17 Espacios métricos

Definición VI.1.

Sea $X$ conjunto no vacío. Se dice que $d\colon X\times X\to\mathbb{R}$ es una distancia sobre $X$ si satisface las siguientes propiedades:

1.

$\forall x,y\in X\;d(x,y)\geq 0$ y $d(x,y)=0\iff x=y$ .
2.

$\forall x,y\in X\;d(x,y)=d(y,x)$ .
3.

$\forall x,y,z\in X\;d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (desigualdad triangular).

Al par $(X,d)$ se le denomina espacio métrico.

Ejemplo VI.1.

Se tiene que $(\mathbb{R},d_{u})$ con

\displaystyle d_{u}\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle(x,y)

\displaystyle{}\longmapsto d_{u}((x,y))=\left|x-y\right|

es un espacio métrico.

En $\mathbb{R}^{2}$ , podemos definir

\displaystyle d^{2}_{u}\colon\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle((x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}))

\displaystyle{}\longmapsto\sqrt{(x_{0}-x_{1})^{2}+(x_{1}-y_{1})^{2}}

a la que se le llama métrica Euclidiana sobre $\mathbb{R}^{2}$ .

Para $n$ , se tiene

\displaystyle d\colon\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle((x_{1},\ldots,x_{n}),(y_{1},\ldots,y_{n}))

\displaystyle{}\longmapsto\sqrt{(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots+(y_{n}-x_{n})^{2}}

Ejemplo VI.2.

Otra distancia en $\mathbb{R}$ que cumple las propiedades anteriores es

\displaystyle d_{disc}\colon X\times X

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle(x,y)

\displaystyle{}\longmapsto d_{disc}(x,y)=\begin{cases}0\text{ si }x=y\\ 1\text{ si }x\neq y\end{cases}

Definición VI.2.

Se dice que $(X,\left\lVert\right\rVert)$ , donde $X$ es un $\mathbb{R}$ -espacio vectorial, es un espacio normado si $\left\lVert\right\rVert\colon X\to\mathbb{R}$ satisface las siguientes propiedades:

1.

$\forall x\in X\;\left\lVert x\right\rVert>0$ , $\left\lVert x\right\rVert=0\iff x=0$
2.

$\forall x\in X\;\forall\alpha\in\mathbb{R}\;\;\left\lVert\alpha\cdot x\right% \rVert=\left|\alpha\right|\left\lVert x\right\rVert$
3.

$\forall x,y\in X\;\;\left\lVert x+y\right\rVert\leq\left\lVert x\right\rVert+% \left\lVert y\right\rVert$

Se tiene que cualquier espacio vectorial euclídeo es un caso particular de un espacio normado, el cual es un caso particular de un espacio métrico, que a su vez es un espacio topológico.

Definición VI.3.

Si $(X,d)$ es un espacio métrico y $x_{0}\in X$ y $r>0$ se denomina bola abierta de centro $x_{0}$ y radio $r$ al conjunto

B_{r}(x_{0})=\left\{x\in X\mid d(x,x_{0})<r\right\}

Ejemplo VI.3.

Otras distancias en $\mathbb{R}^{2}$ son

d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\left|x_{2}-x_{1}\right|+\left|y_{2}-y_{1}\right|

d_{0}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\mathop{\operator@font m\acute{a}x}\left\{% \left|x_{2}-x_{1}\right|,\left|y_{2}-y_{1}\right|\right\}

La distancia $d_{0}$ también se llama distancia del infinito o $d_{\infty}$ .

Las bolas con la distancia $d_{1}$ tienen forma de rombo. Las bolas con la distancia $d_{0}$ tienen forma de cuadrado.

Lema VI.1.

Sean $(X,d)$ un espacio métrico, y $a$ y $b$ puntos de $X$ . Además, sean $\delta_{1},\delta_{2}$ números positivos reales. Si $c\in B_{\delta_{1}}(a)\cap B_{\delta_{2}}(b)$ , entonces existe un $\delta>0$ tal que $B_{\delta}(c)\subseteq B_{\delta_{1}}(a)\cap B_{\delta_{2}}(b)$ .

Demostración.

Sea $c\in B_{\delta_{1}}(a)\cap B_{\delta_{2}}(b)$ . Sea $\delta=\frac{1}{2}\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\left\{\delta_{1}-% d(a,c),\delta_{2}-d(b,c)\right\}$ .

Sea $x\in B_{\delta}(c)$ , tenemos que ver que $x\in B_{\delta_{1}}(a)$ y $x\in B_{\delta_{2}}(b)$ . Se tiene

d(x,a)\leq d(x,c)+d(c,a)<\delta_{1}-d(a,c)+d(a,c)=\delta_{1}

y lo mismo para $d(x,b)$ . ∎

Proposición VI.1.

Si $(X,d)$ es un espacio métrico y $B_{1}$ y $B_{2}$ son dos bolas abiertas de $(X,d)$ , $B_{1}\cap B_{2}$ es una unión de bolas abiertas de $(X,d)$ .

Demostración.

$\forall x\in B_{1}\cap B_{2}\overset{Lema}{\Rightarrow}\exists\delta_{x}$ tal que $B_{\delta_{x}}(x)\subset B_{1}\cap B_{2}$ . Entonces $B_{1}\cap B_{2}=\cup_{x\in B_{1}\cap B_{2}}B_{\delta_{x}}$ . ∎

Proposición VI.2.

Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Entonces la colección de bolas abiertas en $(X,d)$ es una base de una topología $T$ sobre $X$ .

Definición VI.4.

Si $(X,d_{1})$ y $(X,d_{2})$ son espacios métricos se dice que $d_{1}$ y $d_{2}$ son métricas equivalentes si $T_{d_{1}}=T_{d_{2}}$ .

Observación VI.1.

$d_{0}$ , $d_{1}$ y la distancia euclídea son equivalentes.

Proposición VI.3.

Sea $(X,d)$ espacio métrico. Entonces

U\in T_{d}\iff\forall a\in U\;\exists r>0\text{ tal que }B_{r}(a)\subset U

Ejemplo VI.4.

En $(\mathbb{R},T_{\mid\mid})$ , dado $U\subset\mathbb{R}$ , $U\in T_{d_{\mid\mid}}=T_{u}\iff\forall x\in U\;\exists\underbrace{(x-\epsilon,% x+\epsilon)}_{B_{\epsilon(x)}}\subset U$ .

En $(\mathbb{R}^{2},T^{2}_{u})$ , dado $U\subset\mathbb{R}^{2}$ , $U\in T_{d_{2}}\iff\forall(a_{1},a_{2})\in U\;\exists B_{\epsilon}(a_{1},a_{2})\subset U$ .

Observación VI.2.

Si $(X,d)$ es un espacio métrico nos podemos referir a $X$ como espacio topológico.

Proposición VI.4.

Si $(X,d)$ es un espacio métrico, $(X,T_{d})$ es $T_{2}$ .

Demostración.

Sean $x,y\in X$ con $x\neq y$ . Consideramos $\epsilon=\frac{1}{2}d(x,y)>0$ y veamos que $B_{\epsilon}(x)\cap B_{\epsilon}(y)=\varnothing$ . Por reducción al absurdo, si $z\in B_{\epsilon}(x)\cap B_{\epsilon}(y)\Rightarrow d(x,z)<\epsilon=\frac{d(x,% y)}{2}$ y $d(y,z)<\epsilon=\frac{d(x,y)}{2}$ . Por tanto,

d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)<\frac{d(x,y)}{2}+\frac{d(x,y)}{2}=d(x,y)\mathchar 46\relax

Esto es una contradicción. Luego $(X,T_{d})$ es $T_{2}$ . ∎

Definición VI.5.

Se dice que $(X,T)$ es metrizable si $\exists d\colon X\times X\to\mathbb{R}$ distancia tal que $T_{d}=T$ .

No toda topología es metrizable.

Ejemplo VI.5.

$X=\mathcal{{C}}([a,b],\mathbb{R})=\left\{f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\mid f\text{% continua}\right\}$ . Se puede comprobar que $d(f,g)=\int^{b}_{a}\left|f-g\right|$ es una métrica.

Otra distancia también es $d^{\prime}(f,g)=\sup\left\{\left|f(x)-g(x)\mid x\in[a,b]\right|\right\}$ (que también es máximo por ser función continua definida en un espacio compacto). Se puede comprobar que $d$ no es equivalente a $d^{\prime}$ .

Definición VI.6.

Sea $(X,T)$ espacio topológico. Se dice que $(X,T)$ es normal si para cada par de conjuntos disjuntos cerrados $A$ y $B$ , existen conjuntos abiertos $U$ y $V$ tal que $A\subseteq U$ , $B\subseteq V$ y $U\cap V=\varnothing$ .

Proposición VI.5.

Si $(X,d)$ es un espacio métrico, $(X,T_{d})$ es normal.

Definición VI.7.

Si un espacio topológico es normal y $T_{1}$ , se dice que es $T_{4}$ .

Observación VI.3.

$T_{4}\Rightarrow T_{3}\Rightarrow T_{2}\Rightarrow T_{1}\Rightarrow T_{0}$ .

Definición VI.8.

Sean $(X,d)$ , $(Y,d^{\prime})$ espacios métricos. Se dice que $(X,d)$ y $(Y,d^{\prime})$ son isométricos si $\exists f\colon X\to Y$ biyectiva tal que $\forall x,y\in X\;\;d(x,y)=d(f(x),f(y))$ .

Definición VI.9.

Sea $(X,T)$ espacio topológico. Decimos que satisface el primer axioma de numerabilidad o que es IAN si $\forall x\in X\;\exists\left\{V^{x}_{n}\in T\mid n\in\mathbb{N}\right\}$ tal que $\forall U\in T\;\exists n\in\mathbb{N}$ tal que $x\in V^{x}_{n}\subset U$ .

Observación VI.4.

Si $(X,d)$ es un espacio métrico, $(X,T_{d})$ es IAN.

Observación VI.5.

Si $(X,T)$ es IIAN, entonces es IAN. Si $\beta=\left\{B_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$ es una base de $T$ , entonces $\forall x\in X\;\left\{B_{n}\mid x\in B_{n}\right\}$ .