),fn−m(x))]≤≤rmd(x,f(x))[1+r+r2+⋯+rn−m−1]≤rma1−rn−m1−r≤rma1−r{}d(f^{m}(x),f^{n}(x))=d(f^{m}(x),f^{m}(f^{n-m}(x)))\leq r^{m}d(x,f^{n-m}(x))% \leq\\ {}\leq r^{m}[d(x,f(x))+d(f(x),f^{2}(x))+\cdots+d(f^{n-m-1}(x),f^{n-m}(x))]\leq% \\ {}\leq r^{m}d(x,f(x))[1+r+r^{2}+\cdots+r^{n-m-1}]\leq r^{m}a\frac{1-r^{n-m}}{1% -r}\leq\frac{r^{m}a}{1-r}

Por tanto, d(fm(x),fn(x))≤rma1−r→m→∞0d(f^{m}(x),f^{n}(x))\leq\frac{r^{m}a}{1-r}\overset{m\to\infty}{\rightarrow}0. Luego ∃z∈X\exists z\in X tal que {fn(x)}→z\left\{f^{n}(x)\right\}\rightarrow z. Así, obtenemos que

f(z)=f(lı´mn→∞fn(x))=contlı´mn→∞fn+1(x)=zf(z)=f(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}f^{n}(x))% \overset{cont}{=}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty% }f^{n+1}(x)=z

Supongamos que existe tt tal que f(t)=tf(t)=t. Entonces d(t,z)=d(f(t),f(z))≤r⋅d(t,z)d(t,z)=d(f(t),f(z))\leq r\cdot d(t,z). Si d(t,z)≠0d(t,z)\neq 0, se tendría que d(t,z)≤rd(t,z)<d(t,z)d(t,z)\leq rd(t,z)<d(t,z). Esto es una contradicción, luego d(t,z)=0⇒t=zd(t,z)=0\Rightarrow t=z. ∎